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視頻標(biāo)簽：函數(shù)概念,形成與發(fā)展
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教B版高一數(shù)學(xué)必修一必修一第二章《函數(shù)概念的形成與發(fā)展》大連市第二中學(xué)
本視頻配套資料的教學(xué)設(shè)計(jì)、課件 /課堂實(shí)錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
一、【教學(xué)內(nèi)容分析】
本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)文化課，是依據(jù)人教B版必修一第二章《閱讀與欣賞——函數(shù)概念的形成與發(fā)展》而設(shè)計(jì)的。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一條重要主線，它不僅是對(duì)集合內(nèi)容的鞏固與發(fā)展，也是日后學(xué)習(xí)方程、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的重要工具。另外，函數(shù)在日常生活、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、物理、計(jì)算機(jī)等方面都有重要應(yīng)用。
函數(shù)概念是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ)，但高中函數(shù)概念文字表述冗長(zhǎng)，抽象程度更高，所涉及的符號(hào)多、題型多、考點(diǎn)多，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。之所以是難點(diǎn)，其中一個(gè)重要的原因就是教材對(duì)概念的形成所提供的感性材料不夠充分，形式化的符號(hào)表述導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解不夠深入。
新課標(biāo)中提出：“數(shù)學(xué)史更多的反映了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，而我們的數(shù)學(xué)課程中對(duì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值的關(guān)注有所欠缺。”因此，本節(jié)課縱觀函數(shù)發(fā)展史，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)從形成到不斷的修正、完善，直至做到更加嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確的表達(dá)的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延的認(rèn)識(shí)更為深刻，降低函數(shù)概念以及符號(hào)的抽象性，從而化解難點(diǎn)。
二、【學(xué)情分析】
從學(xué)生知識(shí)層面看：學(xué)生在初中初步探討了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，因此對(duì)初中函數(shù)概念有較好的掌握；通過(guò)高一第一章“集合”、第二章“函數(shù)”的學(xué)習(xí)，對(duì)集合理論下的函數(shù)概念也有一定的認(rèn)識(shí)，為講述函數(shù)概念的發(fā)展、從根本上揭示函數(shù)的本質(zhì)提供了知識(shí)保證。
從學(xué)生能力層面看：通過(guò)以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已有一定的分析、歸納和概括能力，初步具備了學(xué)習(xí)本節(jié)課的基本能力。課上需要學(xué)生從高中函數(shù)概念中提煉函數(shù)概念的本質(zhì)，并且對(duì)比初中與高中函數(shù)概念說(shuō)明高中函數(shù)概念在初中基礎(chǔ)上有何調(diào)整與改進(jìn)，這都需要學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)抽象思維能力，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求。
三、【教法與學(xué)法選擇】
問(wèn)題式教學(xué)法：本堂課的主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)文化以及函數(shù)概念的辨析,根據(jù)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，我采取問(wèn)題式教學(xué)法；以問(wèn)題串為主線，通過(guò)設(shè)置幾個(gè)具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各階段函數(shù)概念的局限性，最終形成集合理論下的函數(shù)概念并從中歸納、概括出函數(shù)概念的本質(zhì),這剛好也符合建構(gòu)主義的教學(xué)理論。
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探究式學(xué)法：新課標(biāo)要求：“教師要把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上。教師教學(xué)方式運(yùn)用的落腳點(diǎn)最終是提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，自覺(jué)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。”結(jié)合本堂課的特點(diǎn)，我倡導(dǎo)的是探究式學(xué)法。讓學(xué)生在小組探究中,通過(guò)老師問(wèn)題的引導(dǎo)歸納各階段函數(shù)概念的局限性；通過(guò)問(wèn)題的解決，概括出函數(shù)的概念的本質(zhì),從而讓學(xué)生由“被動(dòng)學(xué)會(huì)”變成“主動(dòng)會(huì)學(xué)”。
四、【教學(xué)目標(biāo)】
1) 經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過(guò)程，并能說(shuō)出幾個(gè)關(guān)鍵階段和代表人物；
2) 了解集合理論下的函數(shù)的關(guān)鍵要素、定義域及對(duì)應(yīng)法則 ，掌握符號(hào) 的含義，
提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；
3) 撰寫小論文，感悟函數(shù)概念形成過(guò)程中蘊(yùn)含的人文精神和科學(xué)精神.
五、【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解
【解決措施】
本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程。課前通過(guò)設(shè)計(jì)一節(jié)微課，詳細(xì)講述函數(shù)概念從形成、修成到完善的完整過(guò)程，讓學(xué)生觀看微課、提前預(yù)習(xí)。另外，課前導(dǎo)學(xué)案中設(shè)計(jì)了四個(gè)閱讀材料，分別講述了函數(shù)發(fā)展的不同階段以及各個(gè)階段的核心觀點(diǎn)，學(xué)生課前預(yù)習(xí)并做導(dǎo)學(xué)案，可以對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程有大致了解。課上，為了更加生動(dòng)形象，通過(guò)四位同學(xué)角色扮演，帶大家沿著數(shù)學(xué)家的步伐和足跡探尋函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展的全過(guò)程。
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解。函數(shù)概念的本質(zhì)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)，學(xué)生不理解歸根結(jié)底是因?yàn)閷?duì)初中函數(shù)概念根深蒂固，不理解函數(shù)概念為什么要推廣。本節(jié)課借助歷史發(fā)生教學(xué)，帶學(xué)生遵循歷史足跡，探尋函數(shù)發(fā)展的各個(gè)階段及其局限性。學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)、通過(guò)實(shí)際舉例說(shuō)明當(dāng)前階段函數(shù)概念的局限性并對(duì)其進(jìn)行推廣，完成函數(shù)概念從“唯解析式論”到“變量說(shuō)”再到“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的發(fā)展過(guò)程，自然而然的形成高中集合理論下的函數(shù)概念。
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六、【信息技術(shù)】
1、PPT
PPT已成為每堂課必備的多媒體載體，PPT具有快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，可以為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于增加課堂容量，提高課堂效率。同時(shí)，與板書相結(jié)合，突出課堂重點(diǎn)。
2、微課
微課是學(xué)生課外延伸的個(gè)性化閱讀和學(xué)習(xí)的最好載體，也是傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)的一種重要補(bǔ)充和拓展。本節(jié)課微課的主要內(nèi)容是函數(shù)概念的完整發(fā)展過(guò)程，是學(xué)生在課前觀看的。函數(shù)的發(fā)展歷程是本節(jié)課的重點(diǎn)，但要求學(xué)生在課堂上完全掌握存在一定的困難。因此，微課可以幫助學(xué)生提前預(yù)習(xí)，提前了解函數(shù)發(fā)展過(guò)程，分散課堂難點(diǎn)。
3、圖形計(jì)算器Geogebra
本節(jié)課課堂上并沒(méi)有使用該軟件，但學(xué)生在表演時(shí)所做的PPT中涉及到函數(shù)圖象，是學(xué)生自己用Geogebra軟件做出的。函數(shù)圖象在研究函數(shù)中有重要作用，而Geogebra軟件為學(xué)生作圖提供了很好的載體。
4、UMU互動(dòng)學(xué)習(xí)平臺(tái)
UMU是一款移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)平臺(tái)，該平臺(tái)有很多功能，支持學(xué)生課上與課下的學(xué)習(xí)，本節(jié)課所使用的功能如下：
（1）上傳微課。UMU學(xué)習(xí)平臺(tái)可以上傳微課，并生成二維碼。
（2）翻轉(zhuǎn)課堂。提前把微課、文章等教學(xué)內(nèi)容上傳至UMU平臺(tái)，學(xué)生下載UMU APP，課前先預(yù)習(xí)，上課更有效。
（3）課堂檢測(cè)。當(dāng)堂檢測(cè)，學(xué)生掃描二維碼答題，現(xiàn)場(chǎng)提交，分?jǐn)?shù)立刻展示，大屏幕可以展示排行榜及每題結(jié)果，還可以針對(duì)考試情況自動(dòng)生成微課進(jìn)行講解。
（4）實(shí)時(shí)上傳。課上上傳學(xué)生成果，大屏幕實(shí)時(shí)顯示，學(xué)生在APP上也可以及時(shí)查看。 （5）布置作業(yè)。學(xué)生通過(guò)掃描二維碼，或在UMU APP上提交作業(yè)，作業(yè)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不僅僅是教師打分，還有學(xué)生互評(píng)，最終形成6個(gè)維度的AI評(píng)價(jià)，為學(xué)生實(shí)時(shí)提供個(gè)性化作業(yè)反饋。
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七、【教學(xué)設(shè)計(jì)】 【設(shè)計(jì)思路】
本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)文化課，新課標(biāo)對(duì)《函數(shù)概念的形成與發(fā)展》這一內(nèi)容也有一定的要求，即“收集、閱讀函數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述函數(shù)發(fā)展的過(guò)程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)”。基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本節(jié)課的一個(gè)關(guān)鍵目標(biāo)是要讓學(xué)生了解函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程。課前讓學(xué)生閱讀教材、查找資料、觀看微課，做到對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展有大致的了解。課上四位同學(xué)角色扮演，生動(dòng)形象的講述函數(shù)概念的發(fā)展，以此完成本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。讓學(xué)生了解函數(shù)史的關(guān)鍵目的在于：借助數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更加深刻理解函數(shù)的概念。因此，本堂課的后半段回歸到常態(tài)課，辨析高中函數(shù)概念、高中函數(shù)概念與初中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系。
章建躍老師曾指出，函數(shù)概念這一節(jié)需要注意以下幾點(diǎn)： （1）高中為什么還要重新定義函數(shù)概念？ （2）重視一般符號(hào) 的意義的理解；
（3）關(guān)于分段函數(shù)，要明確“分段函數(shù)是由幾個(gè)函數(shù)組成的嗎？”[9]
因此，本節(jié)課在“辨析函數(shù)概念”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了如下三個(gè)問(wèn)題： 1、高中函數(shù)概念中的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？
2、高中函數(shù)概念在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上做了哪些改進(jìn)？ 3、你是如何理解符號(hào) ？而 又是什么意思？ 課堂練習(xí)時(shí)，設(shè)計(jì)了三道題：
1題：說(shuō)明狄利克雷函數(shù)是函數(shù)。狄利克雷函數(shù)無(wú)法畫出函數(shù)圖像，也不存在解析式，且是一個(gè)分段函數(shù)，首先讓學(xué)生清楚分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的定義域是R。其次，判斷是否為函數(shù)，學(xué)生可以再次回顧函數(shù)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。
2題：寫出兩個(gè)集合A與B之間的兩個(gè)函數(shù)。這一問(wèn)題也在考察對(duì)函數(shù)概念的理解。 3題：求解函數(shù)定義域問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生必須掌握求簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的方法。 課堂檢測(cè)環(huán)節(jié)也設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，第一題考察學(xué)生對(duì)函數(shù)概念發(fā)展過(guò)程的了解；第二題考察學(xué)生對(duì)函數(shù)概念及三要素的掌握；第三題考察學(xué)生求解函數(shù)定義域的掌握情況。
最后，課堂小結(jié)，帶學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。課外延伸，要求學(xué)生獨(dú)立撰寫一篇小論文，論述函數(shù)概念的發(fā)展歷程。
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【教學(xué)設(shè)計(jì)】
教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)環(huán)節(jié) 起止時(shí)間
教學(xué)內(nèi)容
學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 媒體作用 及分析 課前
準(zhǔn)備
制作微課，微課內(nèi)容為函數(shù)概
念的發(fā)展過(guò)程
學(xué)生觀看微課并做導(dǎo)學(xué)案
讓學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)，提前熟悉函數(shù)概念發(fā)展歷程。
【微課】幫助學(xué)生提前了解函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程。
創(chuàng)設(shè)情境 引入新課
0’00’’ ~ 2’40’’
古希臘哲學(xué)家赫拉克利特說(shuō)：人不能兩次踏入同一條河流。大家覺(jué)得可不可以？
當(dāng)時(shí)這位哲學(xué)家是這樣解釋的，他說(shuō)：“因?yàn)楹铀诹鲃?dòng)，第二次踏入的已經(jīng)不是上次的河流了。”
如果按照這樣的說(shuō)法，昨天的黃河和今天的黃河還是同一條河嗎？
昨天晚上的你和現(xiàn)在的你到底是同一個(gè)人還是兩個(gè)人？ 當(dāng)時(shí)的人們之所以會(huì)這樣說(shuō)，是因?yàn)樗麄儾欢萌绾慰创\(yùn)動(dòng)中的事物，不懂得如何控制變量。直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了變量與函數(shù)的概念，人們才懂得精準(zhǔn)刻畫運(yùn)動(dòng)與變化的方法。函數(shù)概念發(fā)展至今已經(jīng)有幾百年了，在這幾百年的時(shí)間里，函數(shù)是如何一步一步發(fā)展到現(xiàn)如今函數(shù)定義呢？最初的函數(shù)是什么樣子的呢？讓我們帶著這些問(wèn)題學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容——函數(shù)概念的形成與發(fā)展（板書）
齊聲：可以！
齊聲：不是！
齊聲：兩個(gè)人
本節(jié)課開場(chǎng)以講述的方式帶學(xué)生感受為什么要引入函數(shù)概念，通過(guò)古希臘著名的哲學(xué)悖論讓學(xué)生感受靜止與運(yùn)動(dòng)之間的辯證觀點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的欲望。
【PPT】動(dòng)畫展示 角色扮演 歷史再現(xiàn)
2’40’’
~
11’00’’
四位學(xué)生同學(xué)角色扮演表演情景劇，生動(dòng)形象的講述函數(shù)概
念的發(fā)展歷程。 學(xué)生A負(fù)責(zé)旁白，介紹函數(shù)概
念的大致發(fā)展歷程。并說(shuō)明各階段函數(shù)概念的局限性。 四位學(xué)生表演情景劇。 其余同學(xué)配合。 生動(dòng)形象的表演可以讓學(xué)生們對(duì)函
數(shù)概念的發(fā)展歷程有更加深刻的了【UMU學(xué)習(xí)平臺(tái)——翻轉(zhuǎn)課堂功能】學(xué)生課前觀看平臺(tái)上提前上傳的微
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學(xué)生B扮演笛卡爾，講述他為函數(shù)發(fā)展做出的貢獻(xiàn)。
學(xué)生C扮演歐拉，講述函數(shù)發(fā)展的第二個(gè)階段——以解析式為基礎(chǔ)的函數(shù)。
學(xué)生D扮演狄利克雷，講述函數(shù)發(fā)展的第三個(gè)階段——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)。 （具體臺(tái)詞見附件）
解。
心形線可以為學(xué)生提供一個(gè)反例，讓學(xué)生明白不是所有的圖形都能刻畫一個(gè)函數(shù)關(guān)系。 課、拓展文章及PPT，提前預(yù)習(xí)。
PPT中的函數(shù)圖像是學(xué)生自己用【圖形計(jì)算器Geogebra】畫出的。
回顧
歷史 形成概念
11’00’’ ~ 18’36’’ 一、伽利略眼中函數(shù) 問(wèn)：誰(shuí)最先引入函數(shù)的？ 問(wèn)：伽利略用什么刻畫函數(shù)？ 問(wèn)：我們是否也曾像伽利略一樣用文字的語(yǔ)言刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系？
PPT再舉例：正方形面積等于邊長(zhǎng)的平方，體積等于邊長(zhǎng)的立方；歐姆定律。
問(wèn)：文字描述的優(yōu)點(diǎn)是什么？ 問(wèn)：文字描述有什么缺點(diǎn)？ 字母符號(hào)引入后，這些文字描述可以用簡(jiǎn)單的式子來(lái)表示，
齊聲：伽利略 齊聲：文字 某同學(xué)：總價(jià)等于單價(jià)乘數(shù)量 某同學(xué)：表述清晰、容易理解 齊聲：繁瑣，不夠簡(jiǎn)潔 這一階段對(duì)
應(yīng)學(xué)生小學(xué)接觸到的函數(shù)。書中明確說(shuō)明函數(shù)的表示方法
有四種：列表法、解析法、圖像法
和自然語(yǔ)
言。
自然語(yǔ)言描
述函數(shù)就是學(xué)生在小學(xué)階段接觸到
的，因此，帶學(xué)生回顧函數(shù)發(fā)展的關(guān)鍵階段，也讓學(xué)生了解我們現(xiàn)在
【PPT】動(dòng)畫展示
【PPT】動(dòng)畫展示
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即 、 、 當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們看到這些簡(jiǎn)潔的式子一度認(rèn)為解析式就是函數(shù)，函數(shù)就是解析式，他們的說(shuō)法正確嗎？
當(dāng)時(shí)，函數(shù)概念的發(fā)展進(jìn)入到第二個(gè)階段。
二、以解析式為基礎(chǔ)的函數(shù) 這一時(shí)期的代表人物是伯努利和歐拉，在他們眼中函數(shù)是什么？
問(wèn)：所有的函數(shù)都能寫出解析式嗎？
請(qǐng)某位學(xué)生舉例
PPT舉例：
（1）表格形式展示“里約奧運(yùn)金牌榜金牌數(shù)與排名之間” （2）圖像形式展示“流浪地球票房與時(shí)間之間”
問(wèn)：以上兩個(gè)例子都是函數(shù)關(guān)系，卻沒(méi)有解析式，他們之間有什么共同特征？
因此，函數(shù)不一定要有解析式，只要有某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系就可以了。所以，函數(shù)的發(fā)展又進(jìn)入到第三個(gè)階段。
三、對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)
在這一階段代表人物是狄利克雷，當(dāng)時(shí)狄利克雷給出了一個(gè)函數(shù)定義：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”
齊聲：不正確
齊聲：解析式
齊聲：不是
某同學(xué)：一天當(dāng)中溫度與時(shí)間之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，但沒(méi)有解析式。
學(xué)生思考回答：都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系
學(xué)習(xí)的函數(shù)
也是按照歷史發(fā)生的順序。
函數(shù)第二階段的觀點(diǎn)也一度是學(xué)生的誤區(qū)。 初中學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，這些函數(shù)都是有解析式的。因此初中階段，在學(xué)生心中，函數(shù)是什么？函數(shù)是 。他們說(shuō)出的一般都是解析式。這一環(huán)節(jié)學(xué)生舉例說(shuō)明并不是所有函數(shù)都能寫出解析式，消除學(xué)生誤區(qū)。
函數(shù)這一階段對(duì)應(yīng)著學(xué)生初中接觸到的函數(shù)。初中函數(shù)定義學(xué)生已經(jīng)掌握，但這并不是最終的函數(shù)定
【PPT】動(dòng)畫展示
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問(wèn)：狄利克雷的函數(shù)定義與之前的函數(shù)定義相比有何改進(jìn)？ 狄利克雷的函數(shù)定義成為大眾認(rèn)可的經(jīng)典定義，也被很多初中版本教材引用。
回憶初中函數(shù)定義：“在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。”
問(wèn)：初中函數(shù)定義有何局限？ 解釋：該函數(shù)定義已經(jīng)完全揭示了函數(shù)概念的本質(zhì)，但準(zhǔn)確性不高，例如：可以用初中函數(shù)定義解釋 是一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？ 到了20世紀(jì)，集合理論誕生后，函數(shù)我們還可以從另外一個(gè)角度來(lái)看待它，而且這個(gè)角度更有利于日后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。 四、集合理論下的函數(shù)
高中函數(shù)概念：“設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì)A中的任意數(shù)x，按照確定的對(duì)應(yīng)法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它相對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作 ， 。
其中x叫做自變量，自變量的
取值范圍叫做函數(shù)的定義域。 與x對(duì)應(yīng)的y叫做函數(shù)值，函
學(xué)生思考
答：擺脫了解析
式的束縛，兩個(gè)變量之間能否寫出表達(dá)式無(wú)關(guān)緊要，只要他們之間存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。
齊聲：不能 例如：因?yàn)槌踔泻瘮?shù)定義中強(qiáng)調(diào)y隨x的變化而變化，而 中無(wú)論x為何值，y都等于1，體現(xiàn)不出變化，因此初中定義解釋它有些牽強(qiáng)。
某學(xué)生讀函數(shù)概念 義，高中又對(duì)函數(shù)定義進(jìn)行推廣。因此這一環(huán)節(jié)通過(guò)問(wèn)題設(shè)置，教師講解，讓學(xué)生清楚初中函數(shù)定義的局限性，因此需要推廣。
復(fù)習(xí)高中函數(shù)定義。
【PPT】動(dòng)畫展示
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數(shù)值構(gòu)成的集合叫做函數(shù)的值域。”
辨析概念加深理解
18’36’’ ~ 26’30’’
問(wèn)：高中函數(shù)概念中有哪些關(guān)鍵詞？
問(wèn)：如何用高中函數(shù)定義來(lái)判斷一個(gè)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系？函數(shù)定義當(dāng)中有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？
板書：
（1）兩個(gè)非空數(shù)集A、B
（2）確定的對(duì)應(yīng)法則f
（3）唯一確定的y與之相對(duì)應(yīng) PPT中呈現(xiàn)高中函數(shù)定義和初中函數(shù)定義，
問(wèn)：高中函數(shù)定義在初中基礎(chǔ)上有何改進(jìn)？ 學(xué)生小組討論，給出回答。 總結(jié)：
①高中函數(shù)定義中有集合，而且x與y看成了集合中的元素； ②高中函數(shù)定義中有了定義域和值域的概念； ③高中函數(shù)定義中出現(xiàn)了對(duì)應(yīng)法則。 問(wèn)：你是如何理解符號(hào) ？而 是什么意思？
某同學(xué)： ①任意數(shù)x
②確定的對(duì)應(yīng)法則f
③唯一數(shù)y
學(xué)生思考，共同回答
學(xué)生小組討論。 派代表回答，其
他小組補(bǔ)充。 某同學(xué)： 是一種對(duì)應(yīng)法則， 表示一種符號(hào)。 辨析高中函數(shù)概念，理解函數(shù)概念的本質(zhì)。
掌握函數(shù)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并會(huì)用這三點(diǎn)判斷一個(gè)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系。
辨析初高中函數(shù)定義之間的區(qū)別與聯(lián)系。
理解對(duì)應(yīng)法則的含義，符號(hào)
以及
的含義。
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總結(jié)： 表示一種對(duì)應(yīng)規(guī)則， 是一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算的符號(hào)，它作用到x就得到一個(gè)結(jié)果y，例： 作用到1上，得到的結(jié)果 。 至于 這個(gè)數(shù)值是多少，決定于什么？
這個(gè)對(duì)應(yīng)法則可以是解析式、可以是圖像、也可以是表格。 例如：如果給出圖像，
如果給出表格，
x 1 2 3
y 6 7 8
則
如果給出解析式，
則
學(xué)生整理，完善學(xué)案中“函數(shù)
概念的形成與發(fā)展線路圖”
找一位答案比較標(biāo)準(zhǔn)的同學(xué)，
拍照上傳至UMU，其它同學(xué)查看并參照修改。
齊聲：對(duì)應(yīng)法則f
教師提問(wèn)，學(xué)生齊聲回答
該生拍照上傳
大屏幕實(shí)時(shí)顯示
學(xué)生參照并修改 學(xué)生填寫函數(shù)概念發(fā)展歷程中的關(guān)
鍵階段的代表人物、主要觀點(diǎn)和局限性，幫助學(xué)生再次回顧函數(shù)的發(fā)展過(guò)程。
【UMU學(xué)習(xí)平臺(tái)——拍照上傳功能】上傳答案，可節(jié)省學(xué)生將試卷送到展板的時(shí)間，且可避免因展板展示不清晰而看不清的情況。
【UMU學(xué)習(xí)平臺(tái)——實(shí)時(shí)查看功能】圖片實(shí)時(shí)上傳，學(xué)生可在APP中直接打開。圖片會(huì)一直保留在UMU軟件中，方便學(xué)生課后隨時(shí)查看。 鞏固
練習(xí)高效展示
26’30’’ ~ 34’45’’
小組討論學(xué)案中訓(xùn)練案2、3、4題。 2、從集合角度說(shuō)明狄利克雷函
數(shù) （ 為有理數(shù)） （ 為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)函數(shù).
3、已知集合A= ，B= ，試寫出從集合A到
B的兩個(gè)函數(shù).
小組討論
接到任務(wù)的同學(xué)到后黑板分別展示三道題
小組討論訓(xùn)練案三道題，學(xué)生之間互幫互助，培養(yǎng)良好的團(tuán)隊(duì)意識(shí)。
學(xué)生展示、講解可以為學(xué)生提供一
【PPT】展示題目
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4、求函數(shù)
的定義域.
高效展示、精彩講解
三位同學(xué)分別為大家講解三道題目
個(gè)在大家面前展示自我的機(jī)會(huì)，同時(shí)提升學(xué)生概括能力及語(yǔ)言表達(dá)能力。
【PPT】呈現(xiàn)展示人及展示題目 當(dāng)堂檢測(cè) 及時(shí)鞏固
34’45’’ ~ 38’52’’ 學(xué)生用手機(jī)掃描屏幕上方二維碼并開始答題
完成檢測(cè)題目后提交。 題目： 1題：初中函數(shù)定義借鑒了下
列哪位科學(xué)家所提出的函數(shù)定義？ A.柯西 B.伯努利 C.狄利克雷 D.歐拉 2題：下列說(shuō)法正確的是（ ） A 是函數(shù) 不是函數(shù) C. 與
是同一個(gè)函數(shù)
D. 與. 是同一個(gè)函數(shù)
3.設(shè)函數(shù)
，
求函數(shù)
的定義域. A.
學(xué)生掃描二維碼 學(xué)生答題 屏幕實(shí)時(shí)顯示提交人數(shù) 學(xué)生答題后查看結(jié)果
屏幕展示答題排行榜
屏幕展示每題正確率
課堂檢測(cè)，
檢測(cè)學(xué)生本節(jié)課的掌握情況。檢測(cè)題目涉及三
個(gè)知識(shí)點(diǎn)。 1題考查函
數(shù)概念的發(fā)展史。 2題考查學(xué)
生對(duì)函數(shù)概念的掌握情況。 3題為求解定義域問(wèn)
題。
這三類問(wèn)題
都是本節(jié)課
教學(xué)目標(biāo)中需要學(xué)生掌
握的。 【UMU學(xué)習(xí)平臺(tái)——課堂檢測(cè)功能】 課堂檢測(cè)，限時(shí)回答，分?jǐn)?shù)立刻展示。同時(shí)，大屏幕還可以展示排行榜及每題結(jié)果。每題都有詳細(xì)解答，學(xué)生答題后可以對(duì)照參考答案，查找錯(cuò)誤原因，還可以針對(duì)考試情況自動(dòng)生成微課進(jìn)行講解。
13 / 17
B.
C.
D.
總結(jié)反思知識(shí)升華
38’52’’
~ 39’23’’
總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容： （1）了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程 （2）辨析高中函數(shù)概念，掌握函數(shù)概念三要素
（3）理解對(duì)應(yīng)法則f的含義
（4）會(huì)求解簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域
師生共同回憶 讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，老師適當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，表達(dá)能力和自我獲取知識(shí)的能力。
【PPT】動(dòng)畫展示
課外拓展數(shù)學(xué)文化
39’23’’ ~ 40’51’’ 每個(gè)數(shù)學(xué)概念和公式的背后都有它的故事，或許源于一個(gè)靈感；或許是幾代人甚至是幾個(gè)世紀(jì)人們共同努力使之完善的過(guò)程；或許是中外數(shù)學(xué)家的一些共同思考。
函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié).。因
此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展。
結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容，撰寫一篇小論文，論述函數(shù)發(fā)展的過(guò)程、重要結(jié)果、主要任務(wù)及其對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)。要求以小組為單位Word文檔形式上傳至下方二維碼。
學(xué)生查閱資料，獨(dú)立完成一篇小論文，論述函數(shù)概念的發(fā)展歷程，并按時(shí)上傳至UMU平臺(tái)上。
撰寫小論文，感悟函數(shù)概念形成過(guò)程中蘊(yùn)含的人文精神和科學(xué)精神
【UMU學(xué)習(xí)平臺(tái)——上交作業(yè)功能】學(xué)生通過(guò)掃描二維碼，或在UMU APP上提交作業(yè)，作業(yè)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不僅僅是教師打分，還有學(xué)生互評(píng)，最終形成6個(gè)維度的AI評(píng)價(jià)，為學(xué)生實(shí)時(shí)提供個(gè)性化作業(yè)反饋。
視頻來(lái)源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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