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視頻標簽：函數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高一數學必修一1.2.1函數的概念-重慶市優課
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高中數學人教版A版 第一章 集合與函數的概念 思想：變化與對應
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1.2.1函數的概念教學設計（第一課時）
教學目標
知識目標—— 通過豐富的實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要
數學模型；用集合與對應的思想理解函數的概念；理解函數的三要素及函數符號的深刻含義；會求一些簡單函數的定義域及值域。
能力目標—— 培養學生觀察、類比、推理的能力；培養學生分析、判斷、抽象、歸納
概括的邏輯思維能力；培養學生聯系、對應、轉化的辯證思想；強化“形”與“數”結合并相互轉化的數學思想。
情感目標—— 滲透數學思想和文化，激發學生觀察、分析、探求的興趣和熱情；強化
學生參與意識，培養學生嚴謹的學習態度，獲得積極的情感體驗；體會在探究過程中由特殊到一般、從具體到抽象、運動變化、相互聯系、相互制約、相互轉化的辯證唯物主義觀點；感受數學的簡潔美、對稱美、數與形的和諧統一美；樹立“數學源于實踐，又服務于實踐”的數學應用意識。
教學重點：函數的概念，函數的三要素.
教學難點：函數概念及符號y=f(x)的理解. 教學用具：多媒體 教學過程： 設計環節 設計意圖
師生活動
一、 創設問題情境 ， 引出課題 。
視頻引入，提出萬物皆變的觀點，引出我們的課題函數
今天學習函數的演變過程，復習初中所學的函數概念以及函數類型。
以實際問題為背景，以學生熟悉的情境入手激活學生的原有知識，形成學生的“再創造”欲望，讓學生在熟悉的環境中發現新知識，使新知識和原知識形成聯系，同時也體現了數學的應用價值。通過問題1這個用已有概念不太容易回答的問題，引發學生的認知沖突，有著承上啟下的作用。既是對初中已學的函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合語言來刻畫函數的本質做好伏筆。
視頻引入，萬物皆變，量的變化，變量之間的關系，函數；這就是今天我們要學習的課題：函數的概念（板書），函數概念的發展線。 函數最早1673由萊布尼茨提出，后經過康托爾集合論的發表揭示了函數的本質，1859清代數學家李善蘭將函數引入中國 教師提出問題1：
我們在初中學習過函數的概念，它是如何定義的呢？在初中已經學過哪些函數？（在學生回答的基礎上出示投影）傳統定義，1837年，以狄利克雷為代表的變量說，是函數發展的起萌。
我們已經學習了一些具體的函數，那么為什么還要學習函數呢？先請同學們思考下面的兩個問題：
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二、 借助信息技術 ， 討論歸納 。
以實際問題為載體，以信息技術的作圖功能為輔助。在三個實例的教學中，重點在于引導學生體會函數概念中的對應關系。通過實例1，體會用解析式刻畫變量之間的對應關系，關注t和h的范圍；通過實例2體會用圖象刻畫變量之間的對應關系，關注t和S的范圍；通過實例3體會用表格刻畫變量之間的對應關系。
為了更好地使學生嘗試用集合與對應的語言進行描述，可以利用信息技術設置教學情境。通過學生的觀察、思考、討論來歸納結論，體現了學生自主探究的學習方式。讓他們通過實踐來進一步體驗到在集合對應觀下的函數內涵，也為學生應用信息技術解決數學問題提供了一種新的途徑和方法。
師：（實例1）演示動畫，用《幾何畫板》動態地顯示炮彈高度h關于炮彈發射時間t的函數。啟發學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度h與之相對應。
生：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。 師：（實例2）引導學生看圖，并啟發：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積S與之相對應。
生：動手測量，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。 師生：（實例3）共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。
問題2：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點？
生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數定義，并在全班交流。
師生：由學生概括，教師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描述為：
對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有唯一確定的y與它對應，記作f:A→B 三、 從特殊到一般 ， 引出函數概念 。
從特殊到一般，揭示數學通常的發現過程，給學生“數學創造”的體驗。這種引出概念的方式自然而又易于學生接受和形成概念。
注重雙語，規范數學概念的理解。在涉及的每一個數學概念其后注明英語，有利于教師實施雙語教學，也有利于教師和學生閱讀外文數學材料，這也是體現新課標實驗教材的創新之處。
函數y=f(x)是學生學習的難點，這是一個抽象的數學符號。教學時首先要強調符號“y=f(x)”為“y是x的函數”這句話的數學表示，它僅僅是數學符號，而不是表示“y等于f與x的乘積”。在有些問題中，對應關系f可用一個解析式表示，但在不少問題中，
問題3：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢？如果能，怎樣給函數重新下一個定義呢？（在學生回答的基礎上教師歸納總結）
設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在數集B中都有唯一確定的f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）.記作y=f(x)．x∈A．自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域（range）．
1930年函數“關系說”近代函數定義
在函數概念得出后，教師強調指出“y=f(x)”僅僅是數學符號。為了更好地理解函數符號y=f(x)的含義，教師提出下一個問題： 問題4：函數的三要素是什么？
教師引導學生歸納總結：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。
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對應關系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如圖象、列表）來表示。所以教師應向學生明確指出，y=f(x)不一定就是解析式，函數的表示方式除了解析式外，還有其它表示方法，如實例2的圖象法，實例3的列表法。
問題5：y=f(x)一定就是函數的解析式嗎？
師生：函數的解析式、圖象、表格都是表示函數的方法。
啟發并引導學生思考、討論、交流，教師歸納總結出函數的要點： 1．函數是一種特殊的對應——非空數集到非空數集的對應；
2．函數的核心是對應法則，通常用記號f表示函數的對應法則，在不同的函數中，f的具體含義不一樣。函數記號y=f(x)表明，對于定義域A的任意一個x在“對應法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當x在定義域中取一個確定的a，對應的函數值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對應；值域BC； 3．函數符號y=f(x)的說明： （1）“y=f(x)”即為“y是x的函數”的符號表示； （2）y=f(x)不一定能用解析式表示；
（3）f(x)與f(a)是不同的，通常，f(a)表示函數f(x)
當x=a時的函數；
（4）在同時研究兩個或多個函數時，常用不同符號
表示不同的函數，除用符號f(x)外，還常用g(x)、F(x)、φ(x)等符號來表示。
四、 再創情境 ， 引導探究函數概念的新認識 。
問題7利用學生思維的空白處設置問題，能引起學生探究的欲望，從而自然引出以形求數的思想。接著，通過“引導”，給學生解決后續問題的方法，即觀察圖象的方法。
問題9引導學生對問題2進行反思和總結，并將之一般化，利用數學語言來表達，培養學生反思問題、總結歸納的習慣和善于運用數學語言抽象所發現的結論的能力。
問題6：比較函數的近代定義與傳統定義的異同點，你對函數有什么新的認識？ 學生思考、討論，教師點撥：
函數近代定義與傳統定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發。
五、 練習 交流 反饋
鞏固
利用課堂練習鞏固所學的知識內容、數學思想和方法，以求達到教學目標。本環節以個別指導為主，體現面對
全體學生的課改理念。
以學生回答、板演的形式進行，充分發揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節課的學習。
課堂練習：1集合之間的對應關系再次反映特殊對應關系，一對一或者多對一
練習2：下列圖象中不能作為函數)(xfy的圖象的是（ ）
x
yo2
2x
y
o2
2
x
y
o2
2
x
y
o2
2
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（A） （B） （C） （D） 練習三、判斷解析式是否為函數
六、類比 函數對應法則
對應法則的類比
七、 學生歸納小結 ， 教師評價 。 關注學生學習的主動性，培養學生的合作意識，培養學生表達交流數學的能力。自主小結的形式將課堂還給學生，既是對一節課的簡單回顧與梳理，也是對所學內容的再次鞏固。 以同桌之間一人小結一人傾聽的方式，以四人為一小組進行小組討論，對本節課所學的內容進行自主小結，教師及時進行歸納總結： 1．函數的近代定義與傳統定義的異同點； 2．集合與函數的聯系、區別； 3．函數的三要素； 4．數形結合的思想。 八、 課后作業
作業分為三種形式，體現作業的鞏固性和發展性原則。閱讀作業中的問題思考是后續課堂的鋪墊，而彈性作業不作統一要求，供學有余力的學生課后研究，它也是新課程標準里研究性學習的一部分。
1．閱讀作業：通讀教材，復習鞏固，并思考表示函數有哪些方法？
2．書面作業：補充課本例題的資料
3．彈性作業：比較函數的近代定義與傳統定義的異同點，你對函數有什么新的認識？請同學們舉出幾個具體函數例子，用傳統定義不好解釋，而用近代定義容易理解。 九、教師寄語
數學與生活的聯系
情感態度價值觀
教學流程：
知識結構：
創設問題情境，引出問題 借助信息技術，討論歸納 從特殊到一般，引出函數概念 再創情境，引導探究函數概念的新認識 練習、交流、反饋、鞏固 學生歸納小結，教師評價
課后作業 函數的概念
借助熟悉函數的平臺，
加深對函數概念理解
師生釋疑，深入研究 舉例應用，深化目標
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“函數”的由來
“函數”一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先采用的，當時萊布尼茨用“函數”這一詞來表示變量x的冪，即x2，x3，„.接下來萊布尼茨又將“函數”這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變量.就這樣“函數”這詞逐漸盛行.
在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數.”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數或變量，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數.”這樣，在中國“函數”是指公式里含有變量的意思.
瑞士數學家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函數了如下的函數定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函數.換句話說，由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關于x的函數.
1775年，歐拉把函數定義為：“如果某些變量：以某一種方式依賴于另一些變量.即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起.
首屈一指的法國數學家柯西引入了新的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為„自變數‟，其它各變數則稱為„函數‟”.在柯西的定義中，首先出現了“自變量”一詞.
1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應關系。即條件的必要性，利用這個關系以求出每一個x的對應值.
1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”
德國數學家黎曼引入了函數的新定義：“對于x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函數.”
上面函數概念的演變，我們可以知道，函數的定義必須抓住函數的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.
集合與函數的關系 函數的三要素 近代定義與傳統定義
對應關系
值域
定義域
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由此，就有了我們課本上的函數的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.
柯西 法國數學家
函數的三種定義是貫穿其發展的一根紅線。“變量說”是函數發展起萌的開始；“對應說”進一步揭示了函數的實質——對應關系；“關系說”有利地解決了函數只允許數與數對應的局限性問題，“關系說”也是目前函數的最一般形式化和最嚴格的定義。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
