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視頻標(biāo)簽：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章1.3.3《導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用》山東省 - 青島
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人教B版選修2-2《導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用》
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、 教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)本節(jié)教材在本章中的地位和課程標(biāo)準(zhǔn)要求以及學(xué)生實(shí)際,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)制定如下:
1.夯實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)：掌握導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則，能求簡(jiǎn)單函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能夠利用導(dǎo)數(shù)研究簡(jiǎn)單函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律；能夠利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
2.提高數(shù)學(xué)能力：圍繞著如何設(shè)計(jì)飲料瓶這一實(shí)際問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，通過(guò)自主探索、合作探究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。
3.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。 4.通過(guò)介紹飲料瓶的工藝制作和回收處理相關(guān)背景資料，拓展學(xué)生知識(shí)廣度和思考深度。 二、教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，從而解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題。
難點(diǎn)：經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，合理分析誤差原因改進(jìn)模型。 三、教法學(xué)法分析
根據(jù)這節(jié)課的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平，本節(jié)課的教法與學(xué)法定為：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法,問(wèn)題串教學(xué), 由淺入深、層層遞進(jìn)，將教材還原成生動(dòng)活潑的思維創(chuàng)造活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生積極思考，勇于探索，從而使學(xué)生產(chǎn)
生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 在學(xué)法的選擇上，采用自主探究法、觀察發(fā)現(xiàn)法、合作交流法、歸納總結(jié)法. 四、教學(xué)過(guò)程
結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下： （一）問(wèn)題導(dǎo)入（2分鐘）
某品牌飲料有四種規(guī)格不同的產(chǎn)品，價(jià)格如表格。
規(guī)格（L） 2
1.25 0.6 0.33
價(jià)格（元） 5.1 4.5 2.5 2
①對(duì)于消費(fèi)者而言，如何選擇更為合算呢？通過(guò)計(jì)算每升飲料的價(jià)格得出結(jié)論，瓶子規(guī)格越小，價(jià)格越貴。
②對(duì)制造商而言，飲料瓶規(guī)格越小利潤(rùn)就越大嗎？不一定。 ③在推出新產(chǎn)品之前，制造商應(yīng)如何合理設(shè)計(jì)包裝控制成本，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化呢？
【設(shè)計(jì)意圖】以生活中的飲料瓶為切入點(diǎn)，提出如何設(shè)計(jì)飲料瓶減少成本提高利潤(rùn)這一問(wèn)題，引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，從而引入本節(jié)課的課題生活中的優(yōu)化問(wèn)題。 （二）實(shí)例探究（10分鐘）
①如果你是飲料制造商你打算制造什么形狀的飲料瓶呢？學(xué)生大膽設(shè)計(jì)飲料瓶形狀。
②某飲料公司制造并出售球型瓶裝飲料。每一個(gè)飲料瓶子的制造成本是2R8.0分，R是瓶子的半徑，單位是cm.已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為
6cm.如何設(shè)計(jì)瓶子大小實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大呢？教師引導(dǎo)分析，學(xué)生理解題意，將現(xiàn)實(shí)的利潤(rùn)最大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)函數(shù)最值問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)求得最值，學(xué)生獨(dú)立完成的求解并板書(shū)。
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生初步接觸優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)教師引導(dǎo)，回顧利用極值求函數(shù)最值的基本步驟，并注意函數(shù)的定義域，從而逐步形成解決優(yōu)化問(wèn)題的一般思路。 （三）數(shù)學(xué)建模（5分鐘）
求函數(shù)6R0),R-3
R(8.0)(23
Rf的最大值。學(xué)生板演結(jié)束后，
教師引導(dǎo)學(xué)生借助導(dǎo)數(shù)畫(huà)出原函數(shù)圖象，并觀察函數(shù)圖象，結(jié)合實(shí)際生活解釋數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實(shí)意義。例如當(dāng)半徑為2時(shí)虧本最多；當(dāng)半徑為3時(shí)不虧不賺；半徑在小于2時(shí)容量受限導(dǎo)致銷(xiāo)售量減少?gòu)亩绊懤麧?rùn)。
【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)不僅借助函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證了結(jié)論，又引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象，為模型優(yōu)化改進(jìn)提供了方向。 （四）模型優(yōu)化（5分鐘）
①思考：為什么生活當(dāng)中球形的瓶裝飲料并不常見(jiàn)？借助視頻了解到從空間利用率、材料最省和人體工程學(xué)等角度圓柱形是最優(yōu)設(shè)計(jì)。
②某飲料公司制造并出售圓柱形瓶裝飲料。初步將瓶子的半徑和高設(shè)置為1:5.瓶子的制造成本包括瓶身和瓶底（將瓶蓋部分近似看成上底）,其中瓶身為0.1分/cm2，瓶底為0.25分/cm2.已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.1分,且制造商能制作的瓶子的最大半
徑為 6cm.如何設(shè)計(jì)瓶子大小實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大呢？學(xué)生自主完成練習(xí)并投影展示。
【設(shè)計(jì)意圖】借助視頻了解工業(yè)設(shè)計(jì)所考慮的因素拓寬學(xué)生知識(shí)廣度，通過(guò)求解圓柱形瓶裝飲料最優(yōu)設(shè)計(jì)方案進(jìn)一步鞏固利用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題的一般方法。 （五）模型探究（10分鐘）
思考：能否再修改圓柱形飲料瓶形狀，提高利潤(rùn)？
學(xué)生自主提出改進(jìn)方案。教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察圓柱形瓶裝的利潤(rùn)模型，分析利潤(rùn)影響因素。控制體積和表面積兩個(gè)變量，提出提高利潤(rùn)的兩個(gè)方案，即體積一定時(shí)，表面積最�。槐砻娣e一定，體積最大。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，將設(shè)計(jì)的方案轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。小組合作完成求解，鼓勵(lì)學(xué)生多種方法求解并展示。
【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)將探究的自主權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從利潤(rùn)模型入手，分析影響因素，在合作探究中經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——提出問(wèn)題——解決問(wèn)題”的過(guò)程。 （六）回歸生活（3分鐘）
①通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)飲料瓶高與底直徑相等時(shí)材料最省利潤(rùn)最大，這樣的實(shí)際符合實(shí)際生活嗎？學(xué)生閱讀材料中飲料瓶的測(cè)量數(shù)據(jù)引發(fā)認(rèn)知沖突進(jìn)而產(chǎn)生誤差猜想。
②教師引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么實(shí)際生活中的易拉罐高與底直徑不相等?數(shù)學(xué)模型是否存在誤差？
【設(shè)計(jì)意圖】激發(fā)學(xué)生求知欲望，為分析誤差優(yōu)化模型鋪墊。
（七）分析誤差（8分鐘）
①回歸數(shù)學(xué)模型，利潤(rùn)=V×0.1－2S底面×0.25－S側(cè)面×0.1。學(xué)生分析變量的現(xiàn)實(shí)意義，體積即飲料容量，表面積衡量瓶子用料，發(fā)現(xiàn)該模型忽視材料厚度。
②借助實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，考慮厚度改進(jìn)模型（如圖），容積一定瓶子材料體積最小。學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言并獨(dú)立解答。
③教師在學(xué)生計(jì)算有困難時(shí)及時(shí)指導(dǎo)，厚度參數(shù)a相對(duì)于底面半
徑R較小，因此忽略模型中含有3
2,aa項(xiàng)。在此基礎(chǔ)上鼓勵(lì)學(xué)生不斷
補(bǔ)充，充分考慮現(xiàn)實(shí)生活易拉罐形狀（圓臺(tái)和球）將數(shù)學(xué)模型不斷優(yōu)化。
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)結(jié)論與現(xiàn)實(shí)生活做對(duì)比，將數(shù)學(xué)模型不斷優(yōu)化。學(xué)生的探究活動(dòng)在數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實(shí)生活不斷循環(huán)，真實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)建模解決優(yōu)化問(wèn)題沒(méi)有最優(yōu)解只有更優(yōu)解。 （八）總結(jié)拓展（2分鐘）
①引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課主要內(nèi)容，借助飲料瓶設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的轉(zhuǎn)化。解決實(shí)際生活的優(yōu)化問(wèn)題的基本步驟是假設(shè)→建立→求解→分析→檢驗(yàn)。在模型求解中常用的數(shù)學(xué)工具是導(dǎo)數(shù)和函數(shù)。數(shù)學(xué)建模過(guò)程蘊(yùn)含數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。
②飲料瓶這個(gè)小小的工業(yè)設(shè)計(jì)涉及力學(xué)、人機(jī)工程學(xué)、心理學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等內(nèi)容。每一零件都獨(dú)具匠心，例如易拉罐拉環(huán)由向
外拉改為向內(nèi)拉就是考慮到資源的回收利用。我們作為消費(fèi)者，、決定了飲料瓶的最終歸宿。觀看視頻了解資源回收的基本常識(shí)。
【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)一方面引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成回顧反思學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)建模、抽象、運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)；另一方面借助飲料瓶設(shè)計(jì)和回收，增加知識(shí)廣度，培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)。 （九）課后補(bǔ)充
①鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步減小實(shí)際誤差，充分考慮厚度、易拉罐形狀（圓臺(tái)和球），完成飲料瓶模最優(yōu)設(shè)計(jì)。
②鼓勵(lì)學(xué)生搜集整理資料，指導(dǎo)撰寫(xiě)飲料瓶最優(yōu)設(shè)計(jì)的研究報(bào)告或小論文，并進(jìn)行報(bào)告、交流。
【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)以課題研究的形式開(kāi)展，學(xué)生完整經(jīng)歷選題、開(kāi)題、選題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)。
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