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視頻課題：高中數學人教A版《數系的擴充和復數的概念》北京市 - 順義
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高中數學人教A版《數系的擴充和復數的概念》北京市 - 順義
一、教學基本信息
課程名稱 3.1.1數系的擴充和復數的概念
授課人 蔡學 學科
數學
學段
選修2-2
班級
高二(4)班
二、指導思想和理論依據
1.生本教育在課堂中的運用:
生本教育的課堂教學模式宗旨是一切為了學生,學生在教師的引導下能自主地學習,在課堂學習過程中學會感悟,體會數學和生活的關系,在與知識“相遇”中,使知識融入生活.教師在“點化”學生的精神生命中“點化”自己,學生和教師在生本課堂環境中共同提升生命質量. 2.數學史在課堂中的滲透:
法國數學家亨利·龐加萊曾說:“如果我們想要預知數學的未來,最合適的途徑是研究這門科學的歷史和現狀”.因此數學教學中,把一些重要的數學史介紹給學生,使學生了解數學發展的基本規律和基本思想,感受數學發展的曲折,調動學生學習數學的積極性和創造性,使學生在獲得新知的同時獲得頑強學習的勇氣,進而塑造完美的人格.
三、教學背景分析
1.教材分析:
《數系的擴充與復數的概念》是人教版普通高中數學實驗教材選修2-2第三章第一節的內容,課時安排一課時.復數的引入實現了中學階段數系的最后一次擴充.本節課的學習,一方面讓學生回憶數系擴充的過程,體會虛數引入的必要性和合理性.另一方面,讓學生理解復數的有關概念及其幾何意義,為今后的學習奠定基礎.因此,本節課具有承前啟后的作用,是本章的重點內容. 2.學生情況分析:
(1)知識層面:學生對數的概念已經擴充到了實數,也已清楚各數集之間的包含關系等內容,但知識是零碎的、分散的,對數的生成發展的歷史缺乏整體認識.數系的擴充體現了數的發現和創造的過程,同時也體現了數發展的客觀需求和現實背景;而復數的引入則是中學階段數系的最后一次擴充.對于高中生來說,學習一些復數的基礎知識可以促使他們對數的概念有一個較為完整的認識,也給他們運用數學知識解決問題增添了新的工具,同時還為他們進一步學習高等數學打下了基礎. (2)思維層面:學生抽象思維處于發展期,經過引導能夠透過現象進行概括和總結,在本節課的設計中,培養學生從不同角度、多維的考慮問題,通過綜合、分析、推理找出本質和規律.
(3)情感層面:學生處于青春期,比較突出的表現出成人感,希望體現自己的獨立性,渴望得到認可.在課堂中給予學生展示自己的平臺,通過自主探究、解決問題讓學生體驗學習帶來的成就感.
四、教學目標
1.知識與技能目標:
(1)了解數系的發展過程;
(2)初步理解復數的有關概念及幾何意義; (3)初步理解復數相等的充要條件. 2.過程與方法目標:
(1)經歷數概念的發展和數系的擴充,體會實際需求與數學內部矛盾在數系擴充過程中的作用; (2)通過借助復數幾何意義來加深對復數及其有關概念的理解,滲透數形結合的數學思想方法. 3.情感、態度與價值觀目標:
在經歷數概念的發展和數系擴充的過程中,激發學生對數學的興趣,培養他們的鉆研與探索精神.
五、教學重點、難點
1. 教學重點:
初步理解復數及有關概念,初步理解復數的幾何意義; 2. 教學難點: 對虛數的理解.
六、 教法與手段
1.教學方法:
發生教學法:
發生教學法的基礎是數學史,是數學史融入數學教育的一種方式.發生教學法要求教師了解所教主題的歷史;理解該主題歷史進化的關鍵步驟;在現代情境下重構推動進化的關鍵思想或問題,使之在教學上適合介紹新的概念、方法或理論;按從易到難得順序給出系列問題,后面的問題建立在前面問題的基礎上,采取有序的問題驅動模式,揭示知識產生的動機,借以促進學生的學習. 2.教學手段:Pad、多媒體
七、教學流程示意
活動:教師導入.
目的:利用精煉的語言迅速將學生的思維帶入課堂.
活動:(1)學生自主學習數系擴充過程的分享及成果展示.
(2)學生歸納數系擴充的過程.
目的:一堂課的教學不僅僅在于課堂,更在于課堂外的延伸.采取課前預習,抽簽決
定的方式,將所有學生的積極性調動起來,將所有學生置身于數學的歷史長河中,使得學生對數學的發展史產生了濃厚的興趣.
活動:學生展示歷史上的問題,將其化為熟悉的一元二次方程無解問題.
目的:利用歷史中真切存在的問題引起學生的好奇心,讓學生感知通過學習探究,他們也可以解
決數學家解決的問題;引導學生透過問題的表面看到本質,為下一步探究解決途徑打下伏筆.
活動:(1)學生展示歷史小故事引出虛數單位i. (2)將i同實數四則運算引出虛數. (3)給出復數的定義.
(4)探究復數的相關概念及其幾何意義.
目的:針對提出的問題如何找到解決問題的方法和知識是本節課的關鍵,在新知探索的過程中,
教師提出環環相扣的問題,引導學生思考、討論、歸納;通過教材整合,調整知識點的順序,符合學生的認知過程;利用新媒體手段,加大課堂容量,將知
識理解和鞏固結合為一體.
活動:利用本節課所學知識解決之前提出的問題.
目的:利用新知解決提出的問題,將知識得以利用,讓學生體驗解決問題的成功感,激發學生的探
究精神.
活動:教師引導學生歸納本節課的收獲. 目的:為了避免課堂小結流于形式,將總結知識點這一常規形式轉換為學生分享自己課堂中
的疑惑及其解決方法,體現出本節課中學生的成長與提高.
活動:學生pad獨立完成檢測題目. 目的:檢測學生對課堂知識的掌握情況.
提出問題
課堂檢測
數系的擴充
探究途徑
解決問題
總結提升
導入
八、教學過程(表格描述)
教學 環節
教師活動
學生活動
設計意圖
時間
情況預設
一、
數 系 的
擴
充
(一)數系的擴充
課前給同學們布置了利用網絡資源預習數系擴充過程的作業,學生展示預習成果.
教師點評.
回顧從自然數系逐步擴充到實數系的過程,可以看到,數系的每一次擴充都與實際需求密切相關.
學生展示數系的擴充過程
學生提前預習,通過網絡、書籍等多種手段查閱資料,把課前預習作為課堂教育的延伸;通過預習活動向學生滲透數系的發展史,提高學生的數學素養.
3′
問題預設:
學生在學習階段已經經歷了從自然數集到實數集的數系
擴充,但對數系擴充的整個過程沒有整體性感知.
解決方案: 通過學生展示,將數系擴充的過程和
過程中的歷史小故事串聯在一起,切身體會數系擴充的過程.
二、 提
出
問
題 師:昨天還讓同學們預習了
復數的概念,你在預習過程
中發現了哪些問題.是否得
到了解決.
學生展示歷史中提出的問題.
找出最簡單的無實數解的一元二次方程. 通過前置學習,利用網絡資源,把課前預習作為課堂教育的延伸.
2′
三、探 究 途 徑
(二)虛數單位i
師:當我們遇到原有知識解決不了的問題時,可以適當的引入一些新規定,譬如我們這里引入的虛數單位i. 規定:i表示虛數單位; i²=-1;
i可以和實數四則運算 (三）復數的概念
師:規定了虛數單位i,數系的大家族又多了一個新成員,i想融入其中就要和實數進行運算.減法是加法的逆運算,除法是乘法的逆運算,讓數i和實數相加、相乘.
問題1虛數單位i和實數相加、相乘得到的數有沒有統一的表達形式?
復數:形如a+bi的數
學生整理筆記
學生思考,并通過具體的數歸納特點.
從歷史的角度展示虛數單位i的引入過程,讓學生從前人身上學到解決問題的方法.
通過具體的數字歸納出虛數的形式,減少學生對虛數理解上的干擾,復數的概念展現給學生,符合學生的認知規律.
1′
1′
問題預設: 虛數單位i是從未接觸過的,學生對其既不熟悉,也不
容易理解. 解決方案: 通過i和實數四則
運算,通過具體的數深化學生對i的理解和認識.
三、探 究 途 徑
復數通常用字母z表示,即
z=a+bi(a,b∈R) a叫做復數的實部 b叫做復數的虛部
由復數組成的集合成為復數集,用字母C表示,記為 |,CabiabR
實數(0)
復數z虛數(0)(當0時為純虛數)bba
練習1 概念辨析 (1) 形如bi的數一定是純虛數. (2) 當a=0或b=0時,復數z=a+bi=0. (3) 當b=0時,復數z=a+bi是實數. (4) z=-2i+3的虛部是-2. (5) z=0只有實部沒有虛部. (6) z=-7-6i的虛部是-6i. 教師點評: (1) 對復數的概念要清楚; (2) 想要正確的認出復數的實部與虛部,需要將復數先化成a+bi的標準形式. 例1 實數m取什么值時,復數z=m+1+(m-1)i是 (1)實數;(2)虛數; (1)純虛數. 師:下面用韋恩圖的形式來認識一下現有的數集關系. 在復數集中任取兩個復數: a+bi和c+di,我們規定： a+bi=c+di當且僅當 a=c且b=d 例2 如(x+y)+(y-1)i =(2x+3y)+(2y+1)i 實數x,y的值是( ). A x=4,y=-2 B x=2,y=-4 C x=4,y=-4 D x=2,y=-2 問題2 3+2i和-3+2i
學生整理筆記.
學生pad作
答
學生口述過程,教師板書.
學生利用pad畫圖
學生pad作答
通過辨析題加深對復數概念的理解.
鞏固復數的概念.
利用韋恩圖加深對復數集內部結構的理解.
鞏固復數相等的充要條件
3′ 1′ 2′ 1′ 1′ 2′
問題預設:
學生不易理解a+bi形式. 解決方案:
通過具體的數歸納出復數的代數形式.
問題預設: 學生回答錯誤. 解決方案: 學生自我糾錯.
問題預設:
學生口述解題步驟不完整. 解決方案:
其他學生補充,最后教師落實.
三、探 究 途 徑
3i+1和1+3i 這兩組對數相等嗎?
點評:每一個復數對應的確定的實部和虛部,可以看做一個有序的實數對(a,b),例如3+2i對應(3,2),反之每一個有序數對對應著一個確定的復數.
(四)復數的幾何意義
問題3類比實數的幾何表示是數軸上的點,復數的幾何表示是什么?
復數的幾何表示:平面直角坐標系中的點
一一對應
點(,)zabiZab
師:表示復數的平面叫做復平面,x軸稱為實軸,對應實部;y軸稱為虛軸,對應虛部. 例如,原點(0,0)表示實數0, 實軸上的點(2,0)表示實數2 虛軸上的點(0,-1)表示純虛數-i,點(-2,3)表示復數-2+3i.
復數的幾何意義:平面向量
一一對應
zabiOZ
點評:通過有序數對(a,b)將復數和復平面上的點及平面向量建立起一一對應的關系.同向量一樣,復數有運算法則和模,這些內容我們下節課探究.
學生回答
學生思考、討論
學生整理筆記
將復數與有序數對相聯系,為下面要學習的幾何意義做鋪墊.
通過復數的幾何意義,從形的角度將復數落實在實處,體會復數是真切存在的;也將數形結合的思想貫穿數學教學之中.
4′
2′
三、探 究 途 徑
練習2復數和復平面上的點連連看
3)4(0)3(3)2(23)1(ii 練習3在復平面中,復數-2i+1對應的點位于( ). A 一象限 B 二象限 C三象限 D 四象限 問題4在復平面中,實數對應的點位于什么位置?純虛數對應的點位于什么位置? 小結:例如復數相等的充要條件從幾何上解釋為復平面上的同一個點,要求橫坐標和縱坐標分別相等.通過數形結合進一步理解復數的概念.
學生通過pad作答
學生小組討論.
強化學生對復數幾何意義的理解.
通過復數的幾何意義進一步探究復數的分類.
3′ 2′
問題預設: 學生出錯. 解決方案:
學生自己糾錯,找出錯因.
四、解 決 問 題
師:經歷了將實數集擴充到復數集的艱辛過程,我們提出的問題是否得到了解決? 師:通過數系擴充到復數系,一元二次方程無實解的問題在復數集中得到了解決,復數在其他方面有更廣泛的應用等待同學們的探索.
學生解出答案
提出問題,尋找途徑,最終落實到解決問題上,讓學生體會問題得以解決的成功感.
1′
五、總 結 新 知 師:從知識、學習方法、數學思想三個方面談談自己的收獲.
學生分享自己的收獲.
通過歸納總結的過程,促使學生形成知識體系,鍛煉學生抽象概括能力 1′
六、課 堂 檢 測
師:課前預習、課堂探究、課下復習檢測是學習的基本環節,請同學們進入檢測環節.
學生獨立完成
利用相關題目,鞏固所學知識,檢測知識達成度.
2′
問題預設: 有學生出錯.
解決方案: 學生自己改錯.
九、板書設計
3.1.1數系的擴充和復數的概念
一、虛數單位i 例1 二、復數的概念
三、幾何意義
十、教學設計特點
1.體現數學的文化內涵
本節課教者從學生已有的知識基礎出發,再現歷史上數學家卡爾丹的問題,讓學生經歷與數學大師一起發現問題、思考問題、解決問題的過程,感受到數學家就在自己的身邊,數學大師并不神秘,他們也曾有解不開的難題,小小的“i”硬是經過了兩個世紀的努力才被人接受;數學發現并不神秘,大師們通常是在別人習以為常的現象中發現新問題并窮追不舍;數學并不神秘,只要我們“更新觀念”,跳出原有的舊框框,一片更為廣闊的數學天地便盡收眼底.數學的文化內涵在歷史的脈絡中體現的淋漓至盡,學生感受的是濃濃的數學文化氣息. 2.加深對數學思想方法的理解
學生在理解、把握數學知識中,不僅僅是記憶形式上的數學知識,更重要的是領會以數學知識為載體的數學思想方法等．通過對數的發展歷史的研究,可以把握數學知識、思想、方法的來龍去脈．從實數系到復數系,如何擴充的?教者通過設計問題串,引領學生追溯數的發展歷史,類比前幾次數系的擴充,讓學生在知識發生過程中進行“火熱的思考”,實現“再創造”. 3.架起感性認識到理性認識的橋梁
從虛數的“生長”過程來看,即使是數學家的認識也是逐步深入的．這是數學家幾代人共同努力的產物:是一個從無到有、從疑惑到接受、從模糊到清晰、從片面到完善的過程．只有學生親身“經歷”這一歷史過程,才能體驗到數學家的創造過程;才能感知到數學家的認知過程;才能感悟到數學家的思維過程．只有學生親身“經歷”這一歷史過程,才能消除學生對虛數的疑惑:“虛數是什么?為什么要引入?怎么引入?引入后有什么用?”.只有學生親身“經歷”這一歷史過程,才能感受到虛數不是神秘莫測、絕對權威的,是一種創造. 4.培養學生科學品質和創新精神
復數的產生和發展是數學家們辛勤耕耘的結果,是思想觀念的突破.它體現了數學家的科學品質和創新精神.象這樣的方程沒有實數解在學生心目中已成定論,既然沒有實數解,為什么還要討論它?既然負數不能開平方,又為什么要承認是有意義的?這是一種心理上的矛盾、認知上的沖突,更是觀念上的碰撞.歷史的再現對學生的影響作用是巨大的,他們體會到了虛數的引入是一種創造,一種發明,一種思維上的突破,一種觀念上的更新．他們從數學家不懈努力的歷程看到了一種精神、一種力量、一種思維方法.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
