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視頻標簽：向量加法運算,及其幾何意義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學必修四第二章2.2.1向量加法運算及其幾何意義（第一課時）青海省優課
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2.2.1向量加法運算及其幾何意義（第一課時）教學設計
高一數學組
【學習目標】
1.通過經歷向量加法的探究，掌握向量加法概念,結合物理學實際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量.
2.通過本節內容的學習，讓學生認識事物之間的相互轉化，培養學生的數學應用意識，體會數學在生活中的作用. 培養學生類比、遷移、分類、歸納等能力. 【重點難點】
教學重點:向量加法的運算及其幾何意義. 教學難點:對向量加法法則定義的理解. 【學習過程】
一、知識探究 提出問題1 （1）數能進行運算，向量是否也能進行運算呢？類比數的加法,猜想向量的加法，應怎樣定義向量的加法？
（2）猜想向量加法的法則是什么? 與數的運算法則有什么不同?
圖1
探究活動一:
向量是既有大小、又有方向的量，教師引導學生通過視頻中學生的不同走路路徑回顧物理中位移的概念，位移可以合成，如圖1. 某對象從A點經B點到C點，兩次位移AB、BC的結果，與A點直接到C點的位移AC結果相同. 探究結果:
（1）向量加法的定義: 如圖2，已知非零向量a、b，在平面內任取一點A，作AB=a，BC=b，則向量AC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=AB+BC=AC.
圖2 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. （2）向量加法的法則:
①向量加法的三角形法則：
在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則. 運用這一法則時要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.可以總結為“首尾相接，首尾連”
位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.
探究活動二:
兩向量共線時，如何求其和向量？
通過幾何畫板動態演示，呈現求和過程與結果，會發現共線向量求和中，三角形法則仍然適用
探究活動三:
|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關系？按不共線、同向共線、反向共線三種不同的情況分類討論。（四人一小組利用向量求和的幾何意義解決此問題）
不共線 同向共線 反向共線
ababab
-<+<+
abab
+=+
abba
+=-
探究結果:
ababa
b
-??
提出問題2
除了三角形法則之外，有無其它的求向量和的方式？ 老師引導，讓學生共同探究如下的問題:
圖2(1)表示橡皮條在兩個力的作用下，沿著GC的方向伸長了EO； 圖2(2)表示撤去F1和F2，用一個力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度.
圖2
改變力F1與F2的大小和方向，重復以上的實驗,你能發現F與F1、F2之間的關系嗎?
力F對橡皮條產生的效果與力F1與F2共同作用產生的效果相同，物理學中把力F叫做F1與F2的合力.
合力F與力F1、F2有怎樣的關系呢? 由圖2(3)發現，力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上,并且大小等于平行四邊形對角線的長.
數的加法啟發我們，從運算的角度看,F可以認為是F1與F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法.
②向量加法的平行四邊形法則：
圖3
如圖3，以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則
以O為起點的對角線OC就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
力的合成可以看作向量加法的物理模型. 提出問題3
對于零向量與任一向量的加法，結果又是怎樣的呢？ 探究結果:
對于零向量與任一向量，我們規定a+0=0+a=a. 二、應用示例
【例1】 如圖4，已知向量a、b，求作向量a+b.
活動:教師引導學生,讓學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中,學生體會作法中在平面內任取一點O的依據——它體現了向量起點的任意性.在向量作圖時,一般都需要進行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時應強調向量的起點放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連.
圖4 圖5 圖6
解:作法一:在平面內任取一點O(如圖5),作OA=a,AB=b,則OB=a+b. 作法二:在平面內任取一點O(如圖6)，作OA=a,OB=b.以OA、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則OC=a+b.
練習1：作出下列四組向量的和向量
a
a
練習2:請根據下圖所給向量，填寫結果：
三、小結回顧:
本節課學習到了哪些知識？ 1、向量加法的定義 2、向量加法的幾何意義 3、模長關系 4、思想方法
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
