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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例展示《立體幾何與空間向量溫習(xí)課》北京
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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課課例展示《立體幾何與空間向量溫習(xí)課》北京
立體幾何與空間向量溫習(xí)課
1.理論依據(jù)與指導(dǎo)思想
(1)課程標(biāo)準(zhǔn)要求
新課程標(biāo)準(zhǔn)中提到，教師在教學(xué)活動(dòng)中既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。教師要在教學(xué)活動(dòng)中勇于創(chuàng)新，包括指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的創(chuàng)新，也包括對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的梳理。
(2)信息加工理論
知識(shí)可以看作信息，信息可以以多種形式輸入，但只有經(jīng)過編碼后才能存儲(chǔ)。存儲(chǔ)失敗或缺失，對(duì)信息的提取以及再次加工，就會(huì)形成阻礙。這個(gè)信息加工模式說明，僅僅靠做題，而不注意數(shù)學(xué)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，是無法學(xué)好數(shù)學(xué)的。
2.教材內(nèi)容
本節(jié)課是高三立體幾何與空間向量的章節(jié)溫習(xí)課,即本章復(fù)習(xí)的起始課。關(guān)注的學(xué)習(xí)內(nèi)容是本章節(jié)所有知識(shí)內(nèi)容之間的關(guān)系，特別是知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)。在新授課教學(xué)階段立體幾何初步屬于必修內(nèi)容，空間向量與立體幾何屬于選擇性必修內(nèi)容。它們同屬于幾何與代數(shù)主題，在高三復(fù)習(xí)中有必要對(duì)兩部分知識(shí)內(nèi)容重新建立關(guān)系，如綜合幾何方法和向量方法解決一些立體幾何中的推理論證，度量計(jì)算問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)整合。學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)本章知識(shí)建立結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)，為后續(xù)復(fù)習(xí)打下基礎(chǔ)。
表1 立體幾何與空間向量知識(shí)要素
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1 |
柱、錐、臺(tái)、球概念 |
D立體幾何初步 |
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2 |
平行六面體、直四棱柱、長(zhǎng)方體的關(guān)系 |
D立體幾何初步 |
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3 |
球、柱、錐的表面積計(jì)算公式 |
D立體幾何初步 |
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4 |
球、柱、錐的體積的計(jì)算公式 |
D立體幾何初步 |
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5 |
斜二測(cè)畫法 |
D立體幾何初步 |
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6 |
三視圖與直觀圖的概念 |
D立體幾何初步 |
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7 |
利用三視圖還原直觀圖的基本方法 |
D立體幾何初步 |
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8 |
空間點(diǎn)、直線、平面的概念 |
D立體幾何初步 |
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9 |
空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 |
D立體幾何初步 |
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10 |
確定一個(gè)平面的條件 |
D立體幾何初步 |
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11 |
線在面內(nèi)的判斷條件 |
D立體幾何初步 |
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12 |
兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則有公共直線 |
D立體幾何初步 |
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13 |
平行于同一直線的兩條直線平行 |
D立體幾何初步 |
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14 |
線面平行推直線與交線平行 |
D立體幾何初步 |
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15 |
面面平行推第三面的兩交線平行 |
D立體幾何初步 |
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16 |
一個(gè)平面的兩條垂線平行 |
D立體幾何初步 |
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17 |
垂直于同一平面的兩條直線平行 |
D立體幾何初步 |
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18 |
直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線推線面垂直 |
D立體幾何初步 |
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19 |
面面垂直及面內(nèi)直線垂直交線推線面垂直 |
D立體幾何初步 |
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20 |
面外線與面內(nèi)線平行推線面平行 |
D立體幾何初步 |
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21 |
面內(nèi)交線與面平行推面面平行 |
D立體幾何初步 |
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22 |
面經(jīng)過面的垂線推兩個(gè)平面垂直 |
D立體幾何初步 |
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23 |
異面直線的夾角及范圍 |
D立體幾何初步 |
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24 |
異面直線的垂直 |
D立體幾何初步 |
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25 |
直線與平面垂直 |
D立體幾何初步 |
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26 |
直線在平面上的射影 |
D立體幾何初步 |
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27 |
直線與平面所成角及范圍 |
D立體幾何初步 |
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28 |
二面角 |
D立體幾何初步 |
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29 |
二面角的平面角及范圍 |
D立體幾何初步 |
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30 |
兩個(gè)平面互相垂直 |
D立體幾何初步 |
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31 |
空間直角坐標(biāo)系（右手系） |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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32 |
空間兩點(diǎn)間的距離公式 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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33 |
空間中中點(diǎn)坐標(biāo)公式 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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34 |
空間向量的概念 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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35 |
空間向量的模 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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36 |
空間兩向量的夾角 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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37 |
空間向量的線性運(yùn)算法則 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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38 |
空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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39 |
空間向量的數(shù)量積法則 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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40 |
空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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41 |
利用向量求n等分點(diǎn)坐標(biāo)的方法 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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42 |
直線的方向向量 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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43 |
平面的法向量 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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44 |
求平面法向量的基本步驟 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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45 |
用向量方法證明空間中的平行垂直關(guān)系 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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46 |
求空間中的角的向量方法 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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47 |
異面直線成角與其向量成角的關(guān)系式 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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48 |
線面角與其向量成角的關(guān)系式 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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49 |
二面角與其向量成角的關(guān)系式 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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50 |
判斷二面角余弦值的正負(fù) |
F 空間向量及應(yīng)用 |
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51 |
向量方法解決立體幾何問題的程序 |
F 空間向量及應(yīng)用 |
知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：
圖1 立體幾何與空間向量知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
3.教學(xué)內(nèi)容分析
由教育目標(biāo)分類學(xué)，知識(shí)類型可以分為四類，事實(shí)類、概念類、程序類、元認(rèn)知類。
而概念類中包含一類結(jié)構(gòu)性知識(shí)，這類知識(shí)最為抽象。因此，要獲得此類知識(shí)，需要更為高級(jí)的認(rèn)知加工方式。從認(rèn)知過程分類的角度來說，想要獲得結(jié)構(gòu)性知識(shí)，學(xué)生需要具有一定 的分析能力、評(píng)價(jià)能力、創(chuàng)造能力。
圖2 知識(shí)分類結(jié)構(gòu)圖
圖3 認(rèn)知過程分類結(jié)構(gòu)圖
因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是建立優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。教學(xué)難點(diǎn)在于如何使通過教學(xué)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造能力。讓學(xué)生真正獲得結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)。
根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，我設(shè)置本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：
在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）》的指導(dǎo)下，基于教育目標(biāo)分類學(xué)理論，本節(jié)課作為本章節(jié)復(fù)習(xí)起始課，教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為：
1.以立體幾何與空間向量為問題情境，通過創(chuàng)造、評(píng)價(jià)、分析、優(yōu)化等認(rèn)知活動(dòng)，溫習(xí)本章基本知識(shí)和知識(shí)之間的關(guān)系；
2.在不斷思考、交流、展示的過程中，獲得優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)圖方法的共識(shí)。初步獲得自主建立知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的能力；
3. 通過探索式、合作式的課堂活動(dòng)，獲得積極的情感體驗(yàn)，在小組討論和交流的過程中更好地了解他人，認(rèn)識(shí)自己。
以上目標(biāo)達(dá)成的標(biāo)準(zhǔn)：
1. 能夠簡(jiǎn)要說明本章節(jié)的知識(shí)的關(guān)系，可以繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖；
2. 能夠說出評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)圖的若干要素和優(yōu)化結(jié)構(gòu)圖的標(biāo)準(zhǔn)；
3. 能通過小組合作，發(fā)展合作交流意識(shí)。
圖4 學(xué)生前測(cè)試題得分率統(tǒng)計(jì)圖
授課班級(jí)為清華附中將臺(tái)路校區(qū)高三4班，在本章復(fù)習(xí)前，通過前測(cè)題目答題情況發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)對(duì)本章知識(shí)有所遺忘，缺乏對(duì)立體幾何與空間向量章節(jié)知識(shí)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)的完整理解。如前測(cè)題2題中，大部分同學(xué)在求異面直線成角時(shí)不能想到更方便的綜合幾何方法；又如前測(cè)題3題中，對(duì)于相對(duì)冷門的知識(shí)點(diǎn)斜二測(cè)畫法，大部分同學(xué)不能得分。因此在復(fù)習(xí)的起始課，有必要幫助學(xué)生建立對(duì)本章節(jié)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)。
關(guān)于繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的教學(xué)活動(dòng)，通過課前的問卷調(diào)查和與學(xué)生談話交流我得出這樣兩個(gè)結(jié)論：
1.學(xué)生不缺乏繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；
2.學(xué)生繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的水平有待提高，對(duì)繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖意義認(rèn)識(shí)不夠明確。
這說明，繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和能夠獲得結(jié)構(gòu)性認(rèn)知是兩件不同的事，教師有必要通過設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)性認(rèn)知。
高級(jí)認(rèn)知加工能力的培養(yǎng)需要足夠的時(shí)間和活動(dòng)，因此，本節(jié)課采取小組合作學(xué)習(xí)方式，學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，積極組織認(rèn)知活動(dòng)，以達(dá)到發(fā)展能力的目標(biāo)。
學(xué)生的主體地位，體現(xiàn)課程資源，主要來自于學(xué)生的表現(xiàn)和創(chuàng)造。活動(dòng)形式主要以學(xué)生的獨(dú)立思考，相互交流，匯報(bào)展示為主。課堂生成資源如基本要素、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不由教師給出，而由學(xué)生活動(dòng)生成。
教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在教師提前布置任務(wù)，設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)。課堂上教師負(fù)責(zé)說明任務(wù)，組織學(xué)生有序開展活動(dòng)。對(duì)學(xué)生的課堂生成資源進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、鼓勵(lì)。引導(dǎo)學(xué)生在制定標(biāo)準(zhǔn)的過程中關(guān)注知識(shí)點(diǎn)本身和知識(shí)間的關(guān)系。
圖5 教學(xué)策略示意圖
【
引入活動(dòng)】展示兩位同學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖和學(xué)生成績(jī)，讓學(xué)生猜想成績(jī)和知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)。
圖6 學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)圖對(duì)比圖
【
設(shè)計(jì)意圖】說明結(jié)構(gòu)性知識(shí)在學(xué)習(xí)中的重要性；同時(shí)明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
圖7 學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)圖1號(hào)
1號(hào)圖的優(yōu)點(diǎn)是邏輯較為清晰。問題是缺少對(duì)空間向量及運(yùn)算的整理，同時(shí)線面成角向量法的計(jì)算公式有誤。教師可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的準(zhǔn)確性，強(qiáng)調(diào)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的內(nèi)容完整。
圖8 學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)圖2號(hào)
2號(hào)圖的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)平行垂直之間的相互轉(zhuǎn)化整理的比較清楚，知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確性較高。問題是缺少空間幾何體部分的知識(shí)整理，內(nèi)容不完整。分類不夠合理。結(jié)構(gòu)關(guān)系需要調(diào)整，如平行、垂直可以調(diào)到位置關(guān)系的下一層級(jí)。
圖9 學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)圖3號(hào)
3號(hào)圖的特點(diǎn)是按照大題和小題分別整理，這樣整理有優(yōu)點(diǎn)，也有缺點(diǎn)。大題部分的平行垂直證明和小題部分的平行垂直判定內(nèi)容重復(fù)，但又沒有說清證明的方法。
【
師生活動(dòng)一】從三位同學(xué)創(chuàng)作的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中，評(píng)選最喜歡的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，并給出三個(gè)理由。
（1）學(xué)生獨(dú)立思考；
（2）學(xué)生然后帶著自己的想法進(jìn)行小組討論，達(dá)成共識(shí)，
教師在巡視和傾聽的過程中指導(dǎo)、幫助和啟發(fā)學(xué)生；
（3）選一名代表上臺(tái)分享本組的選擇和評(píng)選理由。
【
預(yù)設(shè)答案】
教師結(jié)合張知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的分享進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)導(dǎo)圖的知識(shí)點(diǎn)完整性、準(zhǔn)確性、知識(shí)結(jié)構(gòu)是否合理，重點(diǎn)關(guān)注知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。
【
設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其他同學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的優(yōu)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖應(yīng)該具備哪些要素，可以從那些維度來評(píng)價(jià)，學(xué)生在這個(gè)過程中通過分析具體的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，獲得直觀的經(jīng)驗(yàn)。
【
師生活動(dòng)二】探討并制定知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。
（1）學(xué)生通過獨(dú)立思考，討論，展示，確定關(guān)鍵詞，派代表將關(guān)鍵詞展示在黑板上；
（2）一名同學(xué)將關(guān)鍵詞分類，并確定優(yōu)秀知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的評(píng)價(jià)維度；
（3）請(qǐng)每個(gè)小組將其中一個(gè)維度，總結(jié)為一句話，作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。
【
預(yù)設(shè)答案】
關(guān)鍵詞：知識(shí)點(diǎn)、完整、準(zhǔn)確、精煉、分類明確、層級(jí)清晰、結(jié)構(gòu)合理、關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確
評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的內(nèi)容應(yīng)該完整、準(zhǔn)確、精煉；
2.知識(shí)結(jié)構(gòu)方面應(yīng)該分類明確、層級(jí)清晰、結(jié)構(gòu)合理、關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確。
教師提示學(xué)生寫關(guān)鍵詞時(shí)注意參考上一個(gè)任務(wù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)關(guān)鍵詞的分類，合并等。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)內(nèi)容、與結(jié)構(gòu)關(guān)系，幫助學(xué)生概括出評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。
【
設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例，探索優(yōu)秀知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的要素，構(gòu)建優(yōu)秀知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，作為優(yōu)化結(jié)構(gòu)圖的依據(jù)。在這個(gè)任務(wù)中培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)概括的能力。
【
師生活動(dòng)三】利用初步制定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖提出改進(jìn)意見。
（1）獨(dú)立思考，用評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)同學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，提出調(diào)整、改進(jìn)、優(yōu)化的建議；
（2）小組討論，交流想法，并最終達(dá)成共識(shí)；
（3）選一名學(xué)生到講臺(tái)前，分享本組的優(yōu)化建議。
【
預(yù)設(shè)答案】
教師引導(dǎo)學(xué)生在修改知識(shí)結(jié)構(gòu)圖時(shí)要應(yīng)用評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，先補(bǔ)充知識(shí)內(nèi)容，修改錯(cuò)誤的知識(shí)內(nèi)容，確保知識(shí)內(nèi)容完整、準(zhǔn)確。然后再根據(jù)知識(shí)關(guān)系進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整，重新分類，確定層級(jí)。
【
設(shè)計(jì)意圖】通過應(yīng)用評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，提升學(xué)生構(gòu)建章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的能力；強(qiáng)化學(xué)生對(duì)立體幾何與空間向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解。
【
課堂小結(jié)】學(xué)生總結(jié)自己這節(jié)課的收獲，知識(shí)層面，能力層面。
【
預(yù)設(shè)答案】
1.知識(shí)層面
知識(shí)內(nèi)容，對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤認(rèn)知的糾正。知識(shí)間的關(guān)系，如分別可以利用綜合幾何法和向量法證明平行垂直的問題。因此，這兩部分可以建立關(guān)系。
2.如何繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
確定知識(shí)點(diǎn) 發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系 設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu) 調(diào)整布局
【
課后作業(yè)】
1.總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步優(yōu)化自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。
2.應(yīng)用知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，分析自己測(cè)試情況，找到自己的知識(shí)漏洞或理解誤區(qū)。
3.用兩種方法解決下面的問題，并在自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖上指出用到的知識(shí)點(diǎn)：
1）已知正四棱柱 中， ， 為 中點(diǎn)，則異面直線 與 所形成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2）如圖，在三棱錐 中， ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn) 到平面 的距離．
附錄1前測(cè)試題
立體幾何與空間向量小測(cè)試
時(shí)間：30分鐘 姓名： 班級(jí)： 成績(jī)：
1．在 中， ，若將 繞直線 旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）
A． B． C． D．
2．已知正四棱柱 中， ， 為 中點(diǎn)，則異面直線 與 所形成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．一個(gè)水平放置的正方形的面積是 ，按斜二測(cè)畫法所得的直觀圖是一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．把邊長(zhǎng)為 的正方形 沿對(duì)角線 翻折，則過 四點(diǎn)的球的體積為 ．
5．關(guān)于直線與平面，有下列四個(gè)命題：
（1）若 ∥ ， ∥ ，且 ∥ ，則 ∥ ；
（2）若 ⊥ ， ⊥ 且 ⊥ ，則 ⊥ ；
（3）若 ⊥ ， ∥ 且 ∥ ，則 ⊥ ；
（4）若 ∥ ， ⊥ 且 ⊥ ，則 ∥ ；
其中不正確的命題為 ．
三、解答題
6．如圖，在三棱錐 中， ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn) 到平面 的距離．
附錄2 訪談問題
1.談?wù)勀愀呷龔?fù)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)？
2.你希望高三復(fù)習(xí)章節(jié)的起始課是怎樣的？
3.說說立體幾何與空間向量這一章有哪些知識(shí)？
4.你認(rèn)為要獲得數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些方法？
5.你在以往的學(xué)習(xí)過程中會(huì)主動(dòng)繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖嗎？為什么？
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