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視頻標簽：平面
視頻課題：人教A版必修二高二 2.1.1平面-湖南省- 安徽
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人教A版必修二高二 2.1.1平面-湖南省- 安徽省滁州中學
教學設計
章節(jié)名稱
必修2．1．1 平面 （第一課時）
學時
1
本節(jié)(課)
教學目標
情境與問題：通過一開始房屋、教室的圖片，激發(fā)學生的興趣，促進學生思考。 知識與技能： 理解平面的概念；能用文字語言、符號語言和圖形語言表述空間中的直線與平面、平面與平面的位置關系，了解三個公理及其作用；通過實例和多媒體直觀教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力；在數(shù)學試驗中，提
高學生的抽象概括的能力。
思維與表達：通過對生活中平面及其性質(zhì)的舉例、分析、總結(jié)歸納過程，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力以及體會類比的思想方法；學生經(jīng)歷自我概括抽象公理的過程，提高自身的抽象概括的能力。
交流與反思：這節(jié)課主要通過得到三個公理，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的能力，還是直觀想象能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。
本節(jié)(課) 教學內(nèi)容 的分析
“平面”是人教版高中數(shù)學必修2第2章的起始課．在第1章學生已經(jīng)從整體角度認識了柱、錐、臺、球等簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，接下來則需從局部的角
度認識空間幾何元素點、線、面的位置關系，從而進一步認識空間圖形，提高空間想象能力．通過本節(jié)課的學習，首先學生認識了新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)，其次，學生首次經(jīng)歷將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言的過程， 再次，在直觀感受的基礎上形成三個公理，學生初步體會歐幾里得公理化體系， 為后續(xù)學習做好準備．因此這節(jié)課是有其重要的地位與價值．
與本節(jié)
(課)相關 的學生特 征的分析
學生在初中初步學習了平面幾何的相關知識，掌握了平面內(nèi)點、直線的概念和
性質(zhì)．在教學設計時，可以類比“直線”來研究“平面”．通過以前的學習，學生對平面幾何已有一定的分析和推理能力，初步具備了學習點、直線、平面之間的位置關系的能力．但學生以前接觸的大多是平面圖形，習慣于在平面上解決問題，空間想象能力、思維能力較弱．
學法指導
在教學中我會盡量給學生灌輸他們才是認知的主體，是教學的主體，更是課堂
的主角這一思想．遵循學生的認知規(guī)律，盡可能地激發(fā)學生的積極性，讓學生經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，讓學生自己成為學習知識的主動者，同時引導學生走出學習數(shù)學概念的煩瑣與困境．讓學生進一步學會學習，學會探究．
2
教學方法 啟發(fā)式，問題導學法，實驗法
教學重點 理解平面的特點和三個公理，以及能用三種語言表述直線與平面、平面與平面的位置關系．
教學難點
符號語言和圖形語言的準確表示，學習公理的作用和意義．
教學過程
一、概念的引入
問題1：觀察圖中的房屋，有你熟悉的空間圖形嗎?
進一步從該物體中抽取一個長方體出來，追問： 長方體是由哪些幾何元素構(gòu)成的？
設計意圖：從整體到局部，從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)學模型，這么一棟賞心
悅目的別墅竟然是由一些幾何體組成的，讓學生感受到自己生活在一個充滿幾何體的世界里！那么這些幾何體到底是怎樣的結(jié)構(gòu)呢？接著，以學生熟悉的長方體為載體，提出新的問題，激發(fā)學生的興趣，讓學生感到學習數(shù)學是必要的、有用的．
點、線、面是空間圖形的基本元素，它們構(gòu)成了千姿百態(tài)的世界．本節(jié)我們就來研究點、線、面的位置關系。首先我們大家一起來探討一下平面及其基本性質(zhì)．
二、概念的生成
問題2：（1）生活中有哪些例子給了我們直線形象？（2）直線有哪些基本特征？（3）怎么表示直線？
學生通過討論給出如黑板的邊緣、空中劃過的閃電等都給我們以直線的形象，從而教師明確數(shù)學中的“直線”就是從同學們所舉的例子中抽象出來的． 學生進而給出直線的基本特征如：①直的；②向兩邊無限延伸；③無粗細．回憶了直線的表示方法：幾何上用線段表示直線，但是兩邊可以無限延長；符號表
3
示是直線AB或者直線a．
設計意圖：“抱住”直線學平面！學生曾經(jīng)學習過直線這一概念，這是他們已有的經(jīng)驗．任何人在學習時總會與自己已有的知識相聯(lián)系．把直線這一原始概念議論透．對直線概念的研究方法可以類比、遷移到對平面概念的研究中，這也有助學生理解抽象的平面概念．板書時筆者將以上內(nèi)容作為一列寫在黑板的左邊，最上邊寫直線二字；之后，右邊寫上與直線相對應的平面的有關內(nèi)容，最上邊寫平面二字，形成類比直線認識平面的效果．
問題3：（1）生活中有哪些例子給了我們平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？
學生交流舉出“桌面”、“黑板面”、“光滑的玻璃”、“平靜的水面”等，都給我們以平面的形象．再從這些直觀印象中抽象出幾何里所說的“平面”． 類比直線這一原始概念，不難得出平面具有“平的、無限延展、沒有厚薄”的基本特征．再通過類比畫線段表示直線，我們畫矩形表示平面——觀察角度原因——水平放置——成為平行四邊形．符號上：類比直線的表示方法，將平面記作：平面ABCD，平面AC，平面．
設計意圖：縱觀平面概念的生成過程，我們通過類比直線認識了平面，學 生體會到概念形成過程是自然的，對概念理解達到概念學習的水平．同時把直觀與抽象，比較與類比這些思維方法貫穿于教學之中．
三、性質(zhì)的探究 1、公理2
在設計本節(jié)教學中，我打破了以往教學的傳統(tǒng)，將教材中的公理2放在公理1之前介紹，主要是從學生的認知規(guī)律來考慮．首先，你得有一個平面，然后才好說與平面有關的事．
兩點確定一條直線，那么兩點能否確定一個平面？生說：不能．
老師繼續(xù)提問：“在空間中至少需要幾個點才能確定一個平面？是三個呢？還是四個、五個呢？”
請學生上臺，動手做數(shù)學實驗1． 數(shù)學實驗1：
用手指頭將一塊硬紙板平衡地擺放在空間某一位置，至少需要幾個手指？ 引導學生歸納出公理2．
設計意圖：在動手操作、觀察感悟中獲取新知．通過做數(shù)學實驗，讓學生感受滿足什么條件才可以確定一個平面，有利于降低學習難度，調(diào)動學生的學習積極性，增強學習興趣，體會到該公理2的正確性．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
預設：學生可能會忽略“不在同一條直線上”，教師提出問題：在同一直線上的三點，能否確定一個平面？學生回答不行，進一步讓學生舉出反例．也有學生可能會疑惑為什么是“三點可以確定一個平面？四點、五點可以嗎？”另外，通過提問“經(jīng)過不在同一條直線上的三點的平面只有一個嗎？”讓學生感受到“有且只有”的內(nèi)涵．
師生共同探究：如何用圖形語言表示公理2，及公理2的作用？ （因為學生第一次碰到文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，確實對他們來說是一個 難點）
設計意圖：給學生時間思考，畫出圖形，體會圖形的直觀．
師生共同體會公理2在生活中的簡單應用．比如相機、測量儀器的三角架定位、三角形所在平面的穩(wěn)定性等都是公理2的實際應用．
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公理2的內(nèi)容不僅給出了確定一個平面的依據(jù)，即“過不在一條直線的三點有一個平面”；而且給出了這樣的平面具有唯一性，即“有且只有一個平面”．另外，該公理還可以判斷直線與平面的位置關系，如不共線的三點中任意取兩點可以確定一條直線，則這條直線一定在不共線的三點確定的平面內(nèi)，從而為公理1打下鋪墊．
2、公理1
確定“平面”以后，接下來我們就會想到“點”、“線”和新的對象“面” 之間有什么關系了．我們主要探討線與面，面與面的關系．
對新對象（平面）與已經(jīng)有的對象（直線）關系的關注——滿足什么條件就可以說直線a在平面內(nèi)呢？
數(shù)學實驗2：如果把硬紙板看作一個平面，把你的筆看作是一條直線的話： (1)你能使筆上的一個點在平面內(nèi)，而其他點不在平面內(nèi)嗎？ (2)你能使筆上的兩個點在平面內(nèi)，而其他點不在平面內(nèi)嗎？ 引導學生歸納出平面的公理1．
設計意圖：通過筆和課桌面直觀感知原本難以想象的直線和平面的關系，有利于降低學習難度，調(diào)動學生的學習積極性，增強學習興趣，體會到公理1的正確性．
公理1： 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． 師生共同探究：如何用圖形語言表示？
師生共同探究： 數(shù)學符號更簡潔，如何用符號語言表示？
設計意圖：點與面，直線與面之間用什么符號表示，讓學生點燃思維的火花，最后體會線，面都是點的集合，所以可以借助集合語言表示．
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用PPT展示長方體ABCD-ABCD 中點、線、面的位置關系，用集合符號表示，由學生總結(jié)．
設計意圖：進一步熟悉符號語言，也為以后符號語言的使用打下堅實的基礎．
最后回到公理1的三種表示，總結(jié)三種語言的特點和公理1的作用． 公理1為我們提供了一種判斷直線是否在平面內(nèi)的方法，同時也為我們在紙面上畫一條直線在平面內(nèi)提供了理論依據(jù)．進一步分析，直線是向兩邊無限延伸的，無限延伸的直線放在平面上，說明平面也是向四周無限延展的．公理1用直線的“無限延伸性”來檢查平面的“無限延展性”．
師生共同體會公理1在生活中的簡單應用．比如工人用直棒檢查桌面
是否平整，木匠將繩子拉緊，將兩端置于桌旁，通過是否漏光來檢查桌面是否平整．公理1用直線的“直”來檢查平面的“平”．
3、公理3
數(shù)學實驗3：把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點B？為什么？
引導學生歸納出平面的公理3．
公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
預設：可能學生在歸納公理3時會忽略“有且只有”，教師可通過提問：“兩個不重合的平面，如果有一個公共點，因為平面是向四周無限延展的，那么一定有一條過該點的公共直線．它們還有除了這條交線以外的公共點嗎？”幫助學生理解“有且只有”的內(nèi)涵．
師生共同探究：如何用圖形語言和符號語言來表示？ 師生共同體會公理3的作用．
例1 如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.
例2 空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，已知EH和FG相交于點P，求證：P點在直線BD上。
練習： 判斷下列命題是否正確, 正確的在括號內(nèi)劃“√”, 錯誤的劃 “×”．（課本練習題改編）
(1)平面與平面相交，它們只有有限個公共點． ( ) (2) 三點確定一個平面． ( ) (3) 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面． ( ) (4) 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面． ( ) 設計意圖：通過練習，加深學生對三個公理的認識． 四、課堂小結(jié)
通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲?
師生共同就上述問題進行討論、交流、總結(jié)，讓學生充分發(fā)表自己的意見． 知識：通過這節(jié)課的學習，我們認識了平面及其基本的特征，初步感知了點、線、面的位置關系，并通過研究得到了三個公理：……．
方法：在本節(jié)課中，我們經(jīng)歷從具體與抽象、類比與比較的方法認識了新
A
B
β α a
l (1)
a
b
P l β
α
(2)
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的幾何元素“平面”及其性質(zhì)，同時還學習了用三種數(shù)學語言來表示這些知識． 希望大家能通過今天的學習能夠初步建立起空間的觀念．
思想：公理的出現(xiàn)，是一個由無到有的過程，并通過逐漸演繹推理，由少到多，由簡到繁，進而得到我們現(xiàn)在學習、研究的幾何體系，我們可以稱這種思想方法為公理化思想．
實際上，今天我們不僅僅是在研究平面及其三個公理，也經(jīng)歷了公理的形成過程，即實驗操作，直觀感受，文字描述，圖形、符號表示．
分層作業(yè)
必做：
（1) P43練習：1，4
(2) P51習題2．1A組：1,2 探究：如圖是一個正方體表面的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB， CD， EF，GH 這四條直線相互是什么位置關系?
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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