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視頻標簽：等比數列
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高一數學必修五2.4等比數列-北京
教學設計、課堂實錄及教案：人教A版必修五2.4等比數列-北京市順義區第二中學
課程名稱 2.4 等比數列（第2課時）
數學
學段
必修5
年級
高一
二、指導思想和理論依據
數列這一章的內容設計突出了某些重要的數學思想方法，如類比、歸納、數形結合、算法、方程等，其中類比思想的運用是本章的主要特色.本節課無論從課程標準的要求，還是教學內容本身，都突出了對數學思想方法的重視.這也是設計本節課的主要依據.
依據課程標準所倡導自主學習的教學理念，我設計了課前學生自主學習、課上展示成果等環節，以期調動學生的內在積極性，發揮學生在教育教學中的主體地位.
三、教學背景分析
1.教學內容分析
本節課是人教版A版教材高中數學必修5第2章第四節“等比數列”的內容，該內容分兩個課時，本節課是第二課時.本節內容是在學生學習了等差數列相關知識、等比數列的概念及通項公式的基礎上進行的.等比數列是繼等差數列后又一個特殊數列，它的研究方向、內容、方法與等差數列類似.教材將等比數列安排在等差數列之后，有利于培養學生的類比推理能力.
對于等比數列的性質雖然課標要求的程度不深，但涉及的內容較多，課堂上有限的時間不能對所有的性質都做到完整的歸納總結.因此，本節課采用了課前自主學習的方式，不但能讓學生自由地探索等比數列內在的的某些關系，而且能夠提升學生自主學習能力. 2.學生情況分析
從知識上看，之前已經學習過“等差數列”的有關內容，并且等比數列第一課時就是沿著類比，猜想，證明的思路學習的，學生對這種研究問題的方法有所了解. 所以學生應該可以類比等差數列，猜想出等比數列的相關性質.但是可能對數列有關符號的識別和使用有困難，導致學生在對性質的歸納和對性質的理解等方面存在問題.所以，本節課教師引導可以從函數的觀點看等比數列的性質，加深對性質的理解.
從思維上看，學生對數學思想和方法的認識還不夠，思維能力有待提高，他們重視具體問題的運算而輕視對問題的抽象分析.同時，高一階段又是學生形成良好的思維能力的關鍵時期.因此，本節教學設計注重加強學生觀察、類比、分析、歸納、概括能力的培養.
從態度上看，這一年齡段的學生更需要被信任、被認可，因此，在課堂中應適當的給予鼓勵和評價.
四、教學目標
1.知識與技能目標：
（1）進一步理解等比數列的定義和通項公式； （2）理解等比中項的概念； （3）理解等比數列的性質； （4）會用性質解決相關的問題． 2.過程與方法目標：
（1）通過類比等差數列的性質，觀察、猜想、歸納、推導進而得到等比數列的相關性質； （2）在用性質解決相關的問題的過程中，滲透方程思想. 3.情感態度與價值觀目標：
(1)在等比數列性質學習過程中，學生主動思考，生生交流，感受數學的發現過程，提高類比、觀察、猜想、歸納、分析問題的能力.
五、教學重點、難點
教學重點：等比中項的概念，等比數列性質的形成、推導和應用 教學難點：等比數列性質的形成和應用
2
六、 教法與手段
教學方法： 類比、歸納
教學手段：多媒體課件、電子白板、學案.
七、教學流程示意
做法：教師給出預習案，學生自主探究，類比等差數列的相關性質，
猜想等比數列有哪些性質，并證明.
目的：通過自主探究，觀察、類比、猜想、證明，提高學生類比推理
能力和自主學習能力.
做法：教師語言導入. 目的：用簡練的語言迅速將學生的思維帶入課堂.
做法：學生投影展示課前預習成果，教師主導方向并給學生以肯定和 鼓勵.
目的：1.從學生角度來說，展示課前自學成果，讓學生有成就感，調
動學習的內在積極性.
2.從教學設計來說，此舉突出本節課的重點，也為突破難點做準備.
做法：1.在學生展示預習成果的基礎上，教師糾錯、引導、梳理、規
范，形成結論.
2.學生完成隨手練的小題，思考變式問題，教師板書. 3.教師引導學生從函數的角度看數列的性質.
目的：1.在教師的引導下，學生理解等比中項的定義和等比數列常用
的性質.
2.從函數的角度看數列，透過現象看本質，更進一步理解等比數列的性質，以便運用性質解決問題.
做法：學生獨立完成例1和變式，速度快的學生板書，教師巡視，指
導.
目的：通過獨立思考，生生互助，教師指導多種方式結合，以期突破
本節課的難點，使學生會應用等比數列的性質解決問題.
做法：教師引導學生總結本節課所學主要內容和所用主要思想方法，
談談本節課的收獲.
目的：重新回顧課堂內容，梳理思路，體會收獲.
八、教學過程(表格描述)
教學 環節
教師活動
學生活動 設計意圖
時間
情況預設
引入課題 上節課我們類比等差
數列學習了等比數列的定義、通項公式及推廣和圖
象，這節課我們依然采用類
在筆記本上書寫課題
引入課題
1min
課前準備
引入課題
學生展示預習結果 教師引導、梳理、
歸納新知
知識應用 小結
3
比的思想方法來進一步研究等比數列.
探究
新知 類比等差中項的定義，你能說出等比中項的定義嗎？
1.等比中項
如果在a與b中間插入 一個數G，使a, G，b成等比數列，那么稱這個數G為a與b的等比中項, 即
)0(2ababG，則
)0(ababG.
隨手練：
1,4的等差中項為______;
等比中項為______; 1,-4的等差中項為______;
等比中項為______; -1,-4等差中項為_______;
等比中項為______;
注：
1.任意兩數都有等差中項；
2.只有同號的兩個數才有等比中項，且有兩個（互為相反數）;當兩數異號時，則不存在等比中項．
思考：
若a, G，b滿足abG2，則a, G，b一定是等比數列嗎？
變式：
在-1與-4之間插入3個數，使這5個數成等比數列，求插入的3個數.
學生口述預習案
上的猜想
學生口答
學生觀察、嘗試總結
學生回答，舉反例
學生思考、回答
等比中項是
等比數列的
一個很重要
的性質.文字語言和符號
語言都要理解.
通過簡單練
習，學生觀察、總結等比
中項的特點，
加強對等比
中項的理解.
逆向思維
把這5個數
列出來，學生
觀察，
教師引導，歸納出：
等比數列的
某一項是與它距離相等
的兩項的等
比中項.
3min 2min 1min 7min
問題預設:
學生在課前預習時，容易忽略符號 的嚴謹性(ab>0).
解決方案： 1. 教師通過反 問提示；2.通過隨手練小題，使學生觀察、發現問題，自己完善.
問題預設:
學生容易忽略等比數列項的特點，而得出多個解
解決方案：
1. 教師不提示， 讓學生在計算的過程中自己發現矛盾，進而得出正確答案；2.教師板書，展示規范的答案. 類比等差數列的相關性質，你能猜想出等比數列有哪些性質嗎？能進一步證明嗎？
2.等比數列的常用性質：
已知數列}{na是等比數列（m、n、p、sN）
若spnm,則
spnmaaaa= 特別地，若pnm2,則
2
pnmaaa
隨手練：在等比數列}
{na中，1q,判斷下列等式是
否一定成立
（1）7658=aaaa （2）2573=aaa
（3）9173+=+aaaa
（4）853=aaa 注：兩個關鍵點： 1.等式兩邊項數相同； 2.等式兩邊下標和相等.
學生投影展示課前預習成果
學生板書展示證明過程
學生思考、口答 學生嘗試總結
這個性質的
證明過程是對等比數列
的定義和通
項公式的進一步理解.
運用知識的
前提是對知識的理解，通
過簡單辨析，
加深對等比數列性質的理解.
為性質的應
用做準備 5min
5min
2min
問題預設:
第（3）小題，有
的學生可能會混
淆等差數列的性質和等比數列的
性質.
解決方案： 教師提示，學生糾錯. 知識
應用 例1. 已知數列}{na為等比數列．若0>na，且 492645342aaaaaa求53aa的值.
（本題用基本量法或運用性質都可以解決）
學生學案動筆、學生黑板展示
若有學生用基本量法解答的，投影展示
通過一題多解，使學生體會基本量法是解決等差、等比數列相關問題的通法，但性質的應用可以簡化運算,提高運算速度和準確率.
6min
問題預設: 學生可能會忽略題目中的條件
0>na，從而得
出兩個解 .
解決方案：
教師通過反問提示，學生糾錯.
5
變式：在等比數列}{na中，71134=aaa，數列}{nb是等差數列，且77=ba，則
_________
=+95bb.
（等差數列、等比數列簡單的綜合應用）
（備選） 已知}{na為等比數列，公 比q>1, 10=+42aa，
16=51aa，求等比數列
}{na的通項公式.
（基本量法和應用性質兩種方法結合以解決問題.）
學生黑板展示
如果時間允許，
學生學案上動筆
應用性質解決問題是難點，通過題目，使學生體會觀察題中各項的下標之間的關系，是運用性質解題的關鍵.
1.方程思想是解決數列問題過程中常用的思想方法. 2.換個角度看問題，可以體現數學知識的橫向聯系：2a和4a是一元二次方程的兩個根.
6min
問題預設: 在計算7a的過程中，學生會直接在
等式兩邊消掉7a，忽略其中的
原因.
解決方案： 教師提出問題，提醒學生等式兩邊同時除以一個數是有條件的，使學生自己意識到其中的原因.
課堂小結 1.知識總結（等比中項的概
念，等比數列的常用性質） 2.思想方法總結
（類比思想等）
學生總結，完善
學案 梳理所學知識，體會數學思想方法.
2min
問題預設: 課堂小結學生可能只注重知識，而
忽略數學思想方
法.
解決方案： 教師引導，學生總結.
6
九、板書設計
2.4 等比數列（二） 1.等比中項 2. 等比數列的 變式： 常用性質
例1 變式
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