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視頻標簽：數學歸納法
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修2-2第二章《數學歸納法應用舉例》遼寧省優課
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《數學歸納法應用舉例》教學設計
一、
教材分析：
本課是人教版全日制普通高級中學教科書數學選修2-2第二章第3節的內容，根據課標要求，本書該節共2課時，這是第二課時，其主要內容是數學歸納法的原理及其應用。數學歸納法是一種重要的數學證明方法，在高中數學內容中占有重要的地位，其中體現的數學思想方法對學生進一步學習數學、領悟數學思想至關重要。數學歸納法的證明過程中展現的推理和邏輯思維讓學生體會到數學的嚴謹和規范。學習數學歸納法后學生對等差等比數列、數列求和等問題的解決有了新的方法。 二、
學情分析：
本節課是絕對值不等式的第二課時，所以學生們對不等式的解法已經有所了解，基本掌握解絕對值不等式的基本思想：去絕對值符號。第一課時主要介紹了含有一個絕對值的不等式axbcaxbc形如和的解法，還介紹了含有一個絕對值的雙向不等式的解法，可以轉化成求兩個單向不等式，然后再求交集。基于以上基礎，在講解本節課含有兩個絕對值的不等式的時候，相對會比較輕松一些，但是本節課會介紹三種方法，學生們都要掌握。 三、
教學對象：
高中學生，具備一定的認知能力，思維目的性，連續性和邏輯性也已經初步形成，具較強的探究欲望。 四、
教學目標： 知識與技能
（1）了解歸納法，理解數學歸納法的原理與實質，掌握數學歸納法證題的兩個步驟。
（2）會證明簡單的與正整數有關的命題。 過程與方法
努力創設課堂愉悅的情境，使學生處于積極思考，大膽質疑的氛圍，提高學生學習興趣和課堂效率，讓學生經歷知識的構建過程，體會類比的數學思想。
情感態度與價值觀
選修2-2第二章第三節編寫人：張茜校對人：高二數學組
通過本節課的教學，使學生領悟數學思想和辯證唯物主義觀點，激發學生學習熱情，提高學生數學學習的興趣，培養學生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質，以及發現問題、提出問題的意見和數學交流能力。 五、
教學重點：
1.初步理解數學歸納法的原理。
2.明確用數學歸納法證明命題的兩個步驟。
3.初步學會使用數學歸納法證明簡單的與正整數有關的數學恒等式。
六、
教學難點：
1.學生不易理解數學歸納法的思想實質，具體表現在不了解第二個步驟的作用，不易根據歸納假設做出證明。
2.運用數學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發現具體問題的遞推關系。
七、
教學手段：
本節課采用類比啟發探究式教學方法，以學生及其發展為本，一切從學生出發。在教師組織啟發下，通過創設問題情境，激發學習欲望。師生之間、學生之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數學歸納法的原理、步驟；培養學生歸納、類比推理的能力，進而應用數學歸納法，證明一些與正整數n有關的簡單數學命題；提高學生的應用能力，分析問題、解決問題的能力。既強調獨立思考，又提倡團結合作；既重視教師的組織引導，又強調學生的主體性、主動性、平等性、交流性、開放性和合作性。
充分利用信息化資源進行多維度的知識展示，綜合利用多媒體視頻、ppt講稿、PAD教學、白板展示、投影、思維導圖等信息化教學手段，生動展示本節課內容、調動學生積極性，讓學生積極參與到課堂中來，實現教學目標。 八、
教學過程：
第一步：知識回顧： 活動設計：
一、什么叫數學歸納法？
對于某些與自然數n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性： 1、先證明當n取第一個值n0時命題成立； 2、然后假設當，k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 這種證明方法就叫做數學歸納法。
選修2-2第二章第三節編寫人：張茜校對人：高二數學組
二、多米諾骨牌
（1）第一塊骨牌倒下；（基礎）
（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定能導致后一塊倒下。（事實上條件（2）給出了一個遞推關系：當第k塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。）
三、數學歸納法的應用 1、證明等式 2、證明不等式 3、猜想再證明 4、整除問題 5、幾何問題
第二步：擴展訓練： 活動設計：
2311111
11()22222
nnnN、用數學歸納法證明
2323111
1111
(1)1==1222
(2)(1,)11111
122222
11111111
1=122222222
21
112
(1)(2)kk
kkkkkknnkkkNnknknN證明：當時，左邊，右邊，等式成立
假設當時，等式成立，就是
當時，左邊右邊，這就是說當時，等式也成立
根據和，可知等式對任意都成立
111212()23(1)1=1=2,1<2(2)(1,)111
122311111
11223112(1)111111
1nnNn
nnkkkNkk
nkkkkkkkkkkkknk
、用數學歸納法證明證明：當時，左邊，右邊，所以不等式成立假設當時，不等式成立，就是 當時，+
=
<=2，
這就是說當時，不等式也成(1)(2)nN立根據和可知不等式對任意都成立
第二步：變式練習： 活動設計：
選修2-2第二章第三節編寫人：張茜校對人：高二數學組
1115
(2,)
1236
11115
(1)2=34566
1115
(2)(2,)1236
111111
1(1)1(1)2331323(1)111111(1233132nnNnnnnnkkkNkkknkkkkkkkkkkkk
求證：證明：當時,左邊，不等式成立
假設當時命題成立，即當時，1)331511115115()(3)63132331633161(1)(2)2kkkkkkkknknnN當時，不等式也成立
由和可知原不等式對一切，均成立
第四步：擴展訓練 活動設計：
12311231113{},21(1),,(2)3715211
(1)21,,,22482213
(2)12-=22
1
(1,)22
1nnnnnnnnnnnkk
anSSanaaaaSanaaaanankkkNanka
、已知數列其前項和為，且滿足求出并且推測的表達式用數學歸納法證明所得結論
答：由，得故推測證明：當時，，結論成立
假設當時，結論成立，即當時，23111231111
2(1)111=2122,24,2221kkkkkkkkkkkaaaaakaaaakaaaaanknN
，
這就是說當時，結論成立，根據和可知對任意結論都成立
選修2-2第二章第三節編寫人：張茜校對人：高二數學組
11234
1111234121
{},,2(2)
3(1)(2)11
(1)22,(2)2
2345
34561
(2)()
2
2
13
nnnnnnnnnnnnnnaanSaSnSSSSSSnaSSSSnSSSaSSSnSnNnnS
4、已知數列中其前項和滿足計算，，，猜想的表達式并用數學歸納法加以證明答：當時，則有=，=，=，=猜想證明：當時，，11()2
112(1)1
1123(1)2221kkkknkkNSkkknkSkSkkknknN
猜想成立
假設當時，猜想成立，即當時，這就是說當時，猜想成立，根據和可知對任意結論都成立
第五步：高考直擊： 活動設計：
1144441121113444{},{},2,27,10(1){}{}(2),,12210()(1){}{}223286nnnnnnnnnNnnnnanSbababSbabTabababnNTabnNadbqabadbqSd
a已知是等差數列，其前項和為是等比數列且求數列與的通項公式
記證明答：設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由得，，由3
443
441111111213112723227331210286210
(2)1=1216=21016()122101=n
nnkkk
kkkkkkbdqdanbSbqdqnababnkkNTabnkTababababa，得，解得，所以，當時，左邊，右邊，等式成立假設當時，等式成立，即當時，111121111111111111
()(21012)24(3)10242101212=2101kkkkkkkkkkkkkkkkbqababababqTabqabaababTabnknN，即所以當時等式也成立，根據和可知對任意結論都成立
選修2-2第二章第三節編寫人：張茜校對人：高二數學組
第六步：課堂小結： 活動設計：
九、
課后作業：
紅對勾第24課時 十、
板書設計：
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
