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視頻標簽：楊輝三角

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：“楊輝三角”與二項式系數的性質_數學_高中_李媛

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“楊輝三角”與二項式系數的性質_數學_高中_李媛

“楊輝三角”與二項式系數的性質
教學設計
一、教材背景分析
1．教材的地位和作用
《“楊輝三角”與二項式系數的性質》是人教A版選修2-3第1章第3節第2課時. 教科書將二項式系數性質的討論與“楊輝三角”結合起來，是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內容，由它可以直觀看出二項式系數的性質，“楊輝三角”是我國古代數學重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應抓住這一題材，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感.
本節內容以前面學習的二項式定理為基礎，由于二項式系數組成的數列就是一個離散函數，引導學生從函數的角度研究二項式系數的性質，便于建立知識的前后聯系，使學生體會用函數知識研究問題的方法，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀、數形結合、特殊到一般的數學思想方法進行思考，這對發現規律，形成證明思路等都有好處. 這一過程不僅有利于培養學生的思維能力、理性精神和實踐能力，也有利于學生理解本節課的核心數學知識，發展其數學應用意識.
   2．學情分析
知識結構：學生已學習兩個計數原理和二項式定理，再讓學生課前探究“楊輝三角”包含的規律，結合“楊輝三角”，并從函數的角度研究二項式系數的性質.
心理特征：高二的學生已經具備了一定的分析、探究問題的能力，恰時恰點的問題引導就能建立知識之間的相互聯系，解決相關問題.
3．教學重點與難點
重點：體會用函數知識研究問題的方法，理解二項式系數的性質.
難點：結合函數圖象，理解增減性與最大值時，根據n的奇偶性確定相應的分界點；利用賦值法證明二項式系數的性質.
關鍵：函數思想的滲透.
二、教學目標
1．通過課前組織學生開展“了解楊輝三角、探究與發現楊輝三角包含的規律”的學習活動，讓學生感受我國古代數學成就及其數學美，激發學生的民族自豪感.
2．通過學生從函數的角度研究二項式系數的性質，建立知識的前后聯系，體會用函數知識研究問題的方法，培養學生的觀察能力和歸納推理能力.
3．通過體驗“發現規律、尋找聯系、探究證明、性質運用”的學習過程，使學生掌握二項式系數的一些性質，體會應用數形結合、特殊到一般進行歸納、賦值法等重要數學思想方法解決問題的“再創造”過程.
4．通過恰時恰點的問題引入、引申，采用學生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學習方式，培養學生問題意識，提高學生思維能力，孕育學生創新精神，激發學生探索、研究我國古代數學的熱情.
三、教法選擇和學法指導
教法：問題引導、合作探究．
學法：從課前探究和課上展示中感知規律，結合“楊輝三角”和函數圖象性質領悟性質，在探究證明性質中理解知識，螺旋上升地學習核心數學知識和滲透重要數學思想.

• 教學過程

一次備課:
通過課前導學案自主學習,和課前小測發現學生存在的問題.
一、復習
二項式定理的公式：                                        
二項展開式的通項是 
公式中叫做          各項二項式系數分別是                    
二、自主學習
（一）、當n＝1，2，3，…時，在展開式中，各項的二項式系數如下

                      
                             
                           
                              
                                 
                                       
（二）、將楊輝三角的空缺處填上。
                1
                 1     1
              1     2      1
                              
         1    4     6      4     1
                                
                                      
 
問題1、上述的二項式系數表與楊輝三角有怎樣的關系？
（三）、結合楊輝三角發現二項式系數具有哪些性質？
 
 
 
三、合作探究（從函數角度探究二項式系數的性質）
（一）1、設函數,函數的定義域是          
      2、畫出n=6和n=7時函數并觀察分析它們是否具有對稱性和增  減性與最大值？
 
 
 
小結：
 
 
（二）問題：展開式的各二項式系數的和是多少？
探究：（1）計算展開式的二項式系數的和（=1，2，3，4，5，6）.
（2）猜想展開式的二項式系數的和.
（3）怎樣證明你猜想的結論成立？
【問題拓展】你能求嗎？
 
二次備課:針對性地解決問題
1. 引入課題：

這是我們華夏傳說中的河圖與洛書，“河出圖，洛出書，圣人則之”。這是華夏文化的起源，其實它們從根本上說是中國最古老的數陣。進而引入學生研究的二項式系數的表也是一個數陣，最早發現它的是我國南宋數學家楊輝，進一步介紹楊輝，“楊輝三角”是我國古代數學重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應抓住這一題材，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感.
2.  各小組展示探究與發現的成果——“楊輝三角”包含的一些規律.

【設計意圖】引導學生開展課外學習，了解“楊輝三角”，探究與發現“楊輝三角”包含的規律，弘揚我國古代數學文化；展示探究與發現的楊輝三角的規律，為學習二項式系數的性質埋下伏筆.
3. 感知規律悟性質
.
通過課外學習，同學們觀察發現了楊輝三角的一些規律，并且知道楊輝三角的第行就是展開式的二項式系數，展開式的二項式系數具有楊輝三角同行中的規律——對稱性和增減性與最大值.
【設計意圖】尋找二項式系數與楊輝三角的關系，從而讓學生理解二項式系數具有楊輝三角同行中的規律.
3. 聯系舊知探新知
【問題提出】怎樣證明展開式的二項式系數具有對稱性和增減性與最大值呢？
【問題探究】探究：（1）展開式的二項式系數，可以看成是以為自變量的函數嗎？它的定義域是什么？
（2）畫出和7時函數的圖象，并觀察分析他們是否具有對稱性和增減性與最大值.
 

（3）結合楊輝三角和所畫函數圖象說明或證明二項式系數的性質.
對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．．
增減性與最大值：，所以相對于的增減情況由決定．由可知，當時，二項式系數是逐漸增大的．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當的偶數時，中間的一項取得最大值；當是奇數時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值．
【設計意圖】教師引導學生用函數思想探究二項式系數的性質，學生畫圖并觀察分析圖象性質；運用特殊到一般、數形結合的數學思想歸納二項式系數的性質，升華認識；通過分組討論、自主探究、合作交流，說明或證明二項式系數的對稱性和增減性與最大值，提高學生合作意識.
4. 合作交流議方法
【繼續探究】問題：展開式的各二項式系數的和是多少？
探究：（1）計算展開式的二項式系數的和（=1，2，3，4，5，6）.
（2）猜想展開式的二項式系數的和.
（3）怎樣證明你猜想的結論成立？
賦值法：已知，
令，則．
這就是說，的展開式的各個二項式系數的和等于．
【問題拓展】你能求嗎？
在展開式中，令，
則得，
即，所以，
在的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.
【設計意圖】通過學生歸納猜想各二項式系數的和，引導學生驗證猜想結論是否正確；同時為了突破利用賦值法證明二項式系數性質的難點，引導學生從模型化的角度出發，多角度的分析問題、探究問題、解決問題.
5. 反饋升華撥思路
練1．的展開式中的第四項和第八項的二項式系數相等，則等于      .
練2．的展開式中前   項的二項式系數逐漸增大，后半部分逐漸減小，二項式系數取得最大值的是第     項.
【設計意圖】促進學生進一步掌握二項式系數的性質，學會用賦值法解決問題，促進其有意識的運用．
6. 懸念小結再求索
【課堂小結】 通過本節課的學習，你有什么收獲和體會（從數學和生活的角度）？
【課堂延伸】今天同學們展示了一些楊輝三角的規律，但是作為我國古代數學重要成就之一的楊輝三角還有更多有趣的規律，相信大家一定有極高的熱情和嚴謹的態度去探究與發現楊輝三角的奧妙之處.
【課外活動】（研究性學習）
活動主題：楊輝三角中的奧妙.
活動目標：探究與發現楊輝三角中的更多奧妙.
 
 
  7.布置作業:
    分層17--18頁

8. 板書設計:

   二項式系數的三個性質:
          對稱性:
          增減性和最大值:
          二項式系數的和:
  思想和方法上:歸納猜想,有特殊到一般,函數的思想, 賦值法
 
 

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