視頻簡介：
視頻標簽：復數的乘除運算
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：安徽省高中新教材優質課《7.2.2復數的乘除運算》教學設計
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安徽省高中新教材優質課《7.2.2復數的乘除運算》教學設計
7.2.2 復數的乘、除運算
內容分析
一、課時內容分析
本節課是復數的四則運算的第二課時，是在研究了復數的加法和減法運算后，對復數的四則運算的進一步研究.與復數的加法運算類似，復數的乘法運算是一種規定，在運算形式上類似于多項式的乘法運算.同時，這種規定必須遵循一定的規則，即從實數系向復數系擴充，擴充后的數系中規定的運算規則，與原數系中的運算規則協調一致，即乘法滿足交換律、結合律和乘法對加法的分配律.
復數的除法運算,是乘法運算的逆運算,類似于減法運算是加法運算的逆運算.同時,除法運算中分母實數化的過程,類似于實數集中的分母有理化的過程.通過數系擴充后乘、除法運算法則的得到過程,使學生體會用類比解決數學問題的方法,提升數學運算素養和邏輯推理素養,并感受人類理性思維在數系擴充中的作用.
二、課時教學重點
重點：復數的乘法運算法則和運算律，復數的除法運算法則.
在備課時，合理安排重點內容和非重點內容的時間，做到主次分明，多花時間突出重點內容.教學過程中應圍繞重點內容進行，通過問題設置，啟發學生進行探究，通過類比學習，掌握復數乘法法則和除法法則，能夠證明復數乘法運算律.在課堂上口頭強調重點，板書時用彩色粉筆標記重點，通過例題和鞏固練習及時了解學生對本節重點內容的掌握情況.
學情分析
一、認識基礎分析
學生已經學習了復數的概念以及復數的加法、減法運算及其幾何意義.復數的加法運算類似于多項式的加法運算,減法運算是加法運算的逆運算.而復數的乘法運算也類似于多項式的乘法運算,除法運算是乘法運算的逆運算.因此,上節課的學習為這節課奠定了基礎,學生可以通過類比,得出復數的乘法和除法法則.
二、課時教學難點
難點：復數的除法運算法則.
復數的除法運算,實際上就是分母實數化的過程,對于這一點,學生比較陌生,如何想到分子和分母同時乘以分母的共軛復數,是本節課的難點.在完成例4教學時，啟發學生對互為共軛復數的兩個復數乘積進行探究，為復數除法法則的推導做鋪墊，緊接著引導學生類比根式的除法，推導復數的除法法則，掌握復數除法運算的通法，突破難點.
目標分析：
一、課時教學目標
1.掌握復數的乘法、除法運算法則及乘法的運算律，能夠進行復數的乘除運算；
2.能在復數范圍內求解一元二次方程；
3.通過復數乘法、除法運算的學習,學會用類比的方法解決問題.
二、教學目標解析
在教學中，設置問題引發學生進行探究，通過類比的方法和組織學生進行小組合作學習，實現本節課的教學目標.
達成目標的標志是:
1.通過本節課學習，學生能夠熟練掌握復數乘、除法運算法則及
乘法的運算律，并能夠運用其解決實際問題，完成例題和鞏固練習的解答.
2.學生通過例6的學習，可以總結出復數范圍內，實系數一元二次方程的求根公式，并能夠運用公式對相關問題進行解答.
3.通過類比的方法學習復數的乘、除運算，提升學生的邏輯推理素養；在例題和鞏固練習的解答過程中，學生的數學運算素養得到提升.
三、課堂評價量表
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知識點 |
水平層次 |
評價方式 |
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水平一 |
水平二 |
水平三 |
個人 |
同學 |
教師 |
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復數的乘法法則 |
能夠由多項式乘法，類比得出復數的乘法法則. |
掌握復數乘法法則. |
能夠運用復數乘法法則解決相關問題. |
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復數的乘法運算律 |
能夠證明復數乘法的運算律. |
能夠運用復數乘法的運算律解決相關問題. |
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復數的除法法則 |
能夠推導復數的除法法則. |
掌握復數除法法則. |
能夠運用復數除法法則解決相關問題. |
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復數范圍內解方程 |
掌握復數范圍內一元二次方程的解法. |
能夠運用實系數一元二次方程的求根公式解決相關問題. |
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教學方法
為了實現本節課的教學目標，本節課的教法主要采用問題驅動教學模式，學生通過類比學習，探究學習和小組合作學習，掌握本節課內容.
教學過程
一、復習舊知，導入新課
引導學生復習舊知，并類比有理數的學習過程，使得學生自己想到本節課將要學習的內容,順勢引出本節課題.
師生活動：先簡單回顧上節課知識，并展示單元學習任務單.引發學生思考，導出本節課研究內容.
教學設計意圖：通過復習，加深對已學知識的記憶，引導學生類比有理數學習過程，引出本節課題，符合學生認知規律.
二、講授新課，應用舉例
活動一 復數的乘法運算法則
問題1 多項式
，則
運算結果是什么？
學生預期表現：學生能夠給出運算結果.
教師根據學生回答，緊接著提出問題2
問題2 復數
，則
，按照上述運算法則將其展開，
等于什么？
學生預期表現：學生能夠計算出結果，并能夠嘗試說明計算過程，理解復數乘法法則的合理性.根據教師的指導和提示，類比多項式相乘，再把所得的結果中的
換成-1,嘗試寫出復數的乘法法則.
教師根據學生的回答，師生共同總結復數乘法法則：
提醒學生注意：兩個復數的積是一個確定的復數，特別地，當
都是實數時， 把它們看作復數時的積就是這兩個實數的積.
教學設計意圖：復數的乘法運算與多項式的乘法運算類似,可以將
看成是關于
的“一次二項式”,將復數的乘法按多項式的乘法進行,在所得的結果中把
換成-1,并且把實部與虛部分別合并即可，提升學生的邏輯推理素養.
活動二 復數的乘法運算律
問題3 實數乘法運算有交換律、結合律和分配律，根據數系的擴充規則，那么復數乘法運算會有哪些運算律呢？
學生預期表現：回答復數乘法可能也有交換律、結合律和分配律.
教師根據學生回答，接著提出問題4.
問題4 你能證明這些運算律嗎？
將學生分成三組，分別證明這三個運算律，學生證明好以后，選三名學生的證明過程進行展示，并請學生解釋證明過程，得出復數乘法的運算律：
對于任意
，有
教學設計意圖：由實數運算律到復數運算律，這個過程符合學生認知規律，運算律的證明過程可以提升學生的邏輯推理和數學運算素養.
【例3】計算  |
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活動三 應用舉例
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【例4】計算 （1)  ; （2)  . |
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注意：講解例3時提醒學生，依據復數乘法的結合律，這種連乘式有意義，可以看成從左到右依次相乘.講解例4時提醒學生，實數系中的乘法公式在復數系中也有類似公式，運用乘法公式可以簡化運算過程.
學生預期表現：能夠完成兩個例題的解答，但總結復數乘法的一般步驟時較為吃力.
引導學生完成兩個例題，并嘗試總結復數乘法的一般步驟.
復數乘法的一般步驟：
(1)首先按多項式的乘法展開;
(2)再將
換成－1;
(3)然后再進行復數的加、減運算，化簡為
形式．
完成例題后教師引導學生觀察例4第一問兩個復數的特征，進而提出問題5.
問題5 若
是共軛復數，則
是一個怎樣的數？
學生預期表現：學生能夠得出結論
，兩個共軛復數的乘積是一個實數.
思考：請同學們課后思考并搜集共軛復數還有哪些性質呢？
教學設計意圖：例3和例4是復數乘法運算法則和運算律的實際應用，通過例題可以加強對知識的理解，提升學生的數學運算素養.問題5的設置，為接下來學習復數的除法運算做鋪墊.
活動四 復數的除法運算法則
問題6 類比實數的除法是乘法的逆運算，我們規定復數的除法是乘法的逆運算.請探求復數除法的法則？
師生活動：把滿足
的復數
叫做復數
除以復數
的商,并根據復數的乘法法則及復數相等的條件求解出：
學生預期表現：根據教師引導能夠得出復數的除法法則
復數除法法則較為復雜，不易準確記憶，在實際計算中若按照復數除法法則進行，非常繁瑣，也極易出錯.
問題7 你能想到更好的方法進行復數除法運算嗎？
教師給學生適當提醒，引導學生分小組進行合作探究，最終得到類比根式的除法，對分母進行實數化，進行復數除法運算.
學生預期表現：根據教師引導得到新的方法，在進行復數除法運算時，通常先把
寫成
的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復數
，化簡后就可得到上面的結果.這里分子分母都乘分母的“實數化因式”（共軛復數），從而使分母“實數化”.
教師引導學生總結兩個復數的除法運算步驟：
(1)首先將除式寫為分式；
(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復數；
(3)然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為
形式．
教學設計意圖：讓學生自己類比實數除法、思考和發現復數除法法則，體驗推廣的過程，有助于學生理解復數的除法法則.而復數的除法運算，實際上就是“分母實數化”的過程，對于這一點，學生比較陌生，如何想到分子和分母同時乘以分母的共軛復數，是本節課的難點.這里通過類比學生學過的根式的除法，突破難點.
活動五 應用舉例
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【例5】計算  . |
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師生活動：師生共同完成例題.
【例6】在復數范圍內解下列方程：
（1）
；
（2），其中，且.
師生共同完成例6，并總結在復數范圍內，實系數一元二次方程的求根公式為：
（1）當
時，；
（2）當
時，
教學設計意圖：對于實系數一元二次方程，當時無實數根，因此，在研究代數方程的過程中，如果限于實數集，有些問題就無法解決.引入復數后，更多的代數方程有解，例6有助于學生了解引進復數的必要性，體會實際需求與數學內部矛盾在數系擴充過程中的作用.
請學生思考：根據復數的加法法則和乘法法則，你能說明實數系經過擴充后得到的新數集就是復數集C嗎？
師生活動：請學生進行回答，并通過數系擴充規則說明實數系經過擴充后得到的新數集就是復數集C.
三、鞏固練習，學以致用
學生完成課本80頁練習第1題的2和3，第3題的1和3，第4題的1和2，并請同學上黑板進行板演.
學生預期表現：學生能夠運用本節課知識解決問題.
教學設計意圖：鞏固練習可以讓學生進一步加深對本節知識的理解，并做到學以致用.請學生上臺演示，可以及時發現問題并共同解決，同時還可以增強學生的心理素質，激發學生參與課堂教學的熱情和興趣,提升學生數學運算素養.
四、課堂小結，歸納提升
請學生思考：通過本節課的學習，你收獲了什么？
學生舉手回答，通過學生回答，總結本節課主要內容.
小結：（1）復數的乘法法則和運算律；
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復數的除法法則；
-
復數范圍內求解實系數一元二次方程.
請學生思考：我們已經學習了復數的哪些知識呢？
根據學生回答，形成知識框架,并請學生課后繼續完善單元學習任務單.
教學設計意圖：引導學生進行本節課知識小結，可讓學生積極主動回顧本節課的內容，并培養學生的總結概括和語言表達能力.
五、布置作業，拓展延伸
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基礎題：課本P80 習題7.2 3，4 必做
（2）提升題：課本P81 習題7.2 6，7 選做
（3）思考題：復數的加減運算有幾何意義，那么復數的乘除運算有幾何意義嗎？如果有，其幾何意義是怎樣的呢？
教學設計意圖：布置作業時，考慮學生基礎不同，采取分層次布置，這樣可以讓每一位學生都能得到鞏固和提升，體現了因材施教的教學理念，最后給出思考題，是為了激發學生好奇心，進行自主探究.
六、板書計劃
教學反思
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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