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視頻標(biāo)簽：楊輝三角

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版選修2—3《楊輝三角》德州

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高中數(shù)學(xué)人教B版選修2—3《楊輝三角》德州

教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)與技能
1．了解楊輝三角的由來，用二項(xiàng)式定理得出二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)；
2．能運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題.
過程與方法
1．熟知二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性、“一肩扛兩數(shù)”、單調(diào)性與最大項(xiàng)及所有二項(xiàng)式系數(shù)之和等結(jié)論；
2．熟練運(yùn)用賦值法求一些代數(shù)式的值．
情感、態(tài)度與價(jià)值觀
1．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力以及分析問題與解決問題的能力．
2．通過學(xué)習(xí)“楊輝三角”的有關(guān)知識(shí)，了解我國悠久的文化傳統(tǒng)，陶冶學(xué)生的愛國主義情操，進(jìn)一步提升學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)用好數(shù)學(xué)的決心和勇氣，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．
二、學(xué)情分析
知識(shí)結(jié)構(gòu)：學(xué)生已學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和二項(xiàng)式定理，再讓學(xué)生課前探究“楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，并從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。
心理特征：高二的學(xué)生已經(jīng)具有了一定的分析、探究問題的能力，恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)就能建立知識(shí)間的相互聯(lián)系，解決相關(guān)問題。
三、重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：了解“楊輝三角”的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)，掌握賦值法．
難點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的得到和證明，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題
四、教學(xué)過程
活動(dòng)1  【復(fù)習(xí)回顧】
1、二項(xiàng)式的展開式：__________________________________________________；
  通項(xiàng)公式:_____________________________ ；
 二項(xiàng)式系數(shù)：________________________________；
2、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）___________________；（2）___________________________；
設(shè)計(jì)意圖：溫故知新，為本節(jié)課的內(nèi)容做知識(shí)準(zhǔn)備。
活動(dòng)2  【問題探究一】楊輝三角的來歷及規(guī)律
問題1：把展開式 的二項(xiàng)式系數(shù)用組合數(shù)表示出來，學(xué)生寫出相應(yīng)的數(shù)字，投影學(xué)生寫出的表，得到楊輝三角。
 …………………………………………………1   1
…………………………………………………1   2   1
………………………………………………1   3   3   1
 ……………………………………………1   4   6   4   1 …………………………………………1   5   10  10  5   1
………………………………………1   6   15  20  15  6   1
2、問題3：你能介紹楊輝三角的來歷嗎？
設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生的愛國意識(shí)。
問題3、借助楊輝三角你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？結(jié)合多媒體課件給出的問題提示，學(xué)生思考后，給出結(jié)論。
問題提示：1、各展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有沒有明顯規(guī)律？
2、上下兩行的系數(shù)有什么?
3、根據(jù)前面的兩條結(jié)論,你能寫出下面的二項(xiàng)式系數(shù)嗎?
學(xué)生思考,歸納楊輝三角蘊(yùn)含規(guī)律：
1、對(duì)稱性：
3、增減性與最大值：
2、“一肩扛兩數(shù)”：                                  
設(shè)計(jì)意圖:尋找二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系，從而讓學(xué)生理解二項(xiàng)式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律.

6

活動(dòng)3【知識(shí)對(duì)接測(cè)查】
1.若  的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n=_______.

5

2.在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第___項(xiàng)；                                                 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是_____________________.
活動(dòng)4 【問題探究2】剛剛我們從基本的橫行，上下行觀察，是否還可以從不同角度探究楊輝三角包含的規(guī)律呢？
蘇軾游玩廬山后寫了一首詩《題西林壁》：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同；筆試廬山真面目，只緣身在此山中。”我得到啟示:研究事物可以橫看,側(cè)看,遠(yuǎn)觀,近看,數(shù)字是否還可以運(yùn)算？
學(xué)生小組討論。
小組展示討論結(jié)果，發(fā)現(xiàn)：
側(cè)著看:每行成n階等差數(shù)列（教師給出n解等差數(shù)列的概念）。
       每行第r個(gè)數(shù)相加等于下一行第r+1個(gè)數(shù)。
【繼續(xù)探究】能否根據(jù)發(fā)現(xiàn),總結(jié)一般的規(guī)律并給出證明。 師生共同寫出組合數(shù)的一般形式
   3^/ . “一肩頂串?dāng)?shù) ”：
   4.“二項(xiàng)式系數(shù)的和”:
 
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思考，并給出證明這一過程不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生拓展學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、解決問題的思維能力、理性精神和實(shí)踐能力，也有利于學(xué)生理解本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。
活動(dòng)5【 問題探究3】各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和
問題1：在展開式                                                  ，
如何出現(xiàn)                                ？      
學(xué)生答：(賦值法) a=1,b=1
問題2：試證：在 的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。
學(xué)生答：令a=1,b=-1
師問：你怎么想到的？
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確問題的本質(zhì)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決未知的問題。了解知識(shí)間的聯(lián)系。
例2、已知
求：（1） 
（2）
（3）
（4）
設(shè)計(jì)意圖：熟練應(yīng)用賦值法，體會(huì)方程思想。
活動(dòng)6【小結(jié)】
本節(jié)課你都學(xué)到了哪些知識(shí)？
1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):
①對(duì)稱性： ②單調(diào)性與最大值： 
③“一肩扛兩數(shù)”及推廣“一肩頂串?dāng)?shù)”： ④二項(xiàng)式系數(shù)的和：
2. 數(shù)學(xué)方法 ：遞推法   賦值法
3．?dāng)?shù)學(xué)思想：特殊到一般，函數(shù)思想
設(shè)計(jì)意圖：師生共同總結(jié)本節(jié)所學(xué)知識(shí)，明確本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容。
活動(dòng)7【當(dāng)堂檢測(cè)】
活動(dòng)8【布置作業(yè)】
1．如何求         展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)?
2.研究性學(xué)習(xí)：查閱資料，探索與發(fā)現(xiàn)楊輝三角中的奧秘。
 

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