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視頻標(biāo)簽：直線方程的概念,直線的斜率

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版版高二數(shù)學(xué)必修二2.2.1直線方程的概念與直線的斜率

教學(xué)設(shè)計、課堂實錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教B版版高二數(shù)學(xué)必修二2.2.1 直線方程的概念與直線的斜率

《直線方程的概念與直線的斜率》教學(xué)設(shè)計 
一【教材分析】 
      本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教課書數(shù)學(xué)必修2（B版）》第二章第二節(jié)第一課時，直線方程的概念與直線的斜率,教學(xué)內(nèi)容有直線方程的概念、直線傾斜角、斜率以及直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系等概念。直線的傾斜角和斜率都描述了直線的傾斜程度，傾斜角從幾何角度刻畫了直線的傾斜程度，斜率是從數(shù)量關(guān)系上刻畫了直線的傾斜程度。直線的傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯(lián)系新舊知識的紐帶；而斜率則是代數(shù)量,建立斜率公式的過程，體現(xiàn)了解析法的基本思想：把幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運算研究幾何圖形的性質(zhì),而且它在以后建立直線方程、通過直線方程研究幾何問題時也起到核心作用,是本節(jié)課的重點.同時，本節(jié)課是第一次用方程研究直線，為后續(xù)研究曲線起到一個示范作用.  
二【目標(biāo)分析】 1、知識技能： 
（1）理解直線的方程和方程的直線的概念，以及方程的解與其圖像上的點存在一一對應(yīng)的關(guān)系 
（2）理解掌握直線的傾斜角、斜率的概念，會根據(jù)兩點坐標(biāo)求直線的斜率 （3）掌握直線的傾斜角和斜率的相互關(guān)系 2、過程與方法： 
學(xué)生通過學(xué)習(xí)直線方程的概念，提高觀察、分析、比較、總結(jié)、概括的數(shù)學(xué)能力,在學(xué)習(xí)求直線的斜率的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)抽象思維能力。 3、情感，態(tài)度與價值觀： 
通過學(xué)習(xí)用直線方程求直線斜率的方法，將幾何問題用代數(shù)方法解決，運用數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生周密思考，主動學(xué)習(xí)、合作交流的意識和勇于探索的良好品質(zhì)。 
   通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，以提高學(xué)生分析、比較、概括、化歸的數(shù)學(xué)能力,使學(xué)生初步了解用代數(shù)方程研究幾何問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力. 
   幫助學(xué)生進一步了解分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)、形的統(tǒng)一美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 三.【學(xué)情分析】 
    1.學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，初步的數(shù)形結(jié)合知識也足以讓學(xué)生理解直線的方程概念，教材是由一次函數(shù)的圖像引入的，是將一次函數(shù)與其圖像的對應(yīng)關(guān)系，轉(zhuǎn)換成直線方程和直線的對應(yīng)關(guān)系。這樣引入比較自然，符合學(xué)生的認(rèn)知特點。2.直線方程的學(xué)習(xí)安排在三角函數(shù)之前，因此，傾斜角的正切等于斜率，這一事實還不能直接引入。在研究斜率與傾斜角的關(guān)系時,由于沒有三角函數(shù)的知識,學(xué)生接受起來比較困難,這是本節(jié)課的難點.在這部分內(nèi)容的研究中，鼓勵學(xué)生小組討論, 盡多的給學(xué)生動手的機會，讓學(xué)生在實踐中體驗二者的聯(lián)系,學(xué)生充分利用特值驗證，或斜率公式作出解釋,教師再利用幾何畫板演示變化關(guān)系,給學(xué)生更加深刻的直觀印象,從而突破難點.  四.【教法分析】 
主要采用問題探究式與小組交流合作的教學(xué)與學(xué)習(xí)方法。通過引導(dǎo)學(xué)生捕捉數(shù)學(xué)問題并解決問題，讓學(xué)生自主探索與合作交流相結(jié)合，使學(xué)生從懂到會到悟，提高解決問題的能力。同時借助多媒體輔助教學(xué)，增強教學(xué)的直觀性，提高課堂效率。 
 五．【教學(xué)過程】 
環(huán)節(jié)一 新課引入 
通過播放視頻，引出動車車座和車票的對應(yīng)關(guān)系 
【設(shè)計意圖】通過視頻引起學(xué)生的興趣，由車票和車座的一一對應(yīng)關(guān)系指出一一對應(yīng)的意義。 
環(huán)節(jié)二 概念探究(一) 
問題1：一次函數(shù)圖象和直線具有一一對應(yīng)關(guān)系嗎？ 學(xué)生活動：學(xué)生分析討論，指出不滿足的原因 問題2：什么和直線具有一一對應(yīng)呢？ 
學(xué)生活動：學(xué)生分析討論，師生共同總結(jié)。 
強調(diào)直線方程的概念: 1.直線上點的坐標(biāo)都是方程的解，2.以方程的解為坐標(biāo)的點都在直線上，兩者缺一不可. 
【設(shè)計意圖】在學(xué)生讀書思考的基礎(chǔ)上，通過教師的指點，圍繞重點展開討論和交流，鼓勵學(xué)生發(fā)表獨立見解。層層深入，與學(xué)生共同體會概念的嚴(yán)謹(jǐn)，感受學(xué)習(xí)的樂趣。 環(huán)節(jié)三 概念探究（二） 
通過李白的《望天門山》提出問題1：為什么長長的天門山索道只需要固定兩端？ 通過杜牧的《清明》提出問題2：杜牧能找到酒家嗎？ 
通過蘇軾的《蝶戀花》提出問題3：為什么秋千能來回擺動呢？ 思考：1、如何確定一條直線？ 
      2、在平面直角坐標(biāo)系中，如何刻畫直線的方向呢？ 學(xué)生活動：學(xué)生思考分析，師生共同總結(jié)。 
【設(shè)計意圖】通過趣味性的問題，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的興趣，深刻體會數(shù)學(xué)來源于生活應(yīng)用于生活的意識，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。 環(huán)節(jié)四  概念形成 
一帶著以下問題閱讀教材P75 1、本節(jié)內(nèi)容闡述了哪些概念？ 2、概念之間有怎樣的關(guān)系？ 3、它們之間相互影響是什么？ 
【設(shè)計意圖】充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，改變以往被動單純的聽講的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在自己閱讀實踐中進行自悟. 二問題解讀 
問題1：能談?wù)勀銓π甭实恼J(rèn)識嗎？ 
學(xué)生可能會回答直線斜率的定義，以及已知直線上兩點
，如何
求斜率的公式。 
教師進一步引導(dǎo)：兩點間斜率公式有什么注意事項嗎？ 
引導(dǎo)學(xué)生討論，學(xué)生代表發(fā)言：（一）垂直于x 軸的直線無斜率（二）斜率公式與直線上點的位置無關(guān),學(xué)生一般會想到用相似三角形的相似比來證明該問題，此處滲透了數(shù)形結(jié)合的思想（三）斜率的幾何意義.教師總結(jié)點評. 思考：關(guān)于斜率，你還有其它認(rèn)識嗎? 
教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)斜率與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 
學(xué)生活動:在學(xué)生讀書思考的基礎(chǔ)上，通過教師的指點，圍繞重點展開討論和交流，鼓勵學(xué)生發(fā)表獨立見解。關(guān)于對斜率公式的注意事項,其他學(xué)生補充，教師完善總結(jié)。引導(dǎo)他們在交流中主動獲取知識，形成能力. 
問題2:反映直線傾斜程度的量,除了代數(shù)角度的斜率,還有別的量嗎？請一名同學(xué)談?wù)剬�傾斜角的認(rèn)識. 
學(xué)生回答出傾斜角的定義和范圍. 
【設(shè)計意圖】以問題研討的形式替代教師的講解，分化知識點、解決重點，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗，有利于學(xué)生對知識的掌握，并強化對斜率的理解．學(xué)生在討論、合作中解決問題，充分體會成功的愉悅．思考題是發(fā)散性問題，鼓勵學(xué)生注意學(xué)科間以及所學(xué)知識前后的聯(lián)系. 
問題3: 斜率與傾斜角分別從代數(shù)和幾何的角度反映了直線的傾斜程度,兩者之間有什么關(guān)系? 
學(xué)生活動: 教師給學(xué)生提供一個交流、討論的氛圍，相互學(xué)習(xí)，相互補充.請小組代表到講臺講解,教師及時點評補充,最后教師可借助動畫展示,讓學(xué)生有更直觀深刻的印象. 思路一: 特值驗證：已知A（1,0）B（3,1）） C（2,1）D（1,1） E（-1,0））， F（-2,0）求直線AB,AC,AD,AE,AF的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角，直角還是鈍角。并觀察出傾斜角隨斜率變化的情況. 思路二: 
以斜率為正值的兩條不平行的直線為例,分別取兩點,使得⊿x相同，比較⊿y的大小關(guān)系，進而判斷斜率大小，再觀察傾斜角的大小，進而得出結(jié)論. 教師提供思路三： 
教師演示幾何畫板做出的動畫. 
思考：斜率與傾斜角之間還有別的關(guān)系嗎？ 
學(xué)生結(jié)合初中所學(xué)直角三角形知識回答：在傾斜角為銳角情況下，斜率等于傾斜角的正切值. 
教師補充：鈍角情況同樣適用，但目前超出了我們的知識范圍,關(guān)于斜率和傾斜角的關(guān)系，我們將在必修4中再次討論。 
【設(shè)計意圖】斜率與傾斜角的關(guān)系是本節(jié)課的難點.學(xué)生在自主探索，自由想象和相互交流的過程中，充分感受到成功和失敗的情感體驗，深刻地領(lǐng)會到數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中所起的作用.第一種方法學(xué)生容易想到,第二種方法體現(xiàn)了斜率公式的應(yīng)用,第三種動畫演示可以使學(xué)生有更直觀深刻的印象.通過討論交流演示,層層深入,突破本節(jié)課難點. 環(huán)節(jié)五知識應(yīng)用--思緒梳理 1、判斷正誤 
①因為所有直線都有傾斜角，所以所有直線都有 斜率（     ） ②因為平行于y軸的直線的斜率不存在，所以平行于y軸的直線的傾斜角不存在 （      ） ③直線的傾斜角越大，它的斜率就越大（       ） ④平行于軸的直線的傾斜角是0 °或180 ° （    ） ⑤兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等（    ） ⑥兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等（    ） ⑦兩直線平行，傾斜角相等（      ） 
2、若過點A(2，－1)與B(a,1)的直線的傾斜角為銳角，則a的取值范圍是________． 3、若直線AB的傾斜角為45 °,則斜率______ 
學(xué)生回答，教師對學(xué)生的回答進行評價。在整個練習(xí)過程中，教師做好課堂巡視，加強對學(xué)生個別指導(dǎo)。 
【設(shè)計意圖】鞏固所學(xué)知識，有助于保持學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情和信心。,第一題概念辨析第二題第三題考察直線斜率與傾斜角的關(guān)系。 
問題由學(xué)生解決，解題后的反思總結(jié)由學(xué)生自主完成，教師作出補充和總結(jié)。培養(yǎng)學(xué)生自
主獲取知識的能力 環(huán)節(jié)六課堂小結(jié) 
引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法兩方面總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,教師補充完善. 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生大膽發(fā)言，歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲，教 環(huán)節(jié)七布置作業(yè)  
【設(shè)計意圖】分層次布置作業(yè),讓各層次學(xué)生均得以發(fā)展 六.【設(shè)計特色】 
本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計始終本著這樣的理念 “不但要教給學(xué)生知識,更重要的是教給學(xué)生獲取知識的能力”,而閱讀是自學(xué)的重要形式，自學(xué)能力的核心是閱讀能力。因此，教會學(xué)生學(xué)習(xí)的重頭戲就是教會學(xué)生閱讀，培養(yǎng)其閱讀能力。希望能做到授人以漁，而非授人以魚。所以，這節(jié)課既是一堂新課又是一堂自學(xué)閱讀課.整個教學(xué)過程, 鼓勵學(xué)生自主閱讀，探索研究學(xué)習(xí)，從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力入手，把課堂還給學(xué)生。提倡在學(xué)生讀書思考的基礎(chǔ)上，通過教師的指點，圍繞重點難點展開討論和交流，鼓勵學(xué)生發(fā)表獨立見解，引導(dǎo)他們在閱讀探究中主動獲取知識，形成能力，改變過去我們熟悉的“教師講，學(xué)生聽”，“教師問學(xué)生答”及大量演練習(xí)題的模式。符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點，重視思維訓(xùn)練，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，注意數(shù)學(xué)思想方法的溶入滲透.整個教學(xué)設(shè)計中，特別注重以下幾個方面： （1）注重學(xué)生參與知識的形成過程，動手、動口、動腦相結(jié)合，使他們“讀”有所思，“學(xué)”有所獲，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。 
（2）有效指導(dǎo)學(xué)生閱讀的方法，鼓勵學(xué)生做探究式閱讀，而非被動接受式閱讀。，使其養(yǎng)成“邊閱讀，邊思考”的閱讀習(xí)慣，有利于其數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，進而促進其終身學(xué)習(xí)能力的提高。 
（3）注重師生之間、同學(xué)之間的交流，使學(xué)生在充滿合作機會的群體交往中，學(xué)會溝通、互助、分享和合作，實現(xiàn)知識、情感、態(tài)度和價值觀的完善。 

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