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視頻標簽：方程的根,函數(shù)的零點
所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻
視頻課題：人教A版必修一3.1.1方程的根與函數(shù)的零點-新
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人教A版必修一3.1.1方程的根與函數(shù)的零點-新疆
方程的根與函數(shù)的零點教學設計
課題 方程的根與函數(shù)的零點 課型 概念課
教學 目標 1）知識方法目標
能夠結合二次函數(shù)的圖象判斷一元二次函數(shù)跟的存在性及根的個數(shù)；理解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系； 2）能力目標
教學 重點 難點
1） 重點：
零點的定義及等價關系 2）難點：
函數(shù)零點存在的條件
教法與學法
引導與探究
教學過程
備注
1. 課題引入 （創(chuàng)設情景）
一、方程的根與函數(shù)圖象的關系 問題1：下列二次函數(shù)的圖象與x軸交點和相應方程的根有何關系？ (1) x2-2x-3=0與y=x2
-2x-3 (2) x2-2x+1=0與y=x2
-2x+1
(3) x2-2x+3=0與y=x2
-2x+3
引申:二次函數(shù)y=ax2
+bx+c (a≠0)的圖象與x軸交點和相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何關系? 判別式△ =b2－4ac △＞0 △=0 △＜0
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 兩個不相等的實數(shù)根x1 、x2
有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2
沒有實數(shù)根
函數(shù)y= ax2 +bx +c(a≠0)
圖象與x軸交點的橫坐標就是相應方程的根 x
y
x1 x2 0
x
y
0 x
x
y
的圖象
函數(shù)的圖象與 x 軸的交點
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
沒有交點
2.問題探究 1）難點突破
2）探究方式
3）探究步驟
4）高潮設計
能否把二次函數(shù)和一元二次方程的關系推廣到一般函數(shù)與方程的關系上？
推廣：函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點和相應的方程f(x)=0的根有何關系呢？
結論：函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標 就是方程f(x)=0的實數(shù)根。
二、零點的定義
對于函數(shù)y=f(x) ，把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點
思考：零點是不是點？
零點指的是一個實數(shù)，它就是方程f(x)=0的實數(shù)根。
思考：方程f(x)=0的根；函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；函數(shù)y=f(x)的零點三者有何關系呢？ 等價關系：
方程f(x)=0有實數(shù)根
函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點
函數(shù)y=f(x)有零點
練習1、利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有實數(shù)根， 有幾個實數(shù)根。
(1)-x2+3x+5=0 (2)x2
=4x-4
分析：
（2）方法1：利用函數(shù)f(x)=x2-4x+4的圖象
方法2：利用函數(shù)f(x)=x2和函數(shù)g(x)=4x-4的圖象，原方程的根就是函數(shù)f(x)=x2和函數(shù)g(x)=4x-4的圖象交點的橫坐標。
練習2、求函數(shù)y=x2
+4x-5的零點。
分析：即求方程x2+4x-5=0的實數(shù)根 或者函數(shù)y=x2+4x-5與x軸交點的橫坐標。
變式：求函數(shù)y=x3
+4x-1的零點的個數(shù)。 這個函數(shù)的零點不能用公式法求出，圖象也不是我們所熟悉的，那我們要如何入手？下面就介紹一個判斷零點存在性的方法。
三、零點的存在性定理
首先，先觀察下二次函數(shù)f(x)=x2
-2x-3圖象 1. 發(fā)現(xiàn)在區(qū)間(-2，1)上有零點 f(-2)= ，f(1) = ，
f(-2) f(1) 0(填“>”或“<”) 2. 發(fā)現(xiàn)在區(qū)間(2，4)上有零點 f(2)= ，f(4) = ，
f(2) f(4) 0(填“>”或“<”)
得出：f(a)f(b)<0，那么在(a,b)內有零點
問題2：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內一定有零點嗎？
（讓學生任意畫幾個函數(shù)圖象，觀察圖象）
發(fā)現(xiàn)如果函數(shù)圖象不連續(xù)，就不成立 從而得出：
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內有零點。
即存在c∈(a,b)，使得f(c) =0，這個c也就是方程f(x)=0的根。
至此，判斷零點的方法有如下幾種： (1)定義法：解方程 f(x)=0，得出函數(shù)的零點。 (2)圖象法：畫出y= f(x)的圖象，其圖象與x軸交點的橫坐標。
(3)定理法：函數(shù)零點存在性定理。
練習3、f(x)=x3
+x-1在下列哪個區(qū)間上有零點( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
練習4、若函數(shù)y=x2
-2x-3在區(qū)間[a,b]上的圖象是
連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=x2
-2x-3在(a,b)內有
零點，則f(a)·f(b)的值( )
A、大于0 B、小于0 C、無法判斷 D、等于0 結論：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線： f(a)·f(b)<0 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點； 四、例題分析
例1 求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點個數(shù)。
解法一：定理的運用，尋找函數(shù)值符號變化的規(guī)律，確定零點存在的區(qū)間
解法二：定義的運用，求方程的根。 令f(x)=0，則有l(wèi)n26xx，
若再令lngxx，26hxx，則上述
等式就可以轉化為求這兩個函數(shù)的交點的橫坐標。
注意：反之不成立
將研究方程
f(x)=0的根的問
題轉化為研究函數(shù)y=g(x)和函數(shù)
y=h(x)圖象交點
的問題
視頻來源：優(yōu)質課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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