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視頻標簽：解決實際問題,相遇問題
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：小學數學蘇教版四年級下冊8解決實際問題-相遇問題-江蘇省 - 常州
教學設計、課堂實錄及教案：小學數學蘇教版四年級下冊8相遇問題-江蘇省 - 常州
相遇問題》課堂教學實錄
朝陽新村第二小學 陸洳芬 2017.4.27
一、教學內容： 四下P68、69 例7 二、教學目標：
1. 使學生初步理解相遇問題的結構特點以及數量關系，會用兩種方法解答，并能應用乘法分配律解釋兩種解法之間的聯系。
2. 經歷用列表或畫圖的方法整理信息、分析數量關系的過程，發展幾何直觀，培養分析和解決問題的能力，增強應用意識。 三、制定依據
1.教材分析
修訂后的教材把“相遇問題”安排在“運算律”單元，有老師認為解決問題的策略不再是教學的重點，教學時只要學生會解題，能理解解題方法就可以了，無需引導學生從策略的高度去審視解決問題的方法。這樣的認識似乎有些偏頗。個人認為，策略是體現在解決問題過程中的，教學中唯有把學生獲得的解題經驗和方法上升到策略的層次，學生解決問題的能力才可能得到發展和提高。本節課中運算律的應用是明線，重在溝通不同解法間的聯系；解決問題的策略是暗線，重在感悟解決問題的常用策略。這一明一暗兩條線都很重要。教學時，既要關注學生對數量關系、解題方法的理解和掌握，又要關注學生對解題策略的感悟。
相遇問題的情形很多，本單元只出現求“路程和”的問題，其它情況在后續的教材都有安排。本冊教材里的相遇問題的變式也很多，如相背而行、環形、甚至拓展到工程問題等„„但是情節與題材的改變沒有改變相遇問題的本質特點和基本解法，要讓學生主動適應，主動掌握并靈活運用。
2.學生分析
相遇問題是研究兩個物體運行路程的實際問題。在此之前，學生已經掌握了“路程=速度×時間”等常見數量關系，以及求兩積之和（差）實際問題的數量關系，初步學會分析數量關系的常用策略，了解解決問題的一般步驟，能用畫圖、列表等方法整理條件和問題。雖然學生已經積累了比較豐富的分析數量關系的經驗，但由于相遇問題是經過形式化處理的數學模型，問題的結構比較抽象，且涉及出發地點、運行時間、方向等諸多因素，學生理解起來有一定困難。因此借助可視化手段，使抽象的數量關系變得具體、形象，無疑是本節課教學的關鍵。 四、教學過程：
（一）回顧復習，喚醒激活。
師：同學們，運動員進行比賽之前要“熱身”，我們在投入學習之前也來做個“思維體操”，怎么樣？請看要求。（出示2道復習題）
生1：18×3=54（元） 數量關系是單價×數量=總價
師：思維漸漸打開了。
生2：60×3=180（千米） 數量關系是速度×時間=路程 師：分析得頭頭是道。
師：這兩個是我們學過的常見數量關系，誰能說說“單價×數量=總價”可以解決什么類型的實際問題？“速度×時間=路程”呢？
生1：購物的問題 生2：走路的問題
師：那我們今天就繼續來“解決新的實際問題”（揭示板書）。
【評析】：常見的數量關系是解決實際問題的基本數學模型，也是“相遇問題”的知識原型。在這里喚醒學生的記憶，明確“速度、時間、路程”可以解決的實際問題的基本類型，有效地激活學生舊知，為解決新的實際問題作好鋪墊準備。
（二）借助直觀，解決問題。 1.整理信息、策略優化。
（1）出示例題，整理信息。
師：小明和小芳上學時就遇上了新問題。請一位同學來讀題，其他同學想想題中有哪些重要信息？ 師：是不是覺得信息挺多的？那遇上這樣復雜的信息怎么辦呢？ 生1：可以畫圖。 生2：可以列表
師：畫圖和列表其實都是在幫助我們„„整理信息。（板書）
那接下來就請你選擇自己喜歡的方式來整理信息，完成的1號作業紙上。 （2）資源交流，理清題意。
第一層次：正確與錯誤資源的對比。（呈現資源1、2）
師：信息都整理得差不多了嗎？那好我們來看這兩位同學的，他們是怎么整理的？ 生：畫圖
師：你認為哪位同學的線段圖更能反映題目中“兩人同時從家走向學校，最后在學校門口相遇”的行走情況的？
生：我認為是第一種，因為兩個人要在校門口相遇。
師：你真是很厲害，一下子就抓住了“相遇”這個關鍵信息。
那么既然要相遇，小明和小芳該怎么走呢？ 我們來演示一下。（學生用手勢進行行走情況的演示） 師：是啊，要這樣面對面的走。要是在線段圖上表上 “ ”這樣的運動方向就更好了。 師：那另一位同學的線段圖，你們知道問題在哪了嗎？ 生：她沒有表示出“相遇”。
第二層次：繁瑣與簡潔資源的對比。（呈現資源1、3、4）
師：再來看這幾位同學的，他們都表示出了“相遇”的情況，有什么不一樣？
生1：這位同學是用文字來表達的。
生2：上面的同學是一小段一小段來表示的。
師：你們觀察得很仔細。這位同學是用4小段來表示行走了4分鐘，那么你們更喜歡哪一個？ 生：第一種。因為這樣比較簡潔。 第三層次：可以與合適資源的對比。（呈現資列表的和畫圖的）
師：除了畫圖可以整理信息。老師還看到有同學是用列表的方式來整理信息的，揮手給老師看看。 （學生揮手示意）
師：當然，列表也是可以的。
師：就今天這道題的行走情況來說，你們認為列表和畫圖哪個整理方式更適合？ 生1：我認為的畫圖。因為可以很清楚的表示出這道題目的意思。 生2：我也認為是畫圖，這樣表示一段一段更清晰。 第四層次：策略優化，小結提升。
師：說得真好。看來線段圖更合適。不僅可以表示出速度、時間等信息，還能表示出兩人是怎么走的。 師：我們一起來看。（PPT動畫把題意清晰的再次演示一遍）
師：像小明、小芳這樣的行走情況，數學上稱為“同時 相向而行 相遇”（板書） 【評析】：建構主義認為：學生的建構不是老師傳授的結果，而是通過親歷，通過與學習環境的交互作用來實現。每個學生都是以自己的方式建構對數學的理解。在整個信息整理環節，學生自主參與，在經過各自的思維加工處理之后，引導進行三次對比辨析來實現信息的梳理、策略的選擇以及優化的教學目的。通過“正確與錯誤的對比”讓學生理解“相遇”的含義，明白“同向而行”等專業術語所表述的意思，了解“相遇問題”的基本特征；通過“繁瑣與簡潔的對比”讓學生明確用畫圖策略整理信息的方法，幫助學生發展幾何直觀的能力；最后通過“可以與更合適的對比”讓學生判斷出列表、畫圖策略整理信息就此類問題哪個更合適，從而達到策略優化的目標。學生也在這樣一次次對比辨析中將有缺陷的經驗逐步修正，淺層次的理解得到不斷提升，使得生成的畫圖方法很自然的被納入學生經驗認知系統，從而保證在后續的解題中能被靈活調用。
2.列式解答、掌握數量關系。 （1）獨立思考解答
師：信息整理得很清楚了吧，那接下來我們可以„„ 生：列式解答。
師：是啊，不過在列式解答之前別忘了先要分析一下數量關系哦。（板書：分析數量關系 列式解答） 師：完成在1號作業紙上。
（2）交流解題思路，理清數量關系。 70×4+60×4 （70+60）×4 （呈現學生兩種不同的解法） 第一層次：交流第一種解法。
師：老師發現有的同學是這樣做的，
還有的同學是這樣做的。
師：都能看得懂嗎？我們分別請同學來說說他們是怎么想的？先來看第一種。
生： 70×4求的是小明走的路程，60×4求的是小芳走的路程，然后再把他們加起來就是他們家相距
的路程。
（PPT配合學生的發言結合線段圖進行演示）
師：思路分析得很清晰呢！那這種方法用的數量關系是什么？ 生1：速度×時間=路程
生2：用速度×時間=路程分別求出兩人各自的路程，然后再加起來。 師：說得真好，也就是把小明的路程+小芳的路程=一共的路程（板書） 第二層次：交流第二種解法。 師：那么第二種方法呢?
生：70+60求的是小明和小芳一分鐘走的，她們一共走了4分鐘，所以再×4。 師：其他同學有什么疑問嗎？
師：小明走了4分鐘，小芳也走4分鐘，求一共的路程不是應該×8嗎？為什么是×4？ 生1：題目是說了她們是共同走了4分鐘啊。 生2：„„ 生3：„„
（都說得不清楚）
師：既然你們都說同時，那我們來看。小明一分鐘70米，小芳一分鐘60米，同時走他們一分鐘一共
走了„„（PPT動畫演示一分鐘小明和小芳走的速度和）
生：130米
師：那結合線段圖想想，這里一共有幾個130？ 生：4個
師：那也就是要ׄ„ 生：×4
師：明白了嗎？原來×4的奧秘在這里呢。那這種方法的數量關系有誰知道？ 生：速度×時間=路程
師：這道題的速度，跟剛才的速度一樣嗎？ 生：這里要兩個人的速度
師：你真是會思考，這里要兩個人的速度，數學上稱為“速度和”。那這個數量關系應該是„„？ 生：速度和×時間=路程 3.對比溝通、建立聯系。 （1）兩種解法的勾聯。
師：觀察、比較這兩種方法，用了兩種不同的數量關系，它們之間又有什么聯系呢？ 生1：都是求的總的路程。 生2：得數都是一樣的520,。 生3：„„（出不來）
師：它們算式之間有沒有什么聯系呢？ 生4：它們用了乘法分配律。
師：我們一起來看看有沒有這個聯系。原來真的是之前我們學過的乘法分配律呢，你很有洞察力。 （2）前后數量關系的勾聯。
師：以前我們求路程用的是“速度×時間=路程”，今天這題同樣也是求路程，怎么就要“速度和×時間=總路程”了呢？同桌可以討論一下。 生：因為有兩個人走
師：看來你是真理解了，立刻就發現了這里面的關鍵所在。
原來是一個人走一段路，今天我們是兩個人共同走完了一段路。所以要用速度和×時間=總路程來
求。我覺得此處可以有掌聲。 【評析】：解決問題的過程其實就是梳理數量關系，幫助學生建立“相遇問題”基本數學模型的過程。在整個解決問題環節，借助信息技術的直觀優勢，理解數量間的關系。同時緊扣“速度、時間、路程”這一基本數量關系進行“勾聯”。當（70+60）×4的數量關系學生說是“速度×時間=路程”時，追問“這里的速度跟原來的速度一樣嗎？”問題直指核心，通過這樣有針對性的辨析比較打破了原有數量關系的局限，幫助學生明確兩個速度的區別，學生也就自然而然的理解了“速度和”這一專有名詞的含義；在最后兩種方法對比的過程中，再一次進行勾聯“同樣都是求路程，為什么今天要用速度和×時間？”讓學生在不斷自省中明確“相遇問題”的本質“兩個人共同走完了一段路，求的是路程和”，通過這樣的勾聯讓學生明白兩種數量關系之間的異同，架構起知識之間的橋梁，并建立了清晰的解決“相向而行”問題的數量關系，很有生長感。
（三）嘗試練習，建立模型。 1.獨立解答。
師：在我們的實際生活中，兩人除了可以同時相向而行之外，還可能怎么走？ 生1：反向而行 生2：沿一個方向走
生3：相向而行走了相遇之后又分開的走 „„
師：是啊，確實都有可能。你們的生活經驗挺豐富的。
師：那我們來看這一題，請一位同學讀題，其他同學思考，他們是怎么走的？ （學生讀題）
師：這回兩人是怎么走的？ 生：反向而行 師：說得真好！像他們這樣從同一地點同時向不同的方向行走的情況，我們稱為“同時 反向而行”（板書）（邊說邊配以手勢演示）
師：那信息解決這個問題嗎？（有）很有氣勢啊！
那就請你們像剛才那樣，先畫圖整理信息，再分析數量關系，列式解答在2號作業紙上。 2.交流方法。
師：都好了嗎？展現你們智慧的時候到了，請這位同學來分享一下她畫得線段圖。 （學生根據題意把線段圖的意思表述清晰） 師：整理得怎么樣？ 生：很好。
師：我也有同感，非常棒。
師：再來看看你們的解法，都同意嗎？能說一說各是用了那個數量關系嗎？ 生1：小華的路程+趙麗的路程=一共的路程 生2：速度和×時間=總路程 3.溝通聯系，建立數學模型。
師：奇怪！與例題相比，一個是相向而行，一個是反向而行，運動的方向都不一樣，你們怎么用的數
量關系是一樣的啊？ 生：都是求的一共的路程。 （PPT配合動態演示）
師：真心佩服你們，一下子就抓住了問題的關鍵。確實，無論是相向而行還是反向而行，求一共的路程都可以用這樣的數量關系來解決。 （四）變式遷移，理解模型。 1.拋出問題，激發興趣。
師：如果我把沿直線反向而行變成沿環形跑道反向而行，求跑道有多長呢？ 如果我把兩人相向而行在校門口相遇改成兩個工程隊，共同修一條公路呢？這樣的兩道題你們還會做嗎？在3號作業紙上試一試。
（PPT配合老師提問進行動態變化） （學生獨立解答）
師：做完的同學可以4人小組討論交流一下自己的想法。 2.交流解法，理清數量關系，溝通聯系。
師：好了，那我們就來一起探討一下吧。環形跑道的問題，你們的方法是„„？ 生1：（4+6）×40 生2：4×40+6×40 師：怎么想的？
生1：第一種是拿速度和×時間=總路程
生2：第二種方法是拿小李的路程+小張的路程=總路程
師：咦，聽力你們的介紹，我怎么覺得數量關系還是跟之前一樣的呢？什么原因？ 生1：還是求的總路程。
生2：拉直的話還是跟剛才的題目是一樣的。
師：看來都是反向而行求總路程就都可以用這樣的思路來解決問題。跟直的還是彎曲的沒有關系。說
得很棒，給你們點個大大的贊！ 師：修路問題，你們的方法是„„？ 生1： （15+12）×8
生2： 15×8+12×8 師：這又是怎么想的呢？
生1：速度和×時間=一共的路程
生2：甲隊修的路程+乙隊修的路程=一共路程
師：啊？還是一樣的嗎？都已經不是行程的問題而是工作的問題了，怎么你們用的方法還是一樣的？ 生1：還是求的一共修了多少路程。
師：看來兩隊共同修一段路和兩人同時相向而行走完一段路是一樣的，都是求他們的總量。 你們分析得十分精彩，已經抓住了這類問題的主要特點了。很會思考很會學習。
下課后可以編一道用同樣思路解答的問題考考你的同學們。 【評析】：“思辨”是最重要的數學活動，它是數學活動的核心與動力。今天整個“嘗試練習”和“變式遷移”的環節，在學生的活動經驗積累到一定程度后，老師不斷地引導學生進行了多次有深度的思辨活動來幫助學生掌握分析這類問題數量關系的關鍵，弄清不同問題之間的聯系與區別，建立結構化、模塊化的認知結構。主要有三次對比：“一個是相向而行，一個是反向而行，運動的方向都不一樣，為什么數量關系是一樣的？”、“反向而行，一個沿直線行走，一個沿環形行走，為什么方法還是一樣的？”、“明明已經不是行走問題，而變成了工作問題，為什么數量關系還是一樣的？”等等„„學生在這樣一次次的對比、反思中感受著相遇問題中的“變”與“不變”，最后內化為自身對此類問題的理解和運用。
（五）全課總結、拓展延伸。 1．全課總結。
師：通過今天的學習，你們有什么收獲？ （學生自由談體會） 2．拓展延伸。
師：剛才有同學說還可以這樣走（手勢表示），那這樣的行走情況又會有什么新的問題？又該用怎樣的數量關系解決呢？帶著這樣的思考，課后也像今天這樣一起去探索研究一下。 【評析】：眾所周知，解決問題不能單單是把題目做完就可以，而是應該讓學生掌握解決問題的思維路徑和過程方法，以此幫助學生建立“類意識”，學會學習。新課結束之際，讓學生回顧收獲，提煉方法，然后用此方法結構進行拓展延伸，將學習延續至課外，為下節課的研究打開“一扇窗”。
【思考與困惑】：
相遇問題是一個經典的行程問題，而行程問題一直是教學的難點，變化多端，數量關系復雜，從這個意義上來說研究此類問題還是有著典型價值的。
對于相遇問題的教學有兩種不同的價值取向。一種是強調相遇問題的獨特性（獨特的情境、獨特的數量關系），教學中也就強調其特有的模型。正如以往應用題教學那樣分成很小的類別，然后分門別類的教一個小模型，比如：歸一、歸總、相遇問題、工程問題等等„„，學生只要背一下數量關系套用即可。另一種思路正好相反，試圖打破消解掉相遇問題的獨立性，把相遇問題當成某類有著共同數量關系結構的問題的一個特例來處理，在教學中立足于分析問題、解決問題的一般思路。基于以上的研究，我們也在思考在當前教學革新階段這節課教學的價值追求是什么？
《數學課程標準（實驗稿）》并沒有對基本數量關系作明確的要求，但《數學課程標準》（2011 版）明確提出要讓學生在具體的情境中了解常見的數量關系。這也可以看做是對一定程度模式化的認可。簡單地說，我們總要在解決問題的過程中積累經驗，而這種經驗往往就是以“碰到這類問題就會分析和解決”為形式而存在的。事實上，我們讓學生了解基本數量關系，就是一種模式化。
仔細分析，不難發現，基于相遇問題的建模可以有三個層次：（1）我們可以把相遇問題當成一種獨立的模式的問題。（2）可以當成是速度、時間和路程的基本數量關系的應用 （即不把相遇問題當成專門的模式，而看成是另一基本模式的應用）。（3）甚至可以進一步把速度、時間和路程之間的數量關系看成是更基本的乘法的意義的應用（此時“速度、時間、路程”之間的關系和“單價、數量、總價”的關系是一樣的，而相遇問題也和購買相同數量的兩種商品算總價的問題是一樣的了）。這些想法在邏輯上都是行得通的，那么我們在具體的教學實踐中又應該把相遇問題模式化到什么程度？
這次活動我們就在這兩個方面開展了探索，盡管由于研究設計本身的局限性和這個問題本身的難度，我們自己也還沒有得到太多有說服力的結論，但我們提出的問題和針對問題所進行的探索還是有一定價值的。或許不久之后，我們還可以在現有研究的基礎上，通過進一步完善研究方法，進行更加深入的研究。也非常期望得到專家的指導！
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
