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視頻標(biāo)簽：算機(jī)繪制,函數(shù)圖像對(duì)勾函數(shù),單調(diào)性與最值

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第一章《信息技術(shù)應(yīng)用 用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖像對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性與最值》浙江省 - 紹興

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信息技術(shù)應(yīng)用 用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖像 
                 ——對(duì)勾函數(shù)0a
yxax的單調(diào)性與最值 
 
1 教材分析 
本節(jié)內(nèi)容是人教A版必修一1.3節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)——信息技術(shù)應(yīng)用 用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖像.函數(shù)圖像將抽象的函數(shù)直觀化，具體化，豐富了函數(shù)在人們腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為我們研究函數(shù)及其性質(zhì)提供了便捷. 
筆者將本節(jié)內(nèi)容放在了學(xué)生學(xué)習(xí)了第二章基本初等函數(shù)之后，并以對(duì)勾函數(shù)為依托進(jìn)行授課.此舉主要出于以下3個(gè)原因.（1）教材將用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)圖像放在函數(shù)基本性質(zhì)之后，可能是考慮到學(xué)生初學(xué)高中函數(shù)定義及其基本性質(zhì)，理解上有一定難度，而函數(shù)圖像可以降低函數(shù)的抽象性，降低理解難度.而且之后學(xué)基本初等函數(shù)時(shí)，學(xué)生也可自己畫函數(shù)圖像，幫助他們學(xué)習(xí).但筆者考慮到如果在函數(shù)基本性質(zhì)之后直接教用計(jì)算器畫函數(shù)圖像，可畫的函數(shù)一般都是學(xué)生已經(jīng)會(huì)畫的，對(duì)學(xué)生的吸引力較小.而基本初等函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的幾個(gè)重要函數(shù).如果加入了這些函數(shù)， 課堂的函數(shù)素材會(huì)大大增加，增加對(duì)學(xué)生的吸引力，激起他們的求知欲望，也更能讓學(xué)生體會(huì)到用計(jì)算器畫函數(shù)圖像的強(qiáng)大性與便捷性.（2）函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具.因此本節(jié)課在教學(xué)生畫圖時(shí)，進(jìn)一步教學(xué)生如何利用函數(shù)圖像讀取函數(shù)性質(zhì).（3）選取對(duì)勾函數(shù)作為教學(xué)內(nèi)容是因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)比較重要的函數(shù)模型，有豐富的函數(shù)性質(zhì).而人教A版教科書（2007）沒有單獨(dú)給對(duì)勾函數(shù)安排課時(shí)，因此將它放在這一節(jié).學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)對(duì)勾函數(shù)知識(shí)的同時(shí)，也可將他們?cè)诒匦抟坏谝徽拢�第二章所學(xué)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行鞏固應(yīng)用. 
2 學(xué)情分析 
此課面向高一學(xué)生，他們剛學(xué)完人教A版必修一第一章、第二章，有一定知識(shí)基礎(chǔ).對(duì)勾函數(shù)在平時(shí)作業(yè)會(huì)遇到，但沒有系統(tǒng)學(xué)過.用圖形計(jì)算器畫函數(shù)圖像的過程學(xué)生在課堂上多次看教師演示過，但沒有進(jìn)行實(shí)際操作.學(xué)生早已這個(gè)圖形計(jì)算器充滿好奇，躍躍欲試.因此，本節(jié)課的內(nèi)容處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，是學(xué)生迫切想要學(xué)習(xí)的知識(shí). 
3 教學(xué)目標(biāo) 3.1知識(shí)與技能 
 
                    
             
                    
                            （1）會(huì)用圖形計(jì)算器畫具有函數(shù)解析式的函數(shù)圖像. （2）掌握用函數(shù)單調(diào)性定義證明對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性. 
（3）會(huì)根據(jù)對(duì)勾函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的圖像研究函數(shù)單調(diào)性與最值. 3.2過程與方法 
（1）經(jīng)歷用圖形計(jì)算器畫對(duì)勾函數(shù)圖像的過程來熟悉用圖形計(jì)算器畫函數(shù)圖像的操作，熟悉對(duì)勾函數(shù)圖像. 
（2）經(jīng)歷用圖形計(jì)算器變換對(duì)勾函數(shù)圖像的過程，研究對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性與最值. （3）利用圖形計(jì)算器畫出復(fù)合函數(shù)及其里函數(shù)、外函數(shù)的圖像來研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性. 3.3情感態(tài)度與價(jià)值觀 
體會(huì)用計(jì)算器畫函數(shù)圖像的便捷性和實(shí)用性，感受函數(shù)圖像變換之美.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng). 
4 教學(xué)重難點(diǎn) 
教學(xué)重點(diǎn)：利用圖形計(jì)算器探究對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性與最值. 教學(xué)難點(diǎn)：利用圖形計(jì)算器探究對(duì)勾函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性. 5 教學(xué)工具 
Microsoft Office PowerPoint、圖形計(jì)算器與白板的交互使用.圖形計(jì)算器使用的是德州儀器TI-nspire CX-C. 
6 教學(xué)過程 
6.1新知引入——探究具體對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性與最值 問題1：你能利用圖形計(jì)算器畫出函數(shù)的圖像，并探究它的單調(diào)性與最值嗎？ 師生活動(dòng)：生可能的操作為運(yùn)用圖形計(jì)算器①新建文檔，添加圖形，輸入；②利用菜單中的“窗口縮放”功能，縮放窗口，觀察圖形的整體與細(xì)節(jié)，大致確定函數(shù)單調(diào)
區(qū)間；③ 利用菜單中的“圖像分析”功能，研究函數(shù)在0，與的最值.師觀察指導(dǎo).預(yù)設(shè)部分教學(xué)片段如下. 
師：從函數(shù)的圖像中，你們觀察出了它具有怎樣的單調(diào)性，有幾個(gè)單調(diào)區(qū)間嗎？ 
1
yxx

1fxxx

0+，
1
yxx

                    
             
                    
                            生（全體）：函數(shù)圖像像兩個(gè)對(duì)勾，有4個(gè)單調(diào)區(qū)間. 
師：（投影多個(gè)采用不同坐標(biāo)尺寸的學(xué)生的計(jì)算器屏幕）因?yàn)閳D像像對(duì)勾，所以人們叫它對(duì)勾函數(shù)，還有些人叫它耐克函數(shù)、勾函數(shù)、雙飛燕函數(shù)等.那具體是哪四個(gè)單調(diào)區(qū)間呢？ 
生1：（投影生1的計(jì)算器屏幕，如圖1）函數(shù)在1，上單調(diào)遞增，在10，上單調(diào)遞減，在01，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.   
圖1 生1所做的圖像 師：你是怎么做出這個(gè)單調(diào)區(qū)間的？ 生1：邊說邊操作. 師：函數(shù)的最值呢？ 
生(全體)：在整個(gè)定義域上不存在. 
師：在0x，上是否存在最值？在上是否存在最值？ 生（全體）：當(dāng)0x，時(shí)，，無最小值.當(dāng)時(shí)，，無最大值. 
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生實(shí)際操作，實(shí)際演示，可以讓他們更加熟悉圖形計(jì)算器的操作，為后續(xù)畫圖打下基礎(chǔ).選取最基礎(chǔ)的對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行研究，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律. 6.2新知探究——探究對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性與最值的一般性結(jié)論 問題2：你能利用圖形計(jì)算器探究的單調(diào)性與最值嗎？ 1
yxx

1
+，1
yxx

0+，
max12fxf0+x，min12fxf1
yxx

0a
yxax


                    
             
                    
                            師生活動(dòng)：生可能的操作為利用圖形計(jì)算器的“游標(biāo)”功能，建立參數(shù)的游標(biāo)，拖動(dòng)a的值，進(jìn)行觀察探究.師觀察指導(dǎo)，然后展示生2的計(jì)算器屏幕（如圖2），讓他動(dòng)態(tài)展示對(duì)于不同的，單調(diào)區(qū)間的變化.引導(dǎo)他說出函數(shù)在a，，
a，上是增函數(shù)，在0a，，
0a，上是減函數(shù).且當(dāng)0x，時(shí)，，無最小值.當(dāng)時(shí)，，無最大值. 
 
圖2 生2所做的圖像 設(shè)計(jì)意圖：合理利用圖形計(jì)算器功能，探究參數(shù)a對(duì)函數(shù)圖像的影響，從而讓學(xué)生歸納出函數(shù)的單調(diào)性與最值規(guī)律，鍛煉學(xué)生直觀想象、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等核心素養(yǎng). 
6.3新知證明 
問題3：你能證明函數(shù)的單調(diào)性嗎？ 師生活動(dòng)：生在草稿紙上寫下證明過程.師巡視指導(dǎo)，并邀請(qǐng)生3上去板演，再對(duì)板演過程進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 
設(shè)計(jì)意圖：華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.因此利用圖形得到的結(jié)論，還需用代數(shù)證明，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)形結(jié)合思想，考察了學(xué)生利用單調(diào)性定
0aa0aaa
yxx

0a
yxax


max2fxfaa0+x，
min2
fxf
aa0a
yxax

0a
yxax
0a
yxax


                    
             
                    
                            義證明函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)掌握情況. 
6.4新知深化——探究函數(shù)00b
yaxabx

，的單調(diào)性 問題4：你能說出函數(shù)00b
yaxabx

，的單調(diào)區(qū)間嗎？ 師生活動(dòng)：生可能的操作為①從形的角度：利用圖形計(jì)算器，探究參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響，從而歸納出函數(shù)00b
yaxabx

，的單調(diào)區(qū)間.②從數(shù)的角度：將函數(shù)解析式變形為00bb
ayaxaxabxx

，，所以
00byaxabx，在區(qū)間ba，，上是增函數(shù)，在0ba，，0ba
，上是減函數(shù).③從數(shù)的角度：利用單調(diào)性定義，類比問題3進(jìn)行求解.師巡視觀察，并請(qǐng)采用不同方法求解的生4，生5，生6回答問題，再進(jìn)一步請(qǐng)學(xué)生回答函數(shù)00b
yaxabx

，的最值情況. 設(shè)計(jì)意圖：探究對(duì)勾函數(shù)更一般情況的單調(diào)性與最值，推廣了結(jié)論的適用范圍，鍛煉了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng). 
6.5知識(shí)應(yīng)用 
例1：求下列函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間： 
（1）；  
（2）. 師生活動(dòng)：生可能的操作為①利用紙筆求解.②利用圖形計(jì)算器畫出復(fù)合函數(shù)及其里函數(shù)、外函數(shù)的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算求出復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間.教師引導(dǎo)學(xué)生可利用②的方法進(jìn)行求解.具體講解時(shí)，例1（1）教師現(xiàn)場演示畫函數(shù)圖像過程，并引導(dǎo)學(xué)生集體回答解題過程，理解復(fù)合函數(shù)“同增異減”.例1（2）展示生7所做的函數(shù)圖像（如圖3），并叫他分享解題過程，教師板演. 
,ab+ba，212
21
logxfxx1x
x
fxee
 
                    
             
                    
                             
圖3  生7在回答例1（2）時(shí)所做的圖 
設(shè)計(jì)意圖：此題考查了對(duì)勾函數(shù)分別作為里函數(shù)、外函數(shù)，和基本初等函數(shù)復(fù)合后的函數(shù)單調(diào)區(qū)間求解，是新知的一個(gè)應(yīng)用.考慮到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，他們較難理解口訣“同增異減”的內(nèi)涵，容易出錯(cuò).此次借助圖形計(jì)算器畫函數(shù)圖像的便捷性，將復(fù)合函數(shù)及其里函數(shù)、外函數(shù)的圖像均畫出，對(duì)比求解，幫助學(xué)生理解這個(gè)知識(shí)點(diǎn). 
6.6知識(shí)小結(jié) （1）對(duì)勾函數(shù)0a
yxax

的單調(diào)性與最值. （2）對(duì)勾函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性與最值. 6.7作業(yè)布置 
（1）利用圖形計(jì)算器探究函數(shù)0a
yxax

的單調(diào)性. （2）編制函數(shù)0a
yxax

與其他函數(shù)復(fù)合的函數(shù)兩個(gè)，并利用圖形計(jì)算器研究它們的單調(diào)性與最值，寫下解題過程. 
7 教學(xué)反思 
近十年，“互聯(lián)網(wǎng)+”、大數(shù)據(jù)、人工智能等新詞不斷進(jìn)入眼簾，信息技術(shù)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用越來越廣泛.在教育領(lǐng)域，國家提出了《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011-2020）》.教育部提出了《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》（2018）.因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)融入課堂能給教學(xué)帶來較大便利.它能多方面的展示知識(shí)，增加學(xué)生理解知識(shí)的角度，讓學(xué)生眼中的知識(shí)更加豐富多彩，“活靈活現(xiàn)”，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，降低知識(shí)的理解難度.對(duì)于本課，筆者有如下體會(huì)。 
7.1圖形計(jì)算器加入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順應(yīng)時(shí)代潮流 
 
                    
             
                    
                            圖形計(jì)算器的出現(xiàn)源于人們發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)難度大，學(xué)生家長在輔導(dǎo)孩子作業(yè)時(shí)感到力不從心[1]，而電子技術(shù)發(fā)展到了一定的程度，圖形計(jì)算器便應(yīng)運(yùn)而生了.目前，歐美發(fā)達(dá)國家的中學(xué)生幾乎人手一臺(tái)圖形計(jì)算器，他們大部分考試允許帶圖形計(jì)算器.我國引入圖形計(jì)算器后，也積極推廣，多地多所學(xué)校開辟了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，讓圖形計(jì)算器加入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.而現(xiàn)在的孩子，出生于信息時(shí)代，對(duì)電子產(chǎn)品有天生的熟悉感和親切感，上手容易，樂于把玩，不僅助于他們學(xué)習(xí)，也為之后適應(yīng)信息化社會(huì)打下基礎(chǔ).值得注意的是信息技術(shù)不能代替紙筆演算，紙筆演算的過程是學(xué)生思維鍛煉的過程，是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的過程.在教學(xué)過程中應(yīng)該兩者結(jié)合，相輔相成. 
7.2圖形計(jì)算器有助于學(xué)生自主探究 
筆者所用的圖形計(jì)算器版本為德州儀器的TI-nspire CX-C，它功能強(qiáng)大，覆蓋中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)、數(shù)列、不等式、圓錐曲線、幾何體、統(tǒng)計(jì)與概率等方面，還可自主編程.比如，本課中學(xué)生自己畫函數(shù)圖像，利用游標(biāo)功能展示圖像的連續(xù)變化.再比如，幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡，概率中的隨機(jī)抽樣，學(xué)生均可自主摸索探究，增加了學(xué)習(xí)的樂趣，改變了傳統(tǒng)的老師講，學(xué)生看的教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)了讓知識(shí)在學(xué)生手中產(chǎn)生的教學(xué)愿景. 
7.3圖形計(jì)算器幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí) 
數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性，復(fù)雜性，對(duì)于有些學(xué)生，理解上存在較大困難.而圖形計(jì)算器能多方面展示知識(shí)，增加學(xué)生理解知識(shí)的角度，還能讓學(xué)生自主動(dòng)手操作，自主探究，讓知識(shí)更加豐富多彩，“活靈活現(xiàn)”.以本課為例，課中多次讓學(xué)生自己運(yùn)用圖形計(jì)算器畫函數(shù)圖像，探究函數(shù)單調(diào)性與最值，化抽象為直觀，不僅激起了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助他們更好的理解所學(xué)知識(shí)，也鍛煉了他們的自主探究能力和動(dòng)手操作能力. 
 
參考文獻(xiàn) 
[1]王光生，何克抗.Microsoft Student Graphing Calculator支持下的函數(shù)學(xué)習(xí)[J].中國電化教育，2007（1）：91-94

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