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視頻標簽：組合
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-3第一章1.2排列與組合1.2.2組合_重慶市優課
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高中數學人教A版選修2-3第一章1.2 排列與組合1.2.2 組合_重慶市優課
教學目標
1、 知識與技能目標：
（1）掌握組合的概念，理解排列和組合的區別和聯系；
（2）掌握組合數公式；
（3）能應用組合數公式解決簡單的計數應用問題。
2、 過程與方法目標：
（1）通過組合的學習過程，體會數學中類比的學習方法；
（2）在經歷了組合數公式推導過程，掌握由特殊到一般的歸納推理學習方法。
3、情感、態度和價值觀：
（1）通過學習，能夠深刻的感受到數學來源于生活并服務于生活；
(2)通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識。
2學情分析
從學生現有的知識技能看，在經歷了兩個計數原理以及排列的學習，學生對“完成一件事情”、分步、分類等基本思想方法有比較深刻的認識。大部分學生已經能正確運用兩個計數原理，熟練地解決排列問題，還能遵循先特殊后一般、、先分類后分步的原則，解決典型的排列問題。
從學生的認知方式和學習習慣看，排列與組合的區別，從定義上來說是簡單地，但在具體糾結過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關系。這與平時憑經驗、靠感覺的做事習慣、思考習慣有密切的關系。對于公式的學習習慣，公式的的應用，學生能較快入手，但對于公式的來由和推導，卻知其然不知其所以然。要解決這一問題，需要師生一起，在分析問題的過程中，舍棄背景，化歸數學模型，借助適當的工具，模擬完成事情的過程，緊扣數學概念，提升邏輯思維能力。
因此，本課的主要任務是依托學生已有的知識和方法，類比歸納出組合的概念、推導出組合數公式，并能應用組合數公式解決基本的組合問題。
3重點難點
教學重點：組合的概念及組合數公式
教學難點：組合數公式的推導發現
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】創設情境
最近剛讀完一本書，書名叫《越努力，越幸運》，我終于給我一直以來的幸運找到了緣由：我一直都在努力呀！今天，我給我的幸運畫條延長線，通過游戲，把幸運傳遞給大家。游戲的名字叫“計數幸運星”。游戲規則：游戲以小組為單位，共分為兩輪。每一輪由組長執筆,代表本組從1，2，3，4四個數字中選出三個記錄在小黑板上。每一輪記錄結束時由老師宣布幸運號碼，符合幸運號碼規則的小組將是本輪游戲的計數幸運星.
從中獎的規則上，讓學生發現兩次幸運號碼的區別，并能查找根本原因——順序。再舍棄背景，提煉出數學模型。
問題1：從4個不同的元素里選出3個元素，按照一定的順序排列，有多少種不同的方法？
問題2：從4個不同的元素里選出3個元素，有多少種不同的方法？
此時指出：幸運號碼：421是一個排列，不分順序的4，2，1是一個組合，問題1就是學習過的排列問題，問題2就是要學習的組合問題。
活動2【講授】探究新知
一、組合的概念
類比排列，你能告訴我什么是組合嗎？
組合：從n 個不同元素中取出m 個元素合成一組，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合。
問題：排列、組合有什么區別和聯系？
什么是相同的排列？
什么是相同的組合？
小組交流：舉出身邊生活中的組合的例子。
例1、天星橋中學食堂中午有7葷8素共15樣菜品供同學們選擇，辨析下列排列組合問題：
（1）依次擺放菜品，有多少種不同的擺放方法？
（2）甲、乙分別選擇一種不同的葷菜，有多少種不同的方法？
（3）從7樣葷菜中選2樣，有多少種不同的方法？
（4）選出3樣不同的菜配成套餐，共能配成多少種不同的套餐？
在上述問題的判斷之后，請學生表示出（1）、（2）的排列數。
問題：例1中的（3）題有多少種不同的選法？
這個結果“21”就是我們所求的從7個不同的元素中取出m個元素的組合的個數，稱作組合數。
二、組合數的概念：
組合數：從n 個不同元素中取出 m個元素的所有不同組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的組合數，用符號Cmn 表示(combination)
問題："組合”與組合數有什么區別？舉例說明。
問題：如果不寫出所有的組合，該怎樣求組合數呢？
合作探究：前面已經提到，組合與排列有相互聯系，我們能否利用這種關系，通過排列數 來求組合數 呢？并小組合作找尋排列數和組合數之間的聯系。
讓學生寫出上述問題的所有的組合：
123，124，234，134
讓學生寫出上述問題的所有的排列：
123，132，321，312，231，213
124，142，214，241，421，412
234，432，243，423，324，342
134，143，314，341，214，241
思考：①請說出你是按照什么規律寫出排列的？這些排列與組合的關系是什么？
②請用學過的乘法原理進行解釋
③你能否猜出 的關系呢？
啟發引導學生借助組合與排列概念間的聯系，猜測組合數與排列數的關系；通過對問題1和問題2的分析、解決，按照由簡單到復雜，由具體到抽象，由特殊到一般的認識過程，歸納得出組合數公式。
三、組合數公式
Cmn=AmnAmm =n(n−1)(n−2)....(n−m+1)m!
Cmn=n!m!(n−m)! (m,n∈N+,且m≤n)
規定：0!=1
利用組合數公式表示并計算例1的（3）（4）兩小題。
請小組組長命題，其他同學完成計算并相互驗證，然后個別展示。（建議m、n在10以內）
個別學生能夠發現 Cmn=Cn−mn ，老師提出猜想，從選m留n-m對應關系解釋原理。
活動3【活動】合作探究
1、觀察組合數公式有結構特點，熟悉并記憶公式。推廣分享自己的記憶方法.
2、學生自主命題：計算組合數并個別展示。個別學生在計數中發現組合數的性質
活動4【活動】課堂小結
1、學到了什么？求組合數有那些方法？
2、本節課學到了什么數學思想方法？
3、大家還有什么疑問？
最后以一首小詩結束本節課的學習：
排列組合兩兄弟，
有無順序辨清晰；
先選后排有條理，
幸運計數就是你。
活動5【練習】課堂作業
(一)、書面作業:
1、計算：（1）C315 （2）C25·C35
（3）C36C48 （4）C28+C38+C29
2、從3,5,7,11這四個質數中任取兩個相乘，可以得到多少個不同的積？
3、 圓上有9個點
（1）以其中每兩個點為端點的直線有多少條?
（2）以其中每兩個點為端點的有向線段有多少條?
（3）過其中每三個點作圓的內接三角形,一共可以作多少個圓的內接三角形?
（二）、預習作業：組合數的兩個性質
活動6【活動】教學反思
“教然后而知困。”本節課已經上完了，但對“組合”這節課的思考我一直停不下來，回顧自己在教學設計過程和上課中的點點滴滴，我做了一些反思：
（1）對教材有些創造性的使用。
本節課的教學目標設置要求理解排列組合的區別和聯系。在對教材中的引入問題設計上，我切合實際地做了一些改進，設計成“計數幸運星”游戲環節，即使問題本身因為背景而站穩腳跟，又使學生的參與熱情空前高漲，并能從“幸運”的角度去體會“順序”的存在，從而達到對排列組合概念的深刻理解和體會。
在例題的編排方面，我拋開了排列問題中常見的站隊、涂色、安排活動等基本模型，從學生喜聞樂見的食堂打飯問題中提出數學為題，提升了學生興趣，并能使學生切身感受數學來源于生活，生活中蘊含著數學，從生活中提煉數學模型。
（2）切合生活實際地教學設計讓學生參與熱情高漲、課堂精彩紛呈。
在“計數幸運星”的游戲中，一開始大部分學生確實純屬賭運氣，因為沒有方向和目標，當第二輪我公布了幸運號碼的時候，學生突然似乎能明白了我的一點點意圖，也開始思考為什么第一輪很難，而第二輪比較容易，思考其中的數學問題，并發揮集體的智慧，小組合作抽象出其中的數學模型。
在對組合數公式的應用中，由學生自主命題的環節讓我發現群眾力量的強大。除了可以多練題之外，學生在組合數呈現較多的時候能夠發現其中的規律，包括組合數的性質。
（3）仍有一些遺憾讓我思考再教設計。
課堂上給出的組合模型有限，應該再通過直接或者間接的方式給出更多常見的組合模型，包括與幾何有關的組合問題。另外，對個別學習小組的學生活動的關注還不夠到位。
思然后知不足，知不足而后進。以這節課為新的起點，我會朝更高的方向努力！
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
