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視頻標簽：方程的根,函數的零點
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版必修一3.1.1方程的根與函數的零點-河北省優課
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人教A版必修一3.1.1方程的根與函數的零點-河北省優課
第三章 函數的應用 3.1 函數與方程 3.1.1 方程的根與函數的零點
一． 教學內容分析
本節內容是高中數學人教版必修一，第三章函數的應用，第一節函數與方程第一課時方
程的根與函數的零點；課本選取探究具體的一元二次方程的根與其對應的二次函數的圖象與x軸的交點的橫坐標之間的關系作為本節內容的入口，其意圖是讓學生從熟悉的環境中發現新知識，使新知識與原有知識形成聯系.本節設計特點是由特殊到一般的化歸轉化思想，由易到難，這符合學生的認知規律；本節體現的數學思想是：“數形結合”思想和“轉化”思想.本節充分體現了函數圖象和性質的應用.因此，把握課本要從三個方面入手：新舊知識的聯系，學生認知規律，數學思想方法. 二、教學目標
1、了解函數零點的概念：能夠結合具體方程（如二次方程），說明方程的根、函數的零點、函數圖象與x軸的交點三者的關系；
2、理解函數零點存在性定理：了解圖象連續不斷的意義及作用；知道定理只是函數存在零點的一個充分條件；了解函數零點可能不止一個；
3、能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數，及所在區間；
4、經歷“類比—歸納—應用”的過程，感悟由具體到抽象的研究方法，培養歸納概括能力．體會從特殊到一般的轉化的數學思想。 三、學情分析
通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數的模型，具備一定的看圖識圖能力，這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎．其次，學生對于方程已經有了一定的認知基礎，對方程的根并不陌生，這樣就使得方程與函數聯系的過度學生容易掌握，但學生對于數形結合的數學思想仍不能勝任，故本節課關鍵在于通過圖像去突破重難點，學生會表現出不適。而本節的零點存在定理只為零點的存在提供充分非必要條件，所以定理的逆命題、否命題都不成立，在函數連續性、簡單邏輯用語未學習的情況下，學生對定理的理解常常不夠深入．這就要求教師引導學生體驗各種成立與不成立的情況，從不同的角度審視定理的條件與適用范圍
四、教學策略選擇與設計
本節課在概念的形成和深化、定理的概括和應用方面，都給予自主探究、辨析實踐、動手畫圖及交流討論的機會，只有充分激活了學生的思維，這節課的各環節才能順利推進，內容才會豐富充實，方法才會異彩紛呈．所以這節課總的設計理念是以學生為主概念與定理的建立是一個感知、探究的過程，不僅關注知識的掌握，也關注學生的學習過程，把體驗、嘗試、發現的機會交給學生，緊扣教材，注重思維、注重過程 五、教學重點難點
教學重點：了解函數零點概念，掌握函數零點存在性定理 教學難點：對零點存在性定理的準確理解 六、教學過程 （一）導入新課:
2
求解下列方程
0322xx 0122xx 0322xx
設計意圖：通過具體的一元二次方程求解回憶舊知為新知鋪墊。 （二）新知探究：
（1）回憶舊知鋪墊新課
問題1：二次函數與其所對應方程之間有什么關系？
判別式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 兩個不相等的實數根x1、x2 有兩個相等的
實數根x1 = x2
沒有實數根
函數y=ax2+bx+c (a>0)的圖象
函數的圖象與x軸的交點 兩個交點： (x1,0)，(x2,0) 一個交點：
(x1,0)
無交點
設計意圖：引導學生對初中所學的二次方程進行回憶，同時也想要說明方程的根除了韋達定理和求根公式和函數的圖像存在關系，為后面的零點進行鋪墊通過回顧二次函數圖象與x軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備。 （2）辨析討論，深化概念．
問題2：由二次函數與其所對應方程之間存在的關系你能否類比得到函數和方程之間的關系嗎？
設計意圖：培養學生識圖和歸納總結的能力 練習1:函數f(x)=x(x2－16)的零點為 （ D ）
A.(0，0)(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4
設計意圖: 及時矯正“零點是交點”這一誤解．說明：函數零點不是一個點，而是具體的自變量的取值．
練習2：求下列函數的零點： 2
2(1)()34
(2)()lg(44)fxxxfxxx
x
xf3)(3
）（ 11
)(4xxf）（
設計意圖: 使學生熟悉零點的求法（即求相應方程的實數根）．同時為零點存在定理做鋪墊。 (3)實例探究，歸納定理
問題4：對于如圖所示的函數圖象什么時候會存在零點呢？
設計意圖：通過將零點存在定理分割讓學生理解零點為什么要定義在區間上同時也讓學生了解圖象在區間上也必須連續，也為尋
找特殊二次函數在區間有零點提供依據，同時為零點存在定理的形成進行鋪墊。
O x
y
x1 x2
O
y
x
x1 O
x y
y x
3
問題4：在怎樣的條件下，函數y＝f(x)在區間[a，b]上一定有零點？ 探究：（1）觀察二次函數f(x)＝x2－2x－3的圖象： 在區間[-2，1]上有零點______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在區間(2，4)上有零點______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．
（2）觀察函數的圖象：
①在區間(a，b)上___(有/無)零點；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．
②在區間(b，c)上___(有/無)零點；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
③在區間(c，d)上___(有/無)零點；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． 設計意圖：通過歸納總結得出特殊到一般數學思想得到零點存在性定理．從而強調零點存在的條件為后面概念的辨析做好鋪墊。
給出零點存在性定理內容，強調關鍵點：第一，圖象聯系；第二，端點異號；第三，零點一定存在，但個數不確定。
小組討論1：零點存在性定理少一個條件行不行： 學生討論后，代表到黑板作圖舉出范例。
小組討論2：如果函數單調，端點異號有幾個零點？端點同號有幾個零點？ 學生討論后，代表作答。
問題5：滿足上述兩個條件，能否確定零點個數呢？
設計意圖：對存在零點的條件進行辨析，通過學生自己探究培養歸納的能力。同時滲透數學中的數形結合的數學思想與此同時教師可以起到主導作用 （三）正反例證，熟悉定理．定理辨析與靈活運用
判斷下列結論是否正確，若不正確，請使用函數圖象舉出反例：
（1）已知函數y=f(x)在區間[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a，b)內有且僅有一個零點
（2）已知函數y=f(x)在區間[a，b]上連續，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區間(a，b)內沒有零點
（3）已知函數y=f(x)在區間[a，b]滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a，b)內存在零點． 設計意圖：讓學生歸納并強調定理不能確零點的個數；定理中的“連續不斷”是必不可少的條件；不滿足定理條件時依然可能有零點通過對定理中條件的改變，將幾種容易產生的誤解正面給出，在第一時間加以糾正，從而促進對定理本身的準確理解也對零點存在定理只是具有零點的充分不必要條件，反面和缺少條件定理都不成立。
例1：求函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點的個數，并確定零點所在的區間[n，n+1](n∈Z) 設計意圖：通過例題分析，能根據零點存在性定理，使用多種方法確定零點所在的區間，并且結合函數性質，判斷零點個數 例2：請判斷下列函數的零點個數
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20.51
1()1(2)()log,22(3)(2013)()21
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