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視頻標簽：探究四點,共圓的條件
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動活動2探究四點共圓的條件-河北省優課
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初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動活動2探究四點共圓的條件-河北省優課
活動2 探究四點共圓的條件
學習目標：
1．理解過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件.
2．通過四點共圓的條件的探究和猜想的證明，體會由特殊到一般、轉化的數學思想，積累數學活動的經驗．
學習重點：
四點共圓的條件的探究．
教學過程：
1.創設情境，發現問題
引言 在前面的學習中，我們學習了經過一點A可以作無數個圓；經過兩點A，B可以作無數個圓，圓心在線段AB的垂直平分線上；經過不在同一直線上的三個點A,B,C可以確定一個圓，也就是說過任意一個三角形的三個頂點都能作一個圓。
圖1
A
c1
圖2
B
A
圖3
o
B
C
A
問題1 過任意三點都不在同一直線上的四個點能做一個圓嗎？也就是說過任意一個四邊形的四個頂點能做一個圓嗎？
師生活動：教師提出問題，學生思考，回答問題。
設計意圖：從經過一點的圓、經過兩點的圓、經過不在同一直線的三個點的圓、三角形與圓的關系入手，又經過三角形三個頂點可以做一個圓想到經過四邊形的四個頂點是否可以作一個圓，從學生已有的只是經驗出發，獲得探究問題的方向。同時也滲透將探究四點共圓問題轉化成三點共圓的問題，為后繼猜想的證明做適當的只是準備。
2.合作探究 獲得猜想
師生活動：學生分成小組，共同探究教師提出的問題（過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎），學生代表展示小組討論的過程與結果。教師重點關注學生自主探究的步驟和方法。
教師針對學生的不同方法、不同的表達形式給予指導，并引導學生從特殊的圖形出發，尋找它們共性的條件。學生會出現下面幾種常見情況。
（1） 四（三）條邊的垂直平分線交于一點的四邊形;
（2） 分析一些特殊的四邊形，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等 （3） 過對角互補的四邊形的四個頂點能做一個圓
對于第（1）種情況，師生共同歸納：由圓的定義可以得出此命題成立。
對于第（2）種情況，教師引導學生動手畫圖，思考、交流。過舉行、等腰梯形和正方形的四個頂點可以做一個圓，過平行四邊形和菱形對的四個頂點不能做一個圓。教師展示學生的畫圖。
對于第（3）種情況，教師引導學生從圓內接四邊形對角互補出發進行思考，并進一步完成接下來的問題。
圖4
DB
C
A
圖5
D
A
C
B
圖6
B
A
C
D
圖7
B
C
A
D
問題2 四邊形的哪些元素決定了過它的四個頂點可以作一個圓？能再找一個四邊形驗證嗎？
師生活動：對于決定過四個頂點可以作一個圓的要素，學生可能回答對角互補或對角線相等，.教師進一步引導學生分析矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個組成的四個頂點組成的四邊形的共同特征（圖3），發現對角線的不一定相等，但對角互補：從而獲得猜想：這對角互補的四邊形的四個頂點能制一個圓。
圖8
D
B
A
C
圖9
D
B
A
C
設計意圖：讓學生學會利用特征去對問題進行研究，從特殊到特殊，最后到一般情形，一步一步的先研究的目標靠近，在學生動手畫四邊形的四個頂點能共園，有的卻不行，引導學生從四邊形的邊和角等方面去猜測、探究。有利于學生在“做”數學的過程中思考、積淀，從而積累數學活動的經驗。
3.證明猜想，獲得結論
問題3 如何證明“過對角互補的四邊形的四個頂點能做一個圓”？
師生活動：教師展示問題，師生共同寫出已知、求證。 已知：在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。 求證：過點A，B，C，D 可做一個圓。
學生分組討論證明思路，學生思考并嘗試回答.學生可能聯想到過三點作圓的問題，因此需要找到一點O，滿足OA=OB=OC=OD。
教師追問1：如何找到這個點？
師生活動：教師引導學生思考將四邊形的問題可以轉化成三角形來研究，四點共圓的問題可以考慮能否轉化成三點共圓的問題。不在同一條直線上的三點是共圓的，我們可以作出過三點的圓，第四點不能確定是否共圓，但其中的三點是可以保證共圓的，再考慮余下的點是否在過三點的圓上。
教師追問2：假設過三點的圓已經作出（過三點A，B,C做出圓O），如何證明第四點（點D）在這個圓上？
師生活動：學生嘗試證明點D與圓心O的距離等于半徑。但這種方法目前存在困難。
教師追問3：假設點D不在過三點A，B,，C的圓上，會出現哪些情況？你能對它們進行證明嗎？
師生活動：師生共同分析點D在圓外的情況，利用元內接四邊形對角互補進行證明。 證明：如圖4：假如過A,B,C,D十點不能做一個圓。過A,B,C三點作圓，若點D在圓外，設AD與元相交于點E，連接CE，則∠B+∠AEC=180°。而知己∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D。而∠AEC是△CED的外角，∠AEC>∠D。出現矛盾，故假設不成立。因此點D在過A,B,C三點的圓上。
圖10
E
D
A
B
C
圖11
D
A
B
C
E
教師追問4：如圖5，對于點D在圓內情況，你能自己完成證明嗎？
設計意圖：在學生動手活動中，通過交流，讓學生明確一個問題的解決方案;在推測之后要進驗證，通過證明，讓學生感受數學的嚴謹性，感受到數學結論的確定性和證明的必要性，培養學生的推理能力。
4.歸納反思，總結提升
教師和學生一起回顧本節課所學的主要內容，并回答以下問題； （1） 本節課你學到了什么知識?學到的知識能解決什么問題？
（2） 回顧本節課的學習過程，你是怎么得到上述知識的？你還有什么收獲？
設計意圖：通過小結使學生總結本節課所學到的知識、技能、研究方法，并關注不同層次的學生對所學內容的理解和掌握，提升學生對數學思想、數學方法的認識和運用，增強學生的數學能力和對數學的積極情感。
五、目標檢測設計
1.如圖，∠DCE是四邊形ABCD的一個外角，如果∠DCE=∠A, 那么同時過點A，B，C，D______(填“能”或“不能”)作一個圓。
設計意圖：考察學生能否由四邊形的對角互補判定該四邊形的四個頂點共圓。
E
A
第1題
B
D
C
第2題
B
C
A
D
2.如圖，經過四邊形ABCD的四個頂點可以作一個圓，若∠A=120°，則∠C的度數為
______。
設計意圖：考察學生對圓內接四邊形對角互補的掌握情況。
3.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，則∠ABD的度數為______。
設計意圖：考察學生對對角互補的四邊形四個頂點共圓的應用。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
