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視頻標簽：探究四點,共圓的條件
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動活動2探究四點共圓的條件-遼寧
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初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動活動2探究四點共圓的條件-遼寧省 - 大連
數學活動——探究四點共圓的條件
一 內容和內容解析
1.內容：探究四點共圓的條件
2.內容解析：四點共圓的條件是在學生學習了經過一個點的圓、經過不在同一直線上的三個點的圓、三角形與圓的關系、圓內接四邊形后，對經過任意三點都不在同一直線上的四點共圓的條件的探究。
在四點共圓的條件的探究過程中，首先學生在已學的圓相關知識基礎上，對四點共圓的條件進行合理猜想：圓內接四邊形對角互補，相應的，對角互補的四邊形的四個頂點共圓；再利用計算機工具，對特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、等腰梯形）、一組對角同時等于九十度的四邊形、任意對角互補的四邊形以及任意四邊形等，在幾何畫板上進行測量檢驗，用實驗的方法驗證猜想的正確性；然后對正方形、矩形、一組對角同時等于九十度的四邊形、任意對角互補的四邊形四個頂點共圓進行理論推理驗證，最終得出結論。學生全程感受并經歷了發現并提出問題——猜想——實驗驗證——理論推理驗證——得出結論的活動過程，在“做”的過程和“思考”的過程中，積累數學活動的經驗；在驗證的過程中體現了特殊到一般的思想，同時，在研究中，類比將四邊形轉化成三角形來研究，從三點共圓入手探究四點共圓的條件，體現了轉化的思想。
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：四點共圓的條件的探究。
二 目標和目標分析
1. 目標
（1） 理解過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件。
（2） 通過四點共圓的條件的探究和猜想的證明，體會由特殊到一般、轉化的數學思想，
積累數學活動的經驗。
2. 目標解析
達成目標（1）的標志是：知道對角互補的四邊形的四個頂點共圓的結論，會應用反證法證明這一結論，能應用對角互補的四邊形四個頂點共圓判斷給定的四邊形的四個頂點是否可以做一個圓。
達成目標（2）的標志是：通過猜想，實驗驗證、理論推理驗證得出結論，體會數學活動的完整過程，在過程中積累經驗；通過幾何畫板畫圖，測量，比較，分析平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一組對角等于九十度的四邊形、一般的對角互補的四邊形的四個頂點能否共圓，得到：對角互補的四邊形四個頂點共圓的更一般的結論。體會由特殊到一般的研究規律；將證明四點共圓的問題轉化為不共線的三點可以確定的圓，與第四個頂點之間的關系，并應用圓內接四邊形對角互補的性質獲得證明；在解決問題的過程中，積極思考、勇于質疑，體會發現問題、解決問題、有效的呈現活動結果等過程是數學活動的基本過程。
三 教學問題診斷分析
學生從一開始發現問題，到后來的猜想，都是在已有知識的基礎上，從已學定理：圓內接四邊形對角互補出發，研究它的逆命題：對角互補的四邊形四個頂點共圓。在探究過程中鼓勵學生在已學知識基礎上進行合理大膽的猜想。
在驗證的過程中，學生可能會聯想到任意一個三角形的三個頂點作一個圓的影響，去判斷第四個頂點時候在這個圓上，解決這一問題的關鍵是引導學生從特殊的四邊形出發，從特殊到一般的探究問題，通過畫圖、測量、比較，分析各種四邊形的頂點是否共圓。
另外，在進行理論驗證的過程中，要用到反證法，學生可能不知如何下手，而且猜想的證明對學生來說是難點。關鍵是從過任意一個三角形的頂點能作一個圓入手，把四點共圓問
題轉化成點與圓的關系，再由圓內接四邊形對角互補得到證明方法。
基于以上分析，本節課的教學難點是：對角互補的四邊形四個頂點共圓的理論證明。
四 教學過程設計
1、 自主活動，發現問題 引言：
師：經過了這一章圓相關知識的學習后，大家以小組為單位，利用課余時間對章末的幾個數學活動進行了探究。現在請個別小組與大家進行簡單的交流分享。
生：第一小組交流第一個數學活動《車輪做成圓形的數學道理》以及活動3《設計圖案》課后探究成果與心得，同時提出問題：在第二個數學活動《探究四點共圓的條件》時遇到困難，感覺無從下手。
師：其他小組有哪些要分享的？
生：第二小組分享與《探究四點共圓的條件》相聯系的相關知識點。其中主要包括：（1）圓的定義；（2）點與圓的位置關系；（3）經過一個點、兩個點以及不在同一直線上的三個點，分別可以做幾個圓
設計意圖：本節屬于數學活動課，主要需要學生主體經歷數學活動的完整過程。所以，首先讓學生利用課余時間自主探究較為簡單的活動1《車輪做成圓形的數學道理》以及活動3《設計圖案》，然后在探究的過程中發現問題，帶著問題接著進行探究活動，這是問題化教學的開端；同時，也幫助學生整理課上所需的相關知識點，以順利完成課堂探究內容。 2、對比已知命題，獲得初步猜想 師：還有其他發現嗎？ 生：回憶曾經學過的定理：圓內接四邊形對角互補。猜想：對角互補的四邊形四個頂點共圓。 設計意圖：學生在相關知識的基礎上，對探究結論進行合理大膽猜想，是數學探究過程中不可缺少的部分，有了合理的猜想，接下來的探究才有明確的方向。 3、利用信息技術手段，實驗驗證猜想 師：同學的猜想與我們今天要研究的內容是命題與逆命題的關系，這也是數學中常用的研究方法。從命題入手，研究它的逆命題是否成立！大家在數學活動的探究過程中發現了問題并提出，然后在已有知識基礎上進行了大膽合理的猜想。那么接下來我們需要對猜想進行驗證。請思考，如何驗證：四邊形的四點頂點是否共圓？ 生：將研究四點共圓的問題轉化為先研究不在同一直線上的三個點確定一個圓，再驗證第四個點是否在同一個圓上。
師 ：又如何驗證第四個點D是否在已知圓上？
生：利用點與圓的位置關系。點在圓上，點到圓心的距離等于半徑。 師：老師按照同學們的方法，利用幾何畫板，進行測量驗證。 師：這個四邊形
是不是所有對角互補的四邊形一定共圓，而對角不互補的四邊形四個頂點不共圓？需要我們一起來驗證。我們從特殊圖形入手，先回憶一下學過的四邊形都有哪些？ 生：正方形、菱形、平行四邊形、梯形。。。。 師：補充。
師：在屏幕上給出部分特殊四邊形，同學們以小組為單位，按照屏幕上的任務分配分組進行驗證。并把結果展示在白板上。 生：分組進行驗證。
師：觀察驗證過的可以共圓的四邊形，他們有哪些共同特征
生：從邊，角等不同方面總結。確定：對角互補的四邊形四個頂點共圓。 設計意圖：將研究四點共圓的問題轉化為先研究不在同一直線上的三個點確定一個圓，再驗
證第四個點是否在同一個圓上，這是轉化的數學思想的應用；在四邊形的驗證過程中，滲透了由特殊到一般的探究規律；學生利用現代化信息手段對猜想進行驗證，既保證了實驗結果的準確性，也提高了學生的探究興趣，增強小組合作意識，豐富了數學活動探究的感受。 4、理論證明猜想，獲得最終結論
師：大家通過實驗，驗證了猜想是正確的。但這不足以說明問題。我們還必須對猜想進行理論推理驗證。
請看學案卷。我們還是從特殊圖形入手， 例1
（一）已知：正方形ABCD，
求證：過正方形ABCD的四個頂點A,B,C,D可以做一個圓.
生：獨立動筆完成。
一名同學到前面，利用幾何畫板現場做輔助線講解。 例2
（二）已知：矩形ABCD，
求證：過矩形ABCD的四個頂點A,B,C,D可以做一個圓.
生：獨立完成。 一名同學講解。例題3
（三）已知：四邊形ABCD中，
（1）若已知∠A=∠C=90°. 求證：過四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D可以做一個圓. （2）若∠A+∠C=180°. 求證：過四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D可以做一個圓.
生：獨立解決，小組討論
第一問：一名同學板書；兩名同學分別用不同的方法給同學講解。 第二問：小組討論后，詢問解決情況。
師：既然原有的方法解決不了，如果假設這個點不在圓上，那會出現什么結論？ 生：點在圓外和點在圓內
師：這種從假設出發，分析問題的方法在數學中叫反證法。反證法怎么用呢？我們一起通過視頻回憶一下反證法的相關知識。
請看微視頻。（微視頻播放反證法定義、用法、以及注意事項）
根據反證法的注意事項，這道題原結論的反面有幾種情況？ 那么我們需要將這兩種情況一一駁倒！ 生：動筆解決
兩名同學現場利用幾何畫板做輔助線，講解不同兩種情況的解決方法，點撥關鍵點；大屏幕展示準確的書寫步驟
師：經過推理驗證，最終我們可以推導出對角互補的四邊形四個頂點共圓。
設計意圖：有了前面幾何畫板實驗驗證的過程做鋪墊，這幾道圖形的證明對學生來說有有了證明的方向。前兩道題，基本可以輕松完成；第三題的第一問學生可以嘗試多種方法驗證；三題第二問是本課難點，需要引導學生使用反證法。題型由易到難，讓學生在解決時感受到有臺階可以攀登；微視頻以詼諧幽默的口吻重溫反證法的相關內容，同時強調注意事項，加深印象，讓學生對不熟悉的內容產生親切感。
5、學以致用，利用結論實踐應用 用我們的活動成果來解決幾個小問題 1.如圖，∠DCE是四邊形ABCD的一個外角，如果∠DCE=∠A，那么同時過點A，B，C,D_________作一個圓.
2.如圖，經過四邊形ABCD的四個頂點可以做一個圓，若∠A=120°，則∠C的度數為______.
3.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，則∠ABD的度數為___________.
生：獨立解決。小組合作
1.2題學生直接回答，點撥問題關鍵點即可 3題一名同學到前面利用幾何畫板現場講解
設計意圖：以上幾道小題，主要考察學生對：1.能否由四邊形的對角互補判定四邊形四個頂點共圓；2.對圓內接四邊形對角互補的掌握情況；3.利用對角互補的四邊形四個頂點共圓將四邊形問題轉化為圓的問題，借助于圓的相關知識解決問題。
6、歸納反思，總結提升
通過今天的學習，你有哪些收獲？ 生：
師：我們一起通過一段視頻來回憶一下今天的內容。 播放微視頻，師生共同觀看
設計意圖：學生從自我總結中體會在知識、技能、方法等方面的收獲；再通過視頻總結對本節內容進行梳理，提升學生對數學思想、數學方法的認識與運用，增強學生的數學能力和對數學的積極情感。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
