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視頻標簽：方程的根與函數(shù)的零點
視頻課題：高一數(shù)學新教材第三章第三節(jié)2.3《方程的根與函數(shù)的零點》云南省優(yōu)課
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高一數(shù)學新教材第三章第三節(jié)2.3《方程的根與函數(shù)的零點》云南省優(yōu)課
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課題：方程的根與函數(shù)的零點 3號選手
一、 教學內(nèi)容分析
本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教課書數(shù)學I必修本（A版）》第86-88頁的第三章第一課時3.1.1方程的根與函數(shù)的的零點。
函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學與高等數(shù)學的連接紐帶。在現(xiàn)實生活注重理論與實踐相結(jié)合的今天，函數(shù)與方程都有著十分重要的應用，再加上函數(shù)與方程還是中學數(shù)學四大數(shù)學思想之一，因此函數(shù)與方程在整個高中數(shù)學教學中占有非常重要的地位。
就本章而言，本節(jié)通過對二次函數(shù)圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形．它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也引出對函數(shù)知識的總結(jié)拓展。之后將函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應用，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系．滲透“方程與函數(shù)” 思想，起到承上啟下的作用。
總之，本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合”的思想，教好本節(jié)課可以為學好中學數(shù)學打下一個良好基礎(chǔ)，因此教好本節(jié)是至關(guān)重要的。
二、學情分析
學生之前已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學生理解函數(shù)的零點提供了幫助，初步的數(shù)形結(jié)合知識也足以讓學生直觀理解函數(shù)零點的存在性，因此從學生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點，從認知規(guī)律上講，應該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學生應該有較好的基礎(chǔ)對于它根的個數(shù)以及存在性學生比較熟悉，學生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系提供了知識基礎(chǔ)。但是學生對其他一般性函數(shù)的圖象與性質(zhì)認識不深，對于高次方程還不熟悉，我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦樱寣W生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應該是學生學習的難點。加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學中應加強師生互動，盡多的給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。
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三、教學目標 1.知識與技能
(1) 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，掌握零點的概念，會求簡單函數(shù)的零點； (2) 理解方程的根和函數(shù)零點的關(guān)系； (3) 理解函數(shù)零點存在的判定條件；
2.過程與方法
(1)通過化歸與轉(zhuǎn)化思想的引導，培養(yǎng)從已有認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，尋求解決棘手問題方法的習慣；
(2) 通過數(shù)形結(jié)合思想的滲透，培養(yǎng)主動應用數(shù)學思想的意識；
(3) 通過習題與探究知識的相關(guān)性設(shè)置，引導深入探究得出判斷函數(shù)的零點個數(shù)和所在區(qū)間的方法；
(4)通過對函數(shù)與方程思想的不斷剖析，促進對知識靈活應用的能力。
3.情感態(tài)度與價值觀
(1)體驗化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程這三大數(shù)學思想在解決數(shù)學問題時的意義與價值；
(2) 培養(yǎng)鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；
(3) 以學生為主體，營造學習氛圍，產(chǎn)生熱愛學習數(shù)學的積極心理。
四、教學重點、難點和關(guān)鍵
重點：(1)函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系； (2)零點存在性定理的使用； 難點：(1)理解函數(shù)的零點就是方程的根； (2)理解函數(shù)零點存在的判定條件。
關(guān)鍵:方程的根、函數(shù)的零點以及函數(shù)圖像與x軸交點橫坐標之間的聯(lián)系；
五、教學的方法和手段
(1) 啟發(fā)式教學：啟發(fā)引導學生思考、分析、實驗、探索、歸納；
(2) 探究式教學：采用“設(shè)問——探索——歸納——定論”層層遞進的方式來突破本課的重難點；
(3) 體現(xiàn)“從特殊到一般” 、“方程與函數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合” 的思想方法； (4)運用focusky以及幾何畫板等軟件進行多媒體課件演示法。
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六、學法：
(1) 觀察學習法：觀察熟悉的一元二次方程與相應的二次函數(shù)圖像得出零點定義，以及觀察函數(shù)圖像來得出函數(shù)零點的存在的判定條件。
(2) 探究歸納法：從具體的例子中歸納一般的，共性的性質(zhì)定理。 (3) 自主性學習法：通過實驗畫出函數(shù)圖象、觀察圖象自得其性質(zhì). (4)反饋練習法：檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距
七、教學過程設(shè)計
教學流程：以舊帶新，引出課題 → 探究1→歸納推廣，技能演練 →探究2 →探索研究，歸納結(jié)論→課堂小結(jié)，布置作業(yè)。
【環(huán)節(jié)一：以舊帶新，引出課題】設(shè)置問題情境，指明本課節(jié)目標
教師活動：用屏幕顯示
第三章 函數(shù)的應用
3.1.1方程的根與函數(shù)的零點
教師活動：這節(jié)課我們來學習3.1.1方程的根與函數(shù)的零點。 方程是代數(shù)里的重要組成部分，
咱們在初中已經(jīng)學過解方程的例子，比如一元一次方程、一元二次方程等，下面請同學們思考一下這樣兩個人問題： 用屏幕顯示：問題1：方程2
230xx--=有實數(shù)解嗎？
問題2：方程062ln=-+xx有實數(shù)解嗎？
學生活動：回答，思考解法。
教師活動：第一個方程有實數(shù)解嗎？為什么？那第二個方程有解嗎？可以用判別式去判定它是有
還是沒有實數(shù)根嗎？也就是說，判別式這個工具的作用是有限的，只能解決一元二次方程根的問題，而不能解決一般性問題，那同學們接著思考一下，咱們一元二次方程根的問題除了用判別式，還可以用什么?
學生活動：思考作答:圖像。
教師活動：那方程與函數(shù)圖像這種聯(lián)系，能否作為一般的工具去判別方程的根呢？
這就是本節(jié)課咱們學習的內(nèi)容。
板書標題：3.1.1方程的根與函數(shù)的零點
用黑板顯示：解讀教學目標： 1、掌握函數(shù)零點的概念；
2、了解函數(shù)零點與方程的根的聯(lián)系； 3、理解并會用零點存在性定理.
重點：函數(shù)零點的概念和函數(shù)零點與方程的根之間的聯(lián)系． 難點：探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點的存在性.
【環(huán)節(jié)二：巧設(shè)疑云，輕松滲透】，滲透數(shù)學思想
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知識探究（一）：方程的根與函數(shù)的零點
教師活動：問題3：求方程2
230xx--=的實數(shù)根？并畫出函數(shù)322--=xxy的圖象。
學生活動：請一位同學上黑板計算并作圖，其他同學在導學案上作圖并觀察圖像，思考作答。 教師活動：我們來認真地對比一下。 用屏幕顯示：方程2
230xx--=的實數(shù)根
Û使函數(shù)0322
=--=xxy的實數(shù)解Û函
數(shù)
322
--=xxy的圖象與x軸的交點的橫坐標。
學生活動：得到特殊情況下方程的實數(shù)根應該是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標的結(jié)論。 教師活動：問題4：上述關(guān)系對一般的一元二次方程
)0(02
>=++acbxax的根和它相應的二次
函數(shù))0(2>++=acbxaxy圖像與x軸的橫坐標也成立嗎？
播放微視頻：在微視頻中講解問題4，調(diào)動積極性并提高課堂效率 學生活動：觀看微視頻，思考掌握
教師活動：我們就把使方程成立的實數(shù)x稱做函數(shù)的零點．
【環(huán)節(jié)三：歸納推廣，技能演練】引入零點定義，確認等價關(guān)系
教師活動：這是我們本節(jié)課的第一個知識點。
板書：一、函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x),使方程f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。
活動：用屏幕顯示，請獨立完成例題并思考總結(jié)
例1. 函數(shù)y =（x-1)(x+2)(x-3)的零點是（ ） （A）(1,0)(-2,0)(3,0)； （B）1,-2,3； （C）(0,1)(0,-2)(0,3)； （D）-2,3． 學生活動：選（B），得出結(jié)論：零點不是點，是數(shù)，是交點的橫坐標 板書：零點不是點，是數(shù)，是圖像與X軸交點的橫坐標。
活動：用屏幕顯示，按小組形式討論并將正確答案寫在小黑板上
例2.下列函數(shù)的零點分別是多少？
（1）83-=xy （2）y=（x-1)(x-2)(x-3)(x-4) （3）322+-=xxy
學生活動：將學生分成8組，以小組形式進行討論并把答案寫在小黑板上，做好就舉起黑板展示 教師活動：將展示的結(jié)果進行評析，評析之后在屏幕上用幾何畫板把這三個函數(shù)的圖像進行展示，檢驗結(jié)論的正確性。
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活動：對比定義，進一步思考得出結(jié)論。
教師活動：結(jié)合函數(shù)零點的定義和我們剛才的探究過程，你認為方程的根與函數(shù)的零點究竟是什
么關(guān)系？
學生活動：思考作答。
教師活動：這是我們本節(jié)課的第二個知識點。 用屏幕顯示：方程 f(x)=0 有實數(shù)根
x
0
Û函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點為)0,(0
x。Û函數(shù)y=f(x)有零點x0
。
板書：二、方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系
方程 f(x)=0 有實數(shù)根
x0
Û函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點為)0,(0
x。
Û函數(shù)y=f(x)有零點x0
。
教師活動：對于函數(shù)y=f(x)有零點，從“數(shù)”的角度理解，就是方程f(x)=0有實根，從“形”
的角度理解，就是圖象與x軸有交點。從我們剛才的探究過程中，我們知道，方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關(guān)系。所以函數(shù)零點實際上是方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點的一個統(tǒng)一體。
【環(huán)節(jié)四：探究新知，思形想數(shù)】探究圖象本質(zhì)，數(shù)形轉(zhuǎn)化解疑
知識探究（二）：函數(shù)零點存在性定理
教師活動：用屏幕顯示
問題1：現(xiàn)在有兩組鏡頭（如圖所示），哪一組鏡頭能說明人的行程一定曾渡過河?
第Ⅰ組 河 流 河 流
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第Ⅱ組
學生活動：通過觀察圖像，快速得出第一組 教師活動：用屏幕顯示
問題2：第Ⅰ組情況，將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為A、B兩點。請大家用連續(xù)
不斷的曲線畫出行人的可能路徑。
學生活動：獨立思考并在導學案上畫出行人的可能路徑 教師活動：借助手機軟件將學生所畫各種路徑展示在屏幕上 學生活動：認真觀察展示路徑并思考
教師活動：用屏幕顯示
問題3：若把所畫連續(xù)不斷的曲線表示為函數(shù)f（x），設(shè)A點的橫坐標為a，B點的橫坐標
為b，問：函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定存在零點嗎？
學生活動：通過觀察和思考得出：不一定
教師活動：我們看到，當函數(shù)圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點，圖象穿過x軸這是一
種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來描述呢？用屏幕顯示路徑的函數(shù)圖象，多次播放路徑曲線穿過x軸的畫面。
學生活動：通過觀察圖象，得出函數(shù)零點的左右兩側(cè)函數(shù)值異號的結(jié)論.
教師活動：好！我們明確一下這個結(jié)論，函數(shù)y=f(x)具備什么條件時，能在區(qū)間（a,b）上存在
零點？
學生活動：得出f(a)·f(b)<0的結(jié)論。
教師活動：若f(a)·f(b)<0,函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上就存在零點嗎？
教師活動：用屏幕顯示
問題4：如果函數(shù)的圖像不是連續(xù)不斷的，函數(shù)的零點一定存在嗎？
河 流
河 流
A．
B．
y x o
a b O x y
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學生活動：可從屏幕上的圖象中受到啟發(fā)，得出只有在[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，在滿足
f(a)·f(b)<0的條件時，才會存在零點的結(jié)論。
【環(huán)節(jié)五：探索研究，歸納結(jié)論】初識定理表象，深入理解實質(zhì)
教師活動：其實同學們無形之中已經(jīng)說出了我們數(shù)學中的一個重要定理，那就是零點存在性定理。
這是我們本節(jié)課的第三個知識點。
教師活動：用屏幕顯示
函數(shù)零點存在性定理：
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根． 教師活動：這個定理比較長，老師在黑板上板書，讓大家更好地體會定理的內(nèi)容。
板書：三、零點存在性定理
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根． 學生活動：讀出定理。
教師活動：標出關(guān)鍵點：連續(xù)不斷，異號 學生活動：在導學案上標記出關(guān)鍵點
教師活動：大家注意到了么，定理中，開始時是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，結(jié)果推出時卻是在開區(qū)
間（a,b）上存在零點。你怎樣理解這種差異？
學生活動：思考作答。
教師活動：雖然我們已經(jīng)得到了零點存在性定理，但同學們真的那么坦然么？結(jié)合定理的敘述形
式，你對定理的內(nèi)容可有疑問？
教師活動：用屏幕顯示
例3 判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例
（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間
(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點.（ ）
（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間
(a,b)內(nèi)沒有零點.（ ）
（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零
點，則有f(a)·f(b)<0.（ ）
教師活動：那我們就來解決一下這些問題。
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學生活動：通過屏幕上的結(jié)論判斷出正誤，并得出結(jié)論。
1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則只能確定f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，有幾個不一定。
2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)也可能有零點。
3.在零點存在性定理的條件下，如果函數(shù)再具有單調(diào)性,函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點。
【環(huán)節(jié)六：應用所學，答疑解惑】把握理論實質(zhì)，解決初始問題
教師活動：用屏幕顯示
例4. 已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12
–26
那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點至少有（ ）個 A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
學生活動：通過對零點存在性的探究和理解，給出正確答案C。 教師活動：請一位同學回答并講解原因
學生活動：學生說出答案并且通過異號講解原因
教師活動：用屏幕顯示
例5：求函數(shù)62ln-+=xxy的零點個數(shù).
學生活動：通過看表思考問題 教師活動：請兩位同學回答這個問題
學生活動：學生回答由于f(2)<0,f(3)>0，異號，所以這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點
教師活動：非常好，哪有幾個零點呢？ 學生活動：一個或者多個
教師活動：通過零點存在性定理，咱們可以判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上有無零點，但具體有幾個不確定，這就是下一節(jié)咱們得接著學習的內(nèi)容，現(xiàn)在咱們通過幾何畫板來把這個函數(shù)的圖像畫出來大家來觀察有幾個零點？
教師活動：操作幾何畫板畫出62ln-+=xxy的圖像
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學生活動：通過幾何畫板的函數(shù)圖像得出零點個數(shù)
【環(huán)節(jié)七：課堂小結(jié)，布置作業(yè)】總結(jié)基礎(chǔ)知識，提升解題意識
教師活動：本節(jié)課的知識點已經(jīng)在黑板上呈現(xiàn)出來了，但最重要的，也是貫穿本節(jié)課始終，起到
靈魂作用的卻是三大數(shù)學思想，即化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,函數(shù)與方程的數(shù)學思想.數(shù)學思想才是數(shù)學的靈魂所在，也是數(shù)學的魅力所在，對我們解決問題起著絕對的指導作用。愿我們每個同學在今后的學習中體味、感悟、應用、升華！
八、板書設(shè)計
3.1.1方程的根與函數(shù)的零點
一、函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=f(x),使方程f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點．（零點不是點，是數(shù)，是圖像與X軸交點的橫坐標。）
二、方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系 方程 f(x)=0 有實數(shù)根x0
Û函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點為)0,(0
x。Û函數(shù)
y=f(x)有零點x0。
三、零點存在性定理
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根． 屏幕
教學目標：
1、掌握函數(shù)零點的概念；
2、了解函數(shù)零點與方程的根的聯(lián)系；
3、理解并會用零點存在性定理.
重點：函數(shù)零點的概念和函數(shù)零點與方程的根之間的聯(lián)系．
難點：探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點的存在性.
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九、教學反思
本設(shè)計遵循了由淺入深、循序漸進的原則，分三步來展開這部分的內(nèi)容。第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。第三步，在函數(shù)模型的應用過程中，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系。本節(jié)只是函數(shù)與方程的關(guān)系建立的第一步，教學中忌面面具到，延展太深。 恰當使用信息技術(shù)：本節(jié)的教學中應當充分使用信息技術(shù)。實際上，一些內(nèi)容因為涉及大數(shù)字運算、大量的數(shù)據(jù)處理、超越方程求解以及復雜的函數(shù)作圖，因此如果沒有信息技術(shù)的支持，教學是不容易展開的。因此，教學中會加強信息技術(shù)的使用力度，合理使用多媒體和計算器。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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