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視頻標簽：方程的根,函數的零點
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版必修一3.1.1方程的根與函數的零點-貴州省優課
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人教A版必修一3.1.1方程的根與函數的零點-貴州省優課
《方程的根與函數的零點》教學設計
教材分析：
本節內容為人教版必修一第三章《函數的應用》第一節《函數與方程》的第一課時。 函數作為高中的重點知識有著廣泛應用，與其它數學內容有著密切聯系。本節內容是在學生學習了基本初等函數及其相關性質，對數形結合的數學思想有了一定了解后來進行學習。本節內容也為之后的用二分法求方程的近似解，解一元二次不等式等知識的學習奠定了基礎。
學情分析：
學生對一元一次方程和一次函數、一元二次方程和二次函數比較熟悉，會求一元一次方程及一元二次方程的根，并且對數形結合的數學思想有了初步認識。故而本節內容學生較好理解。
教學目標：
知識與技能：理解并掌握方程的根與相應函數的零點之間的關系；理解零點存在條件；會求與函數的零點相關的簡單問題。
過程與方法：通過數形結合與從特殊到一般的思想方法，引導學生自主探究，發現知識。
情感、態度與價值觀:在知識的探究與形成過程中，培養學生的探究能力，提高學生學習數學的興趣。
重點難點 ：
重點：方程的根與函數的零點之間的聯系及簡單應用。 難點：零點存在性定理的理解。
教學方法：
本節課采用引導學生觀察、思考、發現、合作交流、共同探究達到對知識的理解與學習。
教學過程 ： 一、 引入課題：
下列方程是否有實根？
師生互動:方程(1)(2)學生自主完成.方程(3)遇到困難，合作交流用所學的知識也無法解決 設計意圖:方程(3)是否有實數根，有幾個實數根，激發學生的求知欲，引入本節課主題——方程的根與函數的零點。
二、新課講授：
方程的根與函數的零點之間的關系：
1. 思考1：一元一次方程與其相應的一次函數之間的關系如何？ 師生互動：學生回答，教師及時點評并且舉例說明。
設計意圖：由已學簡單知識入手，對方程的根等于函數圖象與X軸交點的橫坐標有初步了解。并引入零點的概念。
2.
（函數的零點是一個實數而不是一個點坐標。）
3. 思考2：填寫下表，觀察一元二次方程與其相應的二次函數之間有什么關系？
一元二次方程 0322xx 0122xx 0322xx
二次函數 322xxy 122xxy 322xxy
函數圖像
圖象與x軸交點 方程的根
0
62ln)3(06)2(072)1(2xxxxx的零點。
叫做函數實數的我們把使，函數零點：對于函數)(0)()(xfyxxfxfy
思考3：完成表格，并觀察一元二次方程)0(02acbxax的根與相應二函數
)0(2acbxaxy圖象與x軸交點的關系？
師生互動:讓學生自主完成表格，觀察并總結數學規律。
設計意圖:利用表格，有利于學生進行橫向、縱向觀察得出它們的關系。 4.等價關系：方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)有零點
函數y=f(x)的圖
象與x軸有交點
思考4：對于一般的函數及相應方程這種等價關系成立嗎？
師生互動:求方程的根可以看成讓函數的函數值為0解得的自變量X的值。函數值為0，說明函數圖象與X軸有交點。交點的橫坐標就是相應方程的根。 設計意圖:引導學生理解等價關系對于一般的函數都成立。
零點存在性定理： 1. 觀察下列函數圖象：
二次函數f(x)=x2－2x－3的圖象: 對數函數f(x)=lgx的圖象: 師生互動：根據圖象可知函數圖象與X軸有交點。如何通過函數值的關系說明函數圖象經過X軸呢？學生思考，教師點評。
設計意圖：在學生理解的基礎上歸納出零點存在性定理。 2. 零點存在性定理：
師生互動：零點存在的條件是什么，學生觀察探究。 設計意圖：引導學生理解函數零點存在性定理。 3. 函數零點存在性定理的理解：
思考4：滿足定理條件的函數的零點是唯一的嗎？ 試畫圖舉例說明。 思考5：滿足定理條件且在區間 是單調函數的函數零點是唯一的嗎？ 師生互動：學生思考并回答，教師進行適當點評。 設計意圖：理解零點存在定理以及零點存在唯一性定理。 練習：判斷正誤，若不正確，請使用函數圖象舉出反例
（1）已知函數y=f (x)在區間[a,b]上連續，且f (a) ·f(b) < 0，則f(x)在區間(a,b)內有且僅有一個零點.
（ ）
（2）已知函數y=f (x)在區間[a,b]上連續，且f (a) ·f(b) >0，則f(x)在區間(a,b)內沒有零點.
（ ）
的根。
方程也就是
這個使得即存在，內有零點在區間，函數那么并且有，一條曲線上的圖象是連續不斷的在區間如果函數0)(,0)(,),(),()(,0)()(b,a)(xfccfbacbaxfybfafxfyb,a
（3）已知函數y=f (x)在區間[a,b]上連續，且在區間(a,b)內存在零點，則有 f
(a) ·f(b) < 0 （ ）
（4）已知函數y=f (x)在區間[a,b] 滿足f (a) ·f(b) < 0，則f(x)在區間(a,b)內存在零點. （ ）
三、例題講解：
1.求函數f(x)=lnx+2x－6的零點個數
解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表和圖象
師生互動:讓學生直觀感知零點的存在性及 零點存在的大概區間，學生利用計算器列表 找出大概的區間，利用函數的單調性判斷零 點存在且唯一。
設計意圖: 本道例題讓學生體會用零點存在性定理判斷 零點存在，用單調性證明零點唯一。 2.練習：
(1)求函數 f(x)= -2x+6 的零點 (2)求函數 f(x)=2x
的零點
設計意圖：求函數零點的方法：代數法，幾何法
四、課堂練習：
師生互動:學生自主完成，遇到自己無法解決的問題，可以與同學合作交流，教師不斷給學生總結解題的方法，培養學生善于歸納反思能力。
x
1 2 3 4 5 6 7 8
f(x)
x
oy
)
4,3()3,2.()2,1.()1,0(.022.3_____
2.2),()4,3.()3,2.()2,1(.2
ln)(.12DCBAxaxxyaxyeDCBAx
xxfx）的根所在區間是（方程的零點為則函數，的零點是已知函數）（零點所在的大致區間是函數
設計意圖:通過練習讓學生學會如何使用零點存在性定理，體會函數與方程思想，同時教師對學生出現的問題及時解決，新知識的接受需要不斷深化和完善的過程。
五、課堂小結：
1.知識小結： 函數零點的概念
方程的根與函數零點的關系 函數零點存在性定理 2.思想方法小結：
數形結合思想、函數方程思想、從特殊到一般的數學思想
師生互動:讓學生自己對本課進行小結，教師對學生的小結給予肯定并補充完善。 設計意圖:共同反思，優化學生的認知結構，培養學生自覺獨立學習習慣，提升在學習中反思小結的能力。
六、作業布置：P92習題3.1A組1,2題
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