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視頻標簽：等差數列
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修5《等差數列》湖北省優課
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修5《等差數列》湖北省優課
《2.2.1等差數列》
【教學目標】： 知識與技能目標：
理解并掌握等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式的推導過程及思想；能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項。 過程與方法目標：
培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。
情感、態度與價值觀目標：
通過對等差數列的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。 【學習重難點】：
重點：理解等差數列的概念，探索并掌握等差數列的通項公式。 難點：概括通項公式推導過程中體現出的數學思想方法。 【課時安排】：1課時 【教具】：多媒體、投影儀 【教學過程】： 復習回顧：
1. 數列的定義： 2．數列的表示方式：
上兩節課我們學習了數列的定義、數列的一般形式以及數列的表示方式。今天這節課我們對數列進行進一步的學習。
下面我們看這樣一些背景資料：
（1）珠穆朗瑪峰是喜馬拉雅山脈的主峰，為世界最高峰，海拔8844.43米（2005年公布的最新數據）。1960年5月25日，中國登山隊首次從北坡攀登峰頂。中國科學院也曾多次組織大規模的科學考察，獲得了重要的科學資料。科學家們測得夏季山上氣溫從山腳起每升高100米的溫度分別為（單位：攝氏度）：26,25.3，24.6，23.9，23.2…
(2)在過去的三百多年里，人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星：1682，1758，1834，1910，1986，（ ）。你能預測出下一次的大致時間嗎？為什么？
(3)2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別，其中較輕的4個級別體重（單位：kg）分別是：48 , 53 , 58 , 63. 探究任務一：等差數列的概念
同學們，你們能找出這幾個數列的規律嗎?它們的共同特點是什么? （1）我國成人女鞋的號碼（單位：厘米）：
111121,21,22,22,23,23,24,24,252
2
2
2
但我們習慣上換算成碼：
32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 37 , 38 , 39 , 40
（2）登山運動員測得夏季山上氣溫從山腳起每升高100米的溫度分別為：
26 , 25.3 ，24.6 ，23.9 ，23.2…
（3）哈雷彗星的觀測時間：
1682 ，1758 ，1834 ，1910 ，1986 ，（2062） （4） 48 , 53 , 58 , 63.
歸納總結：共同特征：從第2項起，它們的后一項與前一項的差都是同一個常數。 我們給具有這種特征的數列一個名字——等差數列
1．等差數列：
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）
數學語言： 或 說明：
⑴公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；
⑵對于數列{na}，若na－1na=d (與n無關的數或字母)，n≥2，n∈N*，則此數列是等差數列，d為公差
(3)若d＝0，則該數列為常數列． 思考：
問題1. 上述數列都是等差數列，它們的公差分別是多少？
問題2．判斷下列數列是否為等差數列。
① 1, 2, 4, 6, 8, 10,„„ ② 1, 0, 1, 0, 1, 0，„„ ③ 1, 2, 4, 7, 11, 12,„„ ④ 0, 0 ,0，0 , 0，„„
思維拓展：
將數列48，53，58，63顛倒過來，則成數列63，58，53，48. 還是等差數列嗎？
探究任務二：等差數列的通項公式
登山運動員測得夏季山上氣溫從山腳起每升高100米的溫度分別為(單位:攝氏度)
我們很容易得出6a，那么如何得到38a呢？
等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得，若一等差數列na的首項是1a，公差是d，則據其定義可得：
12345638
,,,,,.....aaaaaaa26, 25.3, 24.6, 23.9， 23.2 ？ ？
12,nnaadnnN
且
1nnaadnN
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daa12即：daa12
daa23即：dadaa2123 daa34即：dadaa3134
„„
由此歸納等差數列的通項公式可得：dnaan)1(1
∴已知一數列為等差數列，則只要知其首項1a和公差d，便可求得其通項na
你還能用其他方法推導等差數列的通項公式嗎？
【例題分析】
例1：⑴求等差數列8，5，2„的第20項：
⑵－401是不是等差數列-5，-9，-13„的項？如果是，是第幾項？ 解：⑴由18,58253ad，n=20，
∴49)3()120(820a
⑵由15,9(5)4ad得 數列通項公式為：)1(45nan
由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得)1(45401n成立，解之得n=100，即-401是這個數列的第100項
小結：要求出數列中的項，關鍵是求出首項和公差；要想判斷一數是否為某一數列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數n，使得na等于這個數。
例2：在等差數列na中，已知51210,31aa，求首項1a與公差d，并求25a。
解：∵105a，3112a，則 31
1110
411
dada
3
2
1
da
∴25124224370aad
注：此題解法是首先轉化成基本量1a和d的關系式，再利用數學的函數與方程思想來解題。 此處也可進行擴展：()nmaanmd
【當堂訓練】
1.填表：
2．等差數列1，－1，－3，„，－89的項數是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
3．數列na的通項公式25nan，則此數列是（ ）. A.公差為2的等差數列 B.公差為5的等差數列 C.首項為2的等差數列 D.公差為n的等差數列
【課時小結】
通過本節學習，首先要理解與掌握等差數列的定義及數學表達式：na－1na=d，
（n≥2，n∈
N
）。其次，要會推導等差數列的通項公式：dnaan)1(1，并掌握其基本應用。最后，還要注
意=napnq(p、q是常數)的理解與應用。
【課后練習】
P40 習題2.2 A組 T1,3,4
思考：已知數列{na}的通項公式qpnan，其中p、q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？
補充練習：
1．等差數列na中，首項11a，公差3d，如果2008na，則n（ ）.
A. 667 B. 669 C. 670 D. 671 2．在等差數列na中，22a，34a，則10a=（ ） A. 12 B.14 C. 16 D. 18
3．已知在等差數列na中，首項為4，公差2d，則通項公式na等于（ ） A. 42n B. 24n C. 62n D. 26n 4．在等差數列na中，29a，37a，則d=
1a
d n na ① 2 3 10 ② 3 2 21 ③
10
7
8
12,nnnaadnnNa注：且是等差數列。
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5．一個等差數列的第五項510a，且1233aaa，則1a ，d= 6．等差數列的第1項是7，第7項是－1，則它的第5項是________
7．等差數列的相鄰4項是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝ ，b＝ . 8．若48，a，b，c，－12是等差數列中連續五項，則a＝ ，b＝ ，c＝ . 9．等差數列na中，35224,3aaa，求na.
10．如果數列na滿足121,nnnaaa且1017a，求它的通項公式。 11．（1）求等差數列3，7，11，„„的第4項與第10項。
（2）100是不是等差數列2，9，16，„„的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. （3）－20是不是等差數列0,－3
2
1
,－7，„„的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 12．在等差數列{na}中，（1）已知4a=10，7a=19，求1a與d；
（2）已知3a=9，9a=3，求12a.
13．已知數列na中，11111
1,
3
nnaaa，求5a的值。 *14．已知數列的通項公式為61nan，問這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
