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視頻標簽：變化率與導數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修2-2 變化率與導數-浙江省 - 杭州
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變化率與導數教學設計
一、 內容與內容解析
變化是自然界的普遍現象，豐富多彩的變化問題隨處可見。函數是描述運動變化規律的重要工具。如何定量刻畫千變萬化的變化現象，是數學研究的重要課題。17世紀創立的微積分就源于研究運動物體的變化規律，它是數學發展中的里程碑。本節課的核心內容是平均變化率和瞬時變化率。這是微積分中的兩個核心概念，有著極其豐富的實際背景和廣泛的應用。對于宏觀地描述一個簡單的變化過程，可以利用平均變化率的這個指標，但是隨著對變化問題研究的深入和細化，用平均變化率已經不足以刻畫一個較復雜的變化問題，需要引進瞬時變化率的概念。從平均變化率到瞬時變化率，是一個量變到質變的過程。它蘊涵著的無限分割的微分的思想，無限逼近的極限的思想是兩個極為重要的數學思想。因此本節課的重點是理解瞬時變化率的概念，學會用瞬時變化率來“度量”變化過程。 二、 目標與目標解析
抽象的數學往往都具有豐富的實踐背景，變化率概念的形成和發展也不例外。課堂教學需要再現數學概念的形成與發展過程，讓學生體會數學的重要思想和豐富內涵，感受數學工具在解決實際問題的作用，使學生認識到數學概念的形成也是人的思想的自然合理、符合邏輯的發展過程。因此確定本節課的教學目標為：
1. 從具體案例中，發現平均變化率在刻畫變化規律中的作用和局限性。 2. 通過實例分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解利用
平均變化率的極限刻畫瞬時變化率的思想。
3. 自然合理地形成微分、逼近、極限等數學觀點，體會微積分的思想及其
內涵，理解導數就是瞬時變化率。
三、 教學問題診斷分析
函數是刻畫運動變化的重要數學模型，函數的圖象與性質是學生定性分析變化現象的重要認知基礎。或許學生能夠從函數圖象上感受函數變化的快與慢。但學生往往缺乏從定量和抽象的層面去分析數學問題本質的習慣與能力。本節課的第
2
一個難點是從現實背景中抽象出函數平均變化率的概念，即
2
121)
()(xxxfxfxy
是表示函數)(xfy在區間[1x，2x]或[2x，1x]上函數平均變化率。對于高中學生而言，他們習慣于用靜態的思維來觀察和表達一個數學現象。在本節課中，預計學生會產生這樣的問題：（1）當區間不斷縮小時，函數在這個區間上的平均變化率將會發生怎樣的變化？這種變化有什么規律？（2）在變化的“瞬間”，平均變化率有沒有意義？它還能否刻畫“瞬間”的變化規律？（3）當0x時，
x
y
將成為0
0
型的式子，它還有意義嗎？其實這些問題不僅會困擾現在的學生，也困擾
了當時的數學家們。因此本節課的難點是從平均變化率概念到瞬時變化率概念的產生和形成。特別是微分、逼近、極限思想的體現和運用。 四、 教學支持條件分析
學生對于函數概念、函數圖象與性質等知識與方法理解和掌握是本節課的教學基點。因此可以引導學生從函數解析式、函數的單調性等方面去探究，特別是利用函數圖象直觀，對由函數刻畫的變化現象作出定性的分析。在此基礎上，引導學生進行數學抽象和數學概念的形成與發展。學生的生活經驗、原有的知識基礎，直觀而形象的課件都可以支持學生對一個問題從表面到本質，從形象到抽象的轉變。
五、 教學過程設計 （一）創設情景、引入課題
開門見山，引入課題。提出今天學習的課題是“變化率與導數”，并指出變化是自然界的普遍現象，豐富多彩的變化問題隨處可見。 問題1：如何用數學的方法觀察和分析一個變化現象？
以來自于學生的生活經驗為例。
“當你吹氣球的時候，隨著球內的空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢。”
你能否用數學的方法，來解釋這種現象。
設計意圖：這是教材中的例子，問題的設計包含兩個方面。第一，對于一個實際問題的數學解決，需要對問題進行理想化，抓住問題的本質而忽略次部分。
3
這是數學建模的思想。在本問題中，氣球可以抽象為標準的球體，因此球體的體
積與半徑之間的關系就能明確地表達出來，33
4
rV。這樣我們就能定量地研究
氣球容量V與半徑r之間的關系。同時，空氣要求是均勻地沖入氣球的。其次，問題具有一定的開放性，可以運用多種數學方法來解釋這種現象，以便教師引導學生歸納總結出，用平均變化率是刻畫這種現象的簡單而有效的方法。
活動預設：希望學生能夠從他們的視角來回答問題。如從函數變化的角度，
3
43)(
V
Vr，利用學生對于冪函數圖象與性質的基礎，畫出這個函數的圖象。從函數圖象上可以看出函數)(Vr是增函數，并且增長的速度是變慢的。
如果是這樣，教師可以通過追問，什么是“增長的速度是變慢”？進而引入到更加精細的定量分析：
（1）當空氣容量從0增加到1L時，氣球半徑增加了：62.0)0()1(rr（dm） 氣球的平均膨脹率為：
62.00
1)
0()1(rr（dm/L）；
（2）當空氣容量從1增加到2L時，氣球半徑增加了：16.0)1()2(rr（dm） 氣球的平均膨脹率為：
16.01
2)
1()2(rr（dm/L）；
通過圖象分析與電子表格計算，可以看到平均膨脹率是逐漸減小的。 引導學生發現：平均變化率是解釋變化現象的重要指標。
問題1—2：你能舉出一些你所知道的用平均變化率來描述的指標嗎？ 設計意圖：概念的產生的一個重要途徑是歸納，光有一個例子是不夠的。由于教學時間的限制，不允許教師通過多個例子來建立平均變化率的概念，因此需要利用學生原有知識結構，對平均變化率概念進行順應和同化。預設學生能夠回答諸如斜率、增長率、利率、速度、加速度、效率、利潤、功率等。
問題2：對于一個描述變化過程的函數)(xfy，請寫出函數從1x到2x的平均變化率，并畫出示意圖。
設計意圖：深化平均變化率概念的內涵，引導學生寫出
1
221)
()(xxxfxf，引入記號
4
12xxx， )()(12xfxfy，平均變化率可以表示為：1
221)
()(xxxfxfxy
。并為后續學習導數的幾何意義作鋪墊。 （二） 設疑求變，形成新知
任何的數學方法都是在一定的條件下產生，因此必然有局限性。平均變化率也一樣，有時它不夠用了。提出有關于高速公路的例子：
有一條新造的高速度公路，高速交警為了保證行駛安全，要控制汽車行駛
速度，于是采用計時的方法，記錄汽車在起點和終點的時間，計算車輛的平均速度。于是問題產生了……
問題3：駕駛員在途中開得很快，但到了終點的收費處旁等待，到了時間以后才開出高速公路。如果你是交警，那么你將如何解決這個問題？
設計意圖：利用學生熟悉的生活背景，使學生能夠想到，需要在途中增加監控設備，縮短計算平均速度的時間間隔，才能解決問題。以學生的生活背景設置問題，使學生感知抽象的數學概念的形成，也是來源于生活的需要。
問題4：一種稱為“電子狗”的產品出現了。司機只要在監控設備有效的監控范圍內控制速度，在監控范圍外就可以任意超速而不受處罰。那么你又有什么好的對策嗎？
設計意圖：預設學生會回答兩種方法。第一，進一步縮短監控的范圍，可以增加監控設備。但是監控設備不能無限增加，于是也可以增加流動監控設備，造成全程監控的假象。第二，真正實行全程監控，利用GPS行車記錄儀，記錄汽車在行駛過程中每一個“瞬間”的速度，使汽車在每一個瞬間都不超速。從而引出“瞬時速度”的問題。
問題5：什么是運動物體“瞬時速度”？
設計意圖：先由學生回答，讓學生充分暴露其想法。教師順勢利導，幫助學生形成瞬時變化率的概念。
為了研究和回答這個問題，同樣我們可以在一個實例的背景中討論這個問題。 問題6：人們發現，在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：
m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系：105.69.4)(2ttth。你能否知道起跳后大約2s左右，這個運動員的速度嗎？
5
教學過程中可以設置以下幾個環節： （1）2s左右怎樣表示？
用t表示“瞬間”的時間，那么2s左右可以表示為[2，t2]（0t），或者[t2，2]（0t）。 （2）在2s“瞬間”的平均速度是：t
hth)
2()2(，這個平均速度與t的正負
有關嗎？
（3）當“瞬間”越來越小時，
t
hth)
2()2(還有意義嗎？
即當0t時，t
hth)
2()2(還有意義嗎？如果我們將0t直接代入這個
式子，將會出現0
0
的不定型，怎么辦？
（4）我們可以對t
hth)
2()2(作小小的變形，以看清楚它。
thth)2()2(＝
tt
t
tt9.41.135.6)4(9.4，從分母中消去了t，這個非常好，去掉了給我們造成麻煩的t。現在我們可以將0t代入得到
1.13。
（5）過程0t，有
1.13)
2()2(t
hth，這表示什么意思？
引導學生回答：表示“當2t，0t時，平均速度t
hth)
2()2(趨近于
確定值1.13。這是一個時間間隔趨近于0的過程，在這個過程中，
t
hth)
2()2(趨近于一個確定的值，這個值我們就可以認為在2t時的“瞬時速度”，也叫做
0t時，式子
thth)2()2(的極限。記作1.13)
2()2(lim
0t
htht。 （三）歸納抽象，形成概念
問題6：依照前面的問題，你能給出函數)(xfy在0xx處的瞬時變化率的定義嗎？
設計意圖：至此形成函數瞬時變化率概念已經水到渠成。我們所需要的是進行符號語言上的抽象與規范。
一般地，函數)(xfy在0xx處的瞬時變化率是
xxfxxfxy
xx)()(limlim
0000，
6
我們稱它為函數)(xfy在0xx處的導數（derivative）， 記作)(0xf或0|xxy 即 )(0xf＝x
xfxxfxy
xx)()(limlim
0000。
（四）回顧總結，體驗文化
在短短的幾十分鐘里，我們一起經歷了歷史上偉大人物發明微積分所做工作。微積分是數學的基礎，也是科學發展的基石。
請你總結刻畫變化規律的不同方法，并說說其中的基本思想。
微分、逼近、極限的思想就是為了對于“無限”的征服。“數學是定義無限的本質的科學”，研究無限是微積分發展的原動力。
牛頓和萊布尼茨在17世紀分別獨立地建立了微積分。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮。牛頓建立了無窮小概念，從面奠定了微積分的基礎，導數是微積分的核心概念。
牛頓（Isaac Newton，1642—1727，英國），被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一，他創立了微積分，并且構筑了力學的大廈。
萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德國），是德國最重要的數學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才，和牛頓同為微積分的創建人。他所創設的微積分符號遠遠優于牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。 有興趣的同學課后可上網查閱有關微積分創建的故事，了解微積分創建的意義和偉大功績。
設計意圖：微積分的創立是人類的一個偉大創舉，推動了時代的發展，體現了數學巨大而又廣泛的應用。微積分的創立不僅是數學思想史的里程碑，也是科學思想史上的里程碑。體會微積分的創立與人類科技發展的緊密聯系。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
