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視頻標簽：條件概率
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：普通高中課程標準實驗教科書人教A版選修2-3第二章第二節第一課時2.2.1條件概率-浙江省 - 寧波
教學設計、課堂實錄及教案：普通高中課程標準實驗教科書人教A版選修2-3第二章第二節第一課時2.2.1 條件概率高中數學-浙江省 - 寧波
授課教師：浙江省鎮海中學
二零一七年三月
課題：§2.2.1條件概率
一、 教學內容解析
由于概率問題與人們的實際生活有著緊密的聯系，對指導人們社會生產、生活具有十分重要的意義，所以概率是學生應該掌握的重要知識．
相對于傳統的代數、幾何而言，概率論形成較晚，其定義方式新穎獨特，具有不確定性，這是理解概率的難點所在．“條件概率”是人教A版《數學選修2-3》第二章第二節第一課時的內容．課程標準要求：“在具體情境中，了解條件概率的概念”．本節課在學生已有的古典概型基礎上通過“抽獎”這一典型實例，展開對條件概率概念的探究，并得到求解條件概率問題的兩種方法及相關公式．最后回歸至條件概率的本質問題，條件概率具有概率的性質．
同時，本節課的學習，將為后面介紹兩個事件的獨立性概率做好鋪墊，并為學習二項分布等打下基礎．讓學生進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決問題的特點．
因此，我認為“通過生活實例，理解條件概率的概念”是本節課的教學重點．
二、 學生情況分析
1．從學生的認知基礎看：學生在必修三已經學習了概率，對隨機事件的概率、古典概型等知識有一定的認識，有閱讀、觀察的基礎，具備一定的合作交流，自主探究能力．但是他們無法準備把握條件概率問題中“條件”的存在，這是教學中的一大難點．
2．從學生的思維品質看：我們知道數學課堂應該是一個以學生為主體，教師和學生共同探求新知的過程．學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程．根據以上分析及這節課的內容特點，我將教學難點定為：挖掘條件概率問題中的條件．
三、 教學目標設置
依據教學大綱的教學要求，根據新課程的教學理念，從發展學生的六大核心素養——數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學計算、數據分析出發，確定本節課的教學目標如下：
（一）知識與技能
在具體情境中，了解條件概率的概念，掌握條件概率的計算公式，并能運用條件概率公式解決有關的簡單概率問題．
（二）過程與方法
創設教學情境，培養學生學習數學的良好思維習慣和興趣，加深學生對從特殊到一般的
思想認知規律的認識，樹立學生善于創新的思維品質．
（三）情感態度價值觀
在知識的教學過程中，培養學生從特殊到一般的探索歸納能力及運算能力和應用新知的能力，滲透歸納、轉化的數學思想方法．
四、 教學重難點分析
（一）教學重點：1．條件概率的概念；2．條件概率公式的簡單應用
（二）教學難點：1．正確理解條件概率公式；2．靈活運用條件概率公式解決簡單實際問題
（三）突出重點、突破難點的方法：
1．突出重點采用“抓三線、突重點”：一抓知識與技能線；二抓過程方法線；三抓能力線．
2．突破難點采用“抓兩點、破難點”：一抓學生情感和思維的興奮點，類比古典概型，得到條件概率的概念；二抓知識的切入點，從古典概型進行切入．
五、 教學策略分析
基于教學內容的實際特點，教學大綱的基本要求，針對本節課的特點，在教法上，我采用以教師引導為主，學生合作探索、積極思考為輔的探究式教學方法；在教學過程中，我注重啟發式引導、反饋式評價，充分調動學生的學習積極性，鼓勵同學們動手試驗，讓同學們積極主動分享自己的發現和感悟；在教學手段上，我靈活運用黑板板書和多媒體展示．首先通過生活中的事例，激發學生學習熱情，和體會數學源于生活，激發學生的創造力，活躍了氣氛，加深了理解；在教學思想上，我以建構主義為主，強調數學知識的建構過程，讓學生親歷條件概率的發現之旅．
本節課立足于生活實踐，從學生感興趣的生活實例出發，引導學生對身邊的概率問題進行分析．通過一系列問題串引發學生思考，除了古典概型和幾何概型外，是否還有其他的概率問題，進而得到條件概率的概念．
六、 教學過程
本節課的總體設計思想是建構主義的．首先通過生活中學生喜歡和常見的生活事例創設情境，激發興趣．然后通過抽獎模型的剖析，讓學生體會生活中不僅存在著古典（幾何）概型，還有條件概率模型．最后通過課本中的兩個實例及著名的蒙提霍爾問題分析，讓學生體會數學服務于生活，最后課堂小結，分享成長體會，達到教學目的．
1．創設情境，體會生活中不同于古典（幾何）概型的概率模型
“三張獎券中只有一張能中獎，現分別有三名同學無放回地抽取．” 【問題1】最后一名同學抽取中獎獎券的概率是否比前兩名同學小．
【分析】如果三張獎券分別用12,,XXY表示，其中Y表示那張中獎獎券，那么三名同學的抽獎結果共有六種可能：121221211221,,,,,XXYXYXXXYXYXYXXYXX，且都有相等的可能性．用事件B表示事件“最后一名同學抽到中獎獎券”，則B僅包含兩個基本事件：
1221,XXYXXY．由古典概型計算概率的公式可知：21()63
PB
【設計意圖】從學生熟悉且感興趣的抽獎模型引入，一方面是為了激發學生的聽課熱情，另一方面也是讓學生回顧學過的古典概型，為引入條件概率做好知識上的鋪墊．抓住生活實例中包含數學思維的部分進行提問，引導學生用數學的眼光觀察、認識我們生活的世界，對生活中的現象和感性認識進行理性思考．
【問題2】如果已知第一名同學沒有抽到中獎獎券，那么最后一名同學抽到中獎獎券的概率又是多少？
【分析】因為已知第一名同學沒有抽到中獎獎券，所以可能出現的基本事件只有
12122121,,,XXYXYXXXYXYX．而“最后一名同學抽到中獎獎券”包含的基本事件仍是
12XXY和21XXY．故由古典概型計算概率的公式可知，此時的概率為24，即1
2
．若用A
表示事件“第一名同學沒有抽到中獎獎券”，則將“已知第一名同學沒有抽到中獎獎券的條件下，最后一名同學抽到中獎獎券”的概率記為(|)PBA，則1
(|)2
PBA
【設計意圖】有了前面的基礎，此時學生能夠從古典概型的角度解決這個新出現的概率問題，并體會其與古典概型問題的區別．幫助學生從感性上了解條件概率．
【問題3】已知第一名同學的抽獎結果為什么會影響最后一名同學抽到中獎獎券的概率呢？
【分析】“第一名同學沒有抽到中獎獎券” 這個條件，相當于縮小了基本事件的范圍 【設計意圖】本問題明確思考的角度，讓學生的思維直指條件概率的本質，避免不必要的發散．
2．歸納概括，形成條件概率的定義
【問題4】對于上面的事件A和事件B，(|)PBA與它們的概率有什么關系呢？
【分析】在事件A發生的情況下，事件B發生等價于事件A和事件B同時發生，即事件AB發生．因此
()
(|)()
nABPBAnA
其中()nA和()nAB分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件個數． 另一方面，根據古典概型計算概率的公式可知，
()()
(),()()()
nABnAPABPAnn
, 其中()n表示中包含的基本事件個數．所以
()()()()
(|)()()()()
nABnABPABnPBAnAnAPAn
因此，可以通過事件A和事件AB的概率來表示(|)PBA
【設計意圖】回到問題本身．從古典概型角度探究條件概率的計算方法過程中，歸納共性，包含了綜合、概括、比較等分析過程，是形成條件概率概念的有效途徑． 【歸納概括】條件概率的定義
一般地，設A，B為兩個事件，且()0PA，稱
()
(|)()
PABPBAPA
為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率（conditionalprobability）．(|)PBA讀作A發生的條件下B發生的概率．
3．層層深入，探究條件概率的性質
【問題5】條件概率也是概率，它具有概率的哪些性質？
【分析】1、任何事件的條件概率都在0和1之間，即0(|)1PBA
2、條件概率也有加法公式：(|)(|)(|)PBCAPBAPCA，其中B和C是兩個互斥事件．
事實上，由B和C互斥知事件AB與事件AC也互斥，從而
PABCPABACPABPAC
再由條件概率的定義得
(())()()
(|)(|)(|)()()
PABCPABPACPBCAPBAPCAPAPA
【設計意圖】從概率的角度認識條件概率，揭示了條件概率的本質．通過證明條件概率的加法公式進一步熟悉條件概率的計算方法．
4．例題精講，掌握條件概率的計算方法
【例1】浙江一高中生在進行高考選考科目“7選3”選擇時，因自身實力有限，暫時只確定技術作為自己的選考科目，另外兩門準備隨機抽取．已知在剩下的6門科目中有3門理科科目（物理、化學、生物）和3門文科科目（政治、歷史、地理），如果他從中依次抽取2門，求：
（1）第1次抽到理科科目的概率；
（2）第1次抽到理科科目且第2次抽取文科科目的概率；
（3）在第1次抽到理科科目的條件下，第2次抽到文科科目的概率． （4）在第1次抽到理科科目的條件下，第2次抽到政治或地理科目的概率．
【分析】設事件A為“第1次抽到理科科目”，事件B為“第2次抽到文科科目”，事件C為“第2次抽到政治科目”，事件D為“第2次抽到地理科目”，則“第1次抽到理科科目且第2次抽取文科科目”即為事件AB，
（1）從6個科目中依次抽取2門的事件數為56()30nA，11
35()15nAAA，于是
()151
()()302
nAPAn
（2）因為11
33()9nABAA，所以()93
()()3010
nABPABn
（3）解法一：3
()3
10(|)1()52
PABPBAPA
解法二：()93
(|)()155
nABPBAnA
（4）11
()()2
1010(|)(|)(|)11()()522
PACPADPCDAPCAPDAPAPA
【設計意圖】在學生熟悉的情境中設置問題，引起他們情感上的共鳴，有利于更快地融入問題解決的氛圍中．另外本例的目的在于演示條件概率的兩種計算方法，其四個問題的設計有利于引導學生利用條件概率的定義計算條件概率(|)PBA．當然（2）（3）問的設計還在于如何區分要求的到底是條件概率還是交事件的概率，這是應用條件概率做題最關鍵的問題．第（4）問的設計則使學生熟悉應用條件概率的加法公式．
【例2】一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從0～9中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求 （1）任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率；
（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率．
【分析】設“第i次按對密碼”為事件(1,2)iAi，則112AAAA表示“不超過2次就按對密碼”．
（1）因為事件1A和12AA互斥，由概率的加法公式得
1121911
()()()101095
PAPAPAA
（2）設“最后一位按偶數”為事件B，則
1121412(|)(|)(|)5545
PABPABPAAB
【設計意圖】通過本例可以使學生進一步熟悉概率和條件概率的性質，并把這些性質用于簡化概率和條件概率的計算． 【例3】舉出一個條件概率的實例
【典例】一個家庭中有兩個孩子，已知其中一個是女孩，（假設一個孩子是男孩和是女孩的概率相等），問另一個是男孩的概率是多少？
【設計意圖】通過讓學生自己陳述條件概率的問題，幫助他們進一步理解條件概率的概念，認清條件概率中的“條件”具體是什么，這也是解決此類問題的關鍵．通過舉例，讓學生體會條件概率在我們實際生活中的廣泛應用，體會數學源于生活，又服務于生活的道理．
5．拓展提升，體會條件概率的廣泛應用
【蒙提霍爾問題】 參賽者在三扇門中挑選一扇．他并不知道內里有什么．
主持人知道每扇門后面有什么．
主持人必須開啟剩下的其中一扇門，并且必須提供換門的機會． 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門．
如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門．
如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門． 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門． 【問題6】如果是你，你會做哪種選擇，哪個選擇得到車的概率會更大呢？
【設計意圖】這是歷史上著名的蒙提霍爾問題，用電影中的片段給出問題，形式新穎，提高學生學習的興趣．通過大家對此問題的討論，進一步體會條件概率的應用．當然這個問題，會有一定的難度，可讓學生在課后進一步思考，并整理成文． 【問題7】(|)()PBAPB這個等式可能成立嗎？
【分析】若(|)()PBAPB，則()()(|)()()PABPAPBAPAPB，即事件獨立性的概念
【設計意圖】此問題為下一節課做好鋪墊，這一問題也揭示了學習條件概率的必要性
6．小結
【問題8】學習了這節課，你都有哪些收獲？
通過本節課的學習，其實，除了知識層面的收獲之外，我想我們每一位同學都深刻體會到了，條件概率在我們實際生活中是無處不在的．
【設計意圖】通過本節課的學習讓學生體會其中蘊含的哲學道理以及培養學生的探索與實踐的精神與意識．
7．作業
1．課本P54 練習；
2．繼續探究蒙提霍爾問題，并整理成文． 3．了解條件概率的發展史
【設計意圖】通過本節課的學習讓學生學會從條件概率的角度解決生活中的實際問題，同時拓展學生的眼界，為學生的進一步學習開一扇窗．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
