視頻簡(jiǎn)介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例展示高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版）第五章5.2.2《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》
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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例展示高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版）第五章5.2.2《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)——同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
《高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) 》（人教A版）第五章5.2.2
福建省福州第一中學(xué)曹仁劍
一、教學(xué)內(nèi)容解析
（1）內(nèi)容：本節(jié)課選自普通高中教科書《數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版）》第五章5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，主要內(nèi)容是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.
（2）內(nèi)容解析：從三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的直接反映．因此，與圓的幾何性質(zhì)建立聯(lián)系，為發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)提供思路，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的基本關(guān)系后，利用關(guān)系解決三角函數(shù)中求值，恒等變形等問題．
本單元內(nèi)容是建立周期性變化的數(shù)學(xué)模型，以函數(shù)的觀點(diǎn)探究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．本節(jié)在建立三角函數(shù)的概念后發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)求值，從而得到三角函數(shù)的圖象打下基礎(chǔ)．
本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是同角三角函數(shù)基本關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，認(rèn)識(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和應(yīng)用這個(gè)關(guān)系．
二、目標(biāo)與目標(biāo)解析
目標(biāo)：理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，，體會(huì)三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性，通過(guò)運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行三角恒等變換，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
目標(biāo)解析：完成上述目標(biāo)的標(biāo)志是學(xué)生能利用定義以及單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并得到“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”，并能用于三角恒等變換．
三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生已有基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但是三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性比較特殊，學(xué)生在基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)中沒有這種經(jīng)驗(yàn)，而且學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的經(jīng)驗(yàn)不足，對(duì)“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”認(rèn)識(shí)不充分等而導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的能力不足，為此，需從思想方法上加強(qiáng)引導(dǎo)探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．
四、教學(xué)策略分析
本節(jié)課同角三角函數(shù)關(guān)系的結(jié)論很簡(jiǎn)單，但是關(guān)系的生成重要，所以需引導(dǎo)學(xué)生有序地探究出結(jié)論，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)中定義生成后探索對(duì)象一般規(guī)律的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的意識(shí)；得到同角三角函數(shù)關(guān)系后，為了使學(xué)生逐漸熟悉結(jié)論，掌握結(jié)論的應(yīng)用，采取引導(dǎo)學(xué)生利用代數(shù)運(yùn)算嘗試各種結(jié)論的變化形式，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)舊知識(shí)，鋪墊新探索
教師問題1：在昨天的課堂上我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念和一組誘導(dǎo)公式，它們分別是什么？
學(xué)生1：角的終邊和單位圓的交點(diǎn)
，正弦定義為縱坐標(biāo)
，余弦定義為橫坐標(biāo)
，正切定義為
．誘導(dǎo)公式一：
．
環(huán)節(jié)二：探究新公式，理解新公式
教師問題1：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有相等關(guān)系，那么，終邊相同角的不同三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系？為什么？
學(xué)生1：終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值是由同一個(gè)點(diǎn)得到的，所以它們必然有關(guān)系．
【設(shè)計(jì)意圖】三個(gè)三角函數(shù)值之間如果沒有關(guān)系，則沒有研究的必要，通過(guò)問題引導(dǎo)學(xué)生明確探索的方向，堅(jiān)定探索的信心．
教師問題2：終邊相同的角有無(wú)窮多個(gè)，那么，如何研究多個(gè)角的三角函數(shù)值的關(guān)系？
學(xué)生2：因?yàn)榻K邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值相等，所以只要用一個(gè)角代替所有終邊相同的角．
【設(shè)計(jì)意圖】利用誘導(dǎo)公式一，簡(jiǎn)化探究?jī)?nèi)容．
教師問題3：如何探索？已知什么？能得到什么？
學(xué)生3：已知三角函數(shù)的定義，容易得到
．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行探索，利用運(yùn)算發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)關(guān)系．
教師問題4：還有什么關(guān)系？三角函數(shù)是用點(diǎn)
的坐標(biāo)定義的，那么坐標(biāo)的含義是什么？啟發(fā)我們?nèi)绾翁骄浚?br />
學(xué)生4：坐標(biāo)的含義啟發(fā)我們利用幾何意義進(jìn)行探究．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用聯(lián)系的觀點(diǎn)，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．
教師問題5：
和
有什么關(guān)系？
學(xué)生5：根據(jù)勾股定理，得到
，所以
．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何直觀聯(lián)系到直角三角形，從而聯(lián)系到勾股定理，得到線段長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，從而探究出三角函數(shù)的平方關(guān)系．
教師問題6：
就是
，
就是
嗎？
學(xué)生6：不是，絕對(duì)值才對(duì)．
教師問題7：
任何時(shí)候都成立嗎？
學(xué)生7：不是，要有直角三角形，也就是點(diǎn)
不在坐標(biāo)軸上．點(diǎn)
在坐標(biāo)軸上時(shí)，結(jié)論依然成立．
教師問題8：
任何時(shí)候都成立嗎？
學(xué)生8：不是，須要
有意義，
，也就是角的終邊不在
軸上，即
．
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)進(jìn)行反思，思考推理的嚴(yán)謹(jǐn)性．
環(huán)節(jié)三：總結(jié)新知識(shí)，應(yīng)用新知識(shí)
教師總結(jié)：我們得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：①平方關(guān)系：
；②
（
）．式子的結(jié)構(gòu)特征：同一個(gè)角的正余弦的平方和為
，正余弦的商為該角的正切值．
【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生理解記憶公式．
教師問題１：公式有什么用途？
學(xué)生1：已知同一個(gè)角的正弦值可以求出余弦值，類似地，已知余弦值可以求出正弦值；進(jìn)而已知角的正弦或余弦值，可以求正切值．
學(xué)生２：同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值已知一個(gè)可以求出另外兩個(gè)．
【設(shè)計(jì)意圖】以方程的觀點(diǎn)理解公式．
例１：已知
，求
，
的值.
分析：應(yīng)用公式求解，問題在開方時(shí)符號(hào)的確定，所以需要對(duì)角的終邊位置討論.
解：由
且
得，
是第三象限或第四象限角，
由
得
，
若
是第三象限角，則
，
；
若
是第四象限角，則
，
．
【設(shè)計(jì)意圖】具體的例子讓學(xué)生體驗(yàn)三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，解答過(guò)程中也鍛煉了學(xué)生運(yùn)算的能力和分類討論能力．這樣的例題可以直接地呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
變式１：已知
是第三象限角，
，求
，
的值.
分析：很難應(yīng)用公式直接求解，把兩個(gè)公式合在一起，建立方程解決問題，兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，消元求解．
解：由
是第三象限角得，
且
，
，
由
得
，代入
，
得
，所以，
所以，．
【設(shè)計(jì)意圖】在例題１的基礎(chǔ)上，把數(shù)值運(yùn)算提升為字母運(yùn)算，把公式的直接運(yùn)算提升為方程思想解題，逐步提升運(yùn)算求解能力．
教師問題２：由變式１，把
用
代回，得到一個(gè)恒等式：，你能證明嗎？
學(xué)生３：右邊右邊，所以等式成立．
學(xué)生４：左邊右邊，所以等式成立．
【設(shè)計(jì)意圖】由方程得到恒等式，對(duì)恒等式尋求證明方法，幫助學(xué)生深入理解公式的結(jié)構(gòu)和含義；引出恒等式證明問題，尋求恒等式證明的一般方法——“化同”；在“化同”的一般方法下，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“齊次化正切”的特殊方法．
環(huán)節(jié)四：探索新恒等式
教師問題：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系經(jīng)過(guò)一些代數(shù)運(yùn)算，可以得到一些新的恒等式，你能用運(yùn)算的方法探索出一些恒等式，并給出證明嗎？
學(xué)生：展示各自的結(jié)果．
【設(shè)計(jì)意圖】開放性的問題激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)．在利用基本關(guān)系探究恒等式的過(guò)程中，讓學(xué)生不斷強(qiáng)化對(duì)基本關(guān)系的理解，并體驗(yàn)共同學(xué)習(xí)合作探究的過(guò)程．
環(huán)節(jié)五：學(xué)生小結(jié)歸納，教師點(diǎn)評(píng)總結(jié).
教師問題：歸納小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容：
１．認(rèn)識(shí)了同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系，得到了利用基本關(guān)系求三角函數(shù)值的方法，得到了簡(jiǎn)單的三角恒等式的探索和證明方法；
2．體驗(yàn)了從定義出發(fā)探索三角函數(shù)基本關(guān)系的思維過(guò)程；
【設(shè)計(jì)意圖】歸納梳理本節(jié)課主要內(nèi)容，鞏固學(xué)到的知識(shí)．
五、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)
1．教科書第185頁(yè)第6題，第12題，第13題
【設(shè)計(jì)意圖】考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．
2．教科書第186頁(yè)第15題
【設(shè)計(jì)意圖】考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，代數(shù)運(yùn)算能力．
3．教科書第186頁(yè)第18題
【設(shè)計(jì)意圖】考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，代數(shù)運(yùn)算能力，從特殊到一般的方法．
4．寫出一些三角恒等式（不同于課上已有的），并給出證明
【設(shè)計(jì)意圖】考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，代數(shù)運(yùn)算能力．
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