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視頻標簽：圍綠地,長方形和正方形,周長與面積
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視頻課題：北京版小學數學三年級下冊《圍綠地—長方形和正方形的周長與面積》北京
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北京版小學數學三年級下冊《圍綠地—長方形和正方形的周長與面積》北京市東城區府學胡同小學
圍綠地——長方形和正方形的周長與面積教學設計與反思
本節課是在學生學習了長方形和正方形的周長與面積后設計的一節綜合實踐課。
一、 教學內容：
探究當長方形周長一定時，面積的變化規律：長方形周長一定，長和寬越接近面積越大，長和寬相等時（即正方形）面積最大。
二、數學知識背景分析： 所謂的等周問題：等周定理，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關系。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。
雖然等周定理的結論早已為人所知，但要嚴格的證明這一點并不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之后，數學家們陸續給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。
而將圖形鎖定在長、正方形上就是我們今天這節課所要研究的問題。而這個問題對應的代數問題即所謂的均值定理或均值不等式：算術平均數大于幾何平均數。如果我們設長為a〉0，寬為b〉0，周長C=2（a+b），面積S=ab，我們有 當且僅當a=b時，等號成立。
等價于
于是當周長C一定時，a+b的和一定，所以當且僅當a=b時，即正方形面積最大，最大面積為
數學大廈中這么有趣和著名的問題居然出現在小學三年級的數學課本中，想到這些我不禁興奮起來。作為教師我們怎么能輕易放過這樣的數學教學素材，怎么能不讓我們的學生親自體驗一下探究數學的樂趣，怎么能不讓教師和學生一起來體驗數學的美。
于是我精心設計了這節課，但問題是畢竟面對三年級的學生，講到什么程度，怎么教，教學目標是什么等一系列問題是我下一步要認真思考的。
三、 學情分析：
學生已掌握了長正方形的周長和面積計算公式的基礎上進行教學的，但對于知識的靈活運用還有待提高，三年級的學生抽象、概括能力，獨立探究規律的能力也有待增強。
四、 課程理念：
a+b
2≥ab(a+b2)2≥ab(a+b2)2=(C
4)2
國家對教育改革發展的要求是：要鼓勵學生創造性思維、著力提高學生的學習能力、實踐能力、創新能力。2011年的新課程標準將原來的雙基變為了四基即：讓學生獲得基礎知識、基本技能、基本數學思想、基本活動經驗。四基是雙基的繼承和超越，基本活動經驗獲得了與基礎知識、基本技能、基本數學思想、同等重要的地位。數學活動經驗的積累有助于落實新課程的能力性目標、過程性目標、情感性目標的及對學生應用意識、創性能力的培養。數學活動經驗的積累是學生數學素養的重要標志。因此我們要重視數學活動經驗的積累。 五、教學目標：
1．探究發現長方形周長和面積的變化規律：周長一定，長和寬越接近，面積越大；長和寬相等時，面積最大。
2．在自主探索、交流、合作等活動過程中，運用畫圖、列表等方法，滲透有序思考和數形結合思想。積累學生從事探索規律活動的經驗。
3． 激發學生學習數學的興趣，體驗探索知識的樂趣，體會數學的應用價值。
六、基本流程：
引發思考—發現規律—驗證規律—幾何解釋—應用規律
七、 教學過程：
（一）故事激趣，以退為進
導入：我們來先聽一個故事，故事的名字是“歐拉智改羊圈”。
歐拉是著名的數學家，他小時候，要幫助爸爸放羊。 羊漸漸越來越多了，爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，面積正好是（600平方米），圍這樣一個羊圈，需要用多長的籬笆，（15+15+40+40=110）可爸爸發現他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用。正當父親感到為難的時候，小歐拉卻向父親說：“我能用100米長的籬笆，圍成一個
比這個羊圈面積還大的羊圈。”
提問：你認為小歐拉的說法可行嗎？ 預設1：圍成正方形面積大。 預設2：圍成圓形面積最大。 預設3：可以靠墻圍面積大。
揭示課題：看來我們還需要進一步的來研究長、正方形的周長與面積。 導語：“100米”數太大了不好研究，我們先從較小的數據入手，認識清楚了研究透了，看看有什么規律，然后再來看這個問題。
出示題目：“用16米的籬笆圍成長方形或正方形，可以怎么圍，面積是多少平方米？
引導學生明確問題、分析條件、提出思路、規劃方案。
提問：要圍成什么圖形？這里的16米是什么意思？怎樣圍，也就是要確定長方形的什么？
強調：無論圍成的是長方形，還是正方形，周長都是16米。 提問：長方形的長和寬怎么確定？
小結：周長的一半是長和寬的和，因為周長一定，所以長和寬的和也是固定不變的。也就是長和寬的和是一定的�？磥�，我們只要確定了寬的長度，長也就知道了。
【設計意圖】：從歐拉智改羊圈的故事引入，激發學生的學習興趣。引發學生的思考，滲透“以退為進”研究問題的策略與方法。分析題目條件和問題，規劃設計方案。
（二）自主探究，發現規律 1.設計方案，合作交流
學生先獨立完成學習單，再合作交流設計方案。
活動建議：請你把設計方案畫在方格圖上；計算出圖形的面積填在表格中。 學生匯報：
預設1：學生沒有將所有情況都找出來了。 師：對他的設計方案還有什么補充？
預設2：學生將所有情況都找出來，但是無序。 師：對于他所填的情況，你們有沒有好的建議嗎？能不能對所填的數據進行調整呀？
預設3：學生將所有情況都找出來，且有序。
師：對于所填的情況，看看有沒有值得我們學習的地方呀？ 對比有序與無序，這樣有什么好處？
提問：那怎么能不重不漏的把所有情況都找出來呢？ 小結：看來我們考慮問題要全面，要有序地思考問題。
【設計意圖】：在學生畫圖、列表活動中，滲透有序思考的數學思想和方法。
2．觀察圖表，發現規律
提問：請你仔細觀察表格和圖形，你有什么發現？長方形的長和寬的變化與長方形的面積變化有什么關系？
學生小組討論，交流匯報。
預設1：長方形的長越來越短，寬越來越長。 預設2：長減少1米，寬增加1米。 預設3：長和寬的和不變都是8米。 預設4：長和寬的差距在縮小。
學生只關注了長和寬的關系，沒有建立與面積變化的聯系，引導學生觀察面積的變化。
預設4：正方形面積最大。 預設5：長方形面積越來越大。
學生只關注了面積的變化，引導學生建立面積變化與長和寬變化的聯系，。 預設6：長和寬越接近，面積越大。
追問：隨著長和寬怎樣的變化，面積越來越大？
長和寬越接近是什么意思？
長越短，寬越長也就是說長和寬的差怎么樣？ 為什么長和寬的差會越來越�。� 什么情況下，面積最大？
這些發現是什么不變的情況下才出現。 小結：周長一定，長和寬越接近（差越�。娣e越大，長和寬相等時（正方形）面積最大。（板書） 【設計意圖】：觀察表格數據和幾何圖形，小組合作交流，歸納概括出規律，并通過教師的引導，梳理邏輯關系，培養學生的歸納、概括、推理能力。
3．自選數據，驗證規律
剛才我們研究了周長是16米的長、正方形，發現了這樣一個規律。換個數還成立嗎？
（1） 獨立填表，驗證規律
學生獨立完成，有困難的同學可以舉手示意老師。 （2） 交流匯報，總結規律 分層匯報：
第一層（20，24）展示結果，結論成立，周長一定，正方形面積最大。 第二層（14......）沒有邊長是整米的正方形。我們找到的最大的長方形是長是4米，寬是3米，面積是12平方米的長方形。
結論：周長一定，長和寬越接近，面積越大。
718676284125382154
4
8
0
16
周長/m長/m寬/m面積/m²和/m差/m16
第三層（周長奇數，或困難分享）分析原因。
分析：我們受所學知識的限制，只考慮長寬是整數，實際上這個結論當長，寬是小數時仍然成立。將來我們的知識豐富了，到了中學還要證明這個結論。
（3） 大數據計算機驗證規律
較大的數據還有這樣的規律嗎？我們請計算機來幫助我們驗證一下。 【設計意圖】：大量的數據驗證，完善學生對規律的認識，培養學生科學的批判精神。
4．幾何模型，解釋規律
過渡：數據呈現了這樣的規律，下面我們再回到圖形上，直觀地來看一看。 （1） 動態演示，幾何直觀
周長一定，長和寬越接近面積越大，那反之，當長和寬相差越大時，也就是長越長，寬越短，面積怎么樣？
小結：周長一定，長和寬相差越大，面積越小。
【設計意圖】：利用計算機軟件“幾何畫板”，通過幾何直觀，幫助學生理解規律，并滲透極限思想。
（2）解釋規律，面積模型 為什么長方形周長一定，長和寬越接近面積越大，長和寬相等時，面積最大？ 分析原因：
我們仔細觀察長7米寬1米的長方形，長與寬的和是8米，長與寬的差是6米。當長減少1米時，長變成了6米，這條寬平移到這，此時面積減少了黃色部分1平方米，要想周長不變，寬應該怎么樣？寬應增加1米，把長減少的部分補到寬上，寬變成了2米，這條長平移到這，此時面積增加了紅色部分6平方米�，F在變成了長6米，寬2米的長方形，這時長和寬的和仍是8米，長和寬的差變
成了4米差距縮小。周長不變，那面積發生了怎樣的變化？面積減少了黃色部分1平方米，增加了紅色部分6平方米，實際面積增加了5平方米。
師：再認真觀察，當長又減少1米寬增加1米時，長方形從長6米寬2米變成長5米寬3米時，周長變了嗎？長與寬的差再縮小，面積呢？減少的是哪部分？增加的是哪部分？那實際上面積就怎么樣了？
生：縱列黃色面積減少了2平方米，橫行紅色面積增加了5平方米，面積實際增加3平方米。
師：我們接著往下看看，看看面積又發生了怎樣的變化？減少的是哪部分的面積，增加的是哪部分的面積？
師：如果長再減少1米，寬增加1米，變成了長3米寬5米的長方形了，這時減少的面積比增加的面積多了，所以面積減少了。
小結：減少的是縱列面積，增加的是橫行面積，因為長大于寬，所以橫行增加的比縱列減少的多，于是說明當周長一定時，長和寬越接近，面積越大。當長等于寬時，正方形面積最大。
評價：同學們真了不起，我們不僅通過一道問題的解答，發現了這樣一個結論，并驗證了這個結論，而且還深入思考解釋了為什么會有這樣的結論。對于知識我們不僅要知其然，還要知其所以然。
【設計意圖】：經歷發現規律、驗證規律、幾何直觀、解釋規律、建立模型、溝通代數與幾何的聯系等過程，積累學生從事探索規律活動的經驗。
（三）應用規律，解決問題 1．歐拉智改羊圈故事
你知道歐拉是怎樣解決爸爸的這個難題的？
請你先在紙上算一算，然后和同伴交流你的意見。
正想同學們所說的，歐拉的確把原來計劃中的羊圈變成了一個邊長為25米的正方形。他用僅有的100米的材料，不僅解決了這個問題，而且還使羊圈的面積變大了。
評語：看來周長長的長方形面積不一定大，利用數學合理規劃，用最少的材料，發揮最大的效率，這就是學習數學的價值和魅力所在，學習數學可以使我們越變越聰明。
2．代數問題。
○+△=20，○×△的積最大是多少？
提問：這道題和我們剛剛研究的長、正方形周長和面積有什么聯系。
小結：兩數和一定，兩個數的差越小，積越大，當兩個數相等時，積最大。 利用規律，不計算比較大�。� 12× 7○13× 6 32×38○34×36
評語：我們解決問題時要善于觀察和發現隱含條件。
【設計意圖】：第一題解決智圍羊圈問題，旨在體會數學的應用價值。第二題旨在溝通代數與幾何的聯系。
（四）全課總結，拓展延伸
通過這節課的學習，你有什么收獲？
同學們的收獲可真不小，我們是怎么得到的這樣一個結論的？ 我們通過一個怎么圍籬笆的問題，引發了我們的思考，從簡單情況較小數據入手，以退為進，發現了長方形周長一定時，面積的變化規律，用更多數據驗證了這一規律，并且建立了幾何模型解釋了這一規律，最后我們應用這一規律不僅解決了幾何問題還解決了代數的問題。
正如古希臘數學家畢達哥拉斯所說：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。”
最后老師留一個思考題，關于羊圈一面靠墻什么時候面積最大，請你用今天我們研究問題的方法和經驗自己探究一下。
【設計意圖】：回顧梳理本節課的研究過程，使學生明確研究數學問題的思想和方法，最后拋出一面靠墻圍羊圈的問題，旨在進一步積累學生探索規律的活動經驗。
（五）板書設計
長、正方形周長與面積
周長一定，長和寬越接近，面積越大，
長和寬相等時，面積最大。
周長16米
16÷2=8米
和一定 差越小 積越大
十、本節課的亮點： 1． 促進學生積累數學活動經驗和研究問題的方法。
本節課實際上就是在上節課的基礎上，順應學生思維的發展，促進學生從事探索規律活動經驗的積累和研究問題的科學方法。并在課后拋出了一面靠墻的問題，也可設計為第三課時，以便進一步促進學生探索規律活動經驗的積累。
2． 溝通代數與幾何的聯系，以數助形，以形助數，數形結合。 本節課隱藏著一條暗線。從幾何問題入手——利用代數方法研究——數據驗證——幾何直觀——幾何面積模型解釋——應用解決實際幾何問題和代數問題。溝通代數與幾何的聯系，以數助形，以形助數，數形結合。
3． 不同的人在數學上得到不同的發展。
本節課的設計力求不同的人在數學上的得到不同的發展。 第一層通過本節課的學習借助幾何直觀，認可這一結論。（知道是什么） 第二層通過幾何模型，應用規律解決相關數學問題。（知道怎么用） 第三層建立代數與幾何的聯系，理解和解釋規律的一般性。（知道為什么） 第四層積累一定的數學活動經驗和研究問題的方法。（怎么知道是什么）
長/米 寬/米 面積/平方米 7 1 7 6 2 12 5 3 15 4 4 16
總之，小學階段，知識簡單但不失嚴謹，講方法容易但理難辨，我們教師應多想一點，講透一點，學生才會受益多一點，能力高一點。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
