視頻簡(jiǎn)介：
視頻標(biāo)簽：切線的判定和性質(zhì)
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版九年級(jí)上冊(cè)24.2《切線的判定和性質(zhì)》天津市新華中學(xué)
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人教版九年級(jí)上冊(cè)24.2《切線的判定和性質(zhì)》天津市新華中學(xué)
24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）
（又名：切線的判定與性質(zhì)）
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
切線的判定定理與性質(zhì)定理。
2. 內(nèi)容解析
在學(xué)習(xí)了直線與圓的三種位置關(guān)系之后，我們將重點(diǎn)研究直線和圓相切的情況。這節(jié)內(nèi)容是切線的圖形特征和數(shù)量特征的進(jìn)一步延續(xù)，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“圖形與幾何”的重要組成部分。判斷直線和圓相切的方法有三種：第一種是根據(jù)圓和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷（和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線）；第二種是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小判斷（和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線）；第三種就是根據(jù)切線的判定定理判斷，即經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。此時(shí)，應(yīng)注意定理中的兩個(gè)條件“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩者缺一不可。其實(shí)，切線的判定定理是從第二種方法直接得來的，只不過是為了便于應(yīng)用，才改寫成這樣的形式。
切線的性質(zhì)定理是判定定理的逆定理。對(duì)于切線的性質(zhì)定理，可以從“二個(gè)點(diǎn)”和“一個(gè)垂直關(guān)系”這三者之間的關(guān)系去發(fā)現(xiàn)。二個(gè)點(diǎn)——圓心（點(diǎn)）和切點(diǎn)，一個(gè)垂直——過切點(diǎn)的半徑與切線互相垂直。如果一條直線滿足這三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它必定滿足第三個(gè)條件。于是便可以得到性質(zhì)（1）切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；（2）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；（3）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：切線的判定定理與性質(zhì)定理。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1. 目標(biāo)
（1）探索切線與過切點(diǎn)的半徑的關(guān)系，會(huì)用三角尺過圓上一點(diǎn)畫圓的切線。
（2）理解并掌握切線的判定定理與性質(zhì)定理，會(huì)利用判定定理與性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單問題。
2.目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能自主完成過圓上一點(diǎn)畫出這個(gè)圓的切線，進(jìn)而理解“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”。反過來，也能認(rèn)識(shí)到“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”。
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能夠分清判定定理和性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論，并能解決簡(jiǎn)單問題，明確運(yùn)用定理時(shí)常用的添加輔助線的方法。
三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生在學(xué)習(xí)完直線和圓的位置關(guān)系后，能夠說出如果d=ró直線和圓相切，但是如果直接得出切線的判定定理對(duì)多數(shù)學(xué)生而言是個(gè)挑戰(zhàn)，困難在于如何用簡(jiǎn)練而準(zhǔn)確的語言敘述判定定理，此時(shí)可以先從教材中的“思考”入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生自己說出定理內(nèi)容，教師適時(shí)給予補(bǔ)充和糾正，還可以讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，感受定理中兩個(gè)條件缺一不可。另外，判定定理和性質(zhì)定理中的題設(shè)和結(jié)論較為隱蔽，教師也要適時(shí)做以引導(dǎo)。
在利用判定定理和性質(zhì)定理解題時(shí)，常常需要添加輔助線，學(xué)生也常常對(duì)此感到困惑。因此，教師可以舉出實(shí)例，幫助學(xué)生總結(jié)證明一條直線是圓的切線有兩種輔助線的作法：（1）有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；（2）無公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證半徑。在運(yùn)用性質(zhì)定理解題時(shí)，可以連半徑，得垂直。
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：引導(dǎo)學(xué)生得出切線的判定定理，掌握添加輔助線的方法。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1. 復(fù)習(xí)直線和圓的三種位置關(guān)系
問題1: 圖1、圖2、圖3中的直線l和⊙O是什么關(guān)系？如何判斷這三種位置關(guān)系？
師生活動(dòng)：學(xué)生回顧上節(jié)課所學(xué)，教師提問：
-
圖1、圖2、圖3中的直線l和⊙O是什么關(guān)系？（相離、相切、相交）
-
如何判斷這三種位置關(guān)系？（可以從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和圓心到直線的距離d和半徑r的關(guān)系兩個(gè)方面去判斷。）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)舊知，為接下來學(xué)習(xí)切線的判定定理和性質(zhì)定理做準(zhǔn)備。
2. 探索切線的判定定理
問題2: 根據(jù)之前學(xué)過的知識(shí)，如何畫出圓的一條切線？
師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，可能無從下手，教師要進(jìn)行引導(dǎo)，可以添加一條半徑，降低難度。（學(xué)生回答：如果添加一條半徑，可以畫一條直線與這條半徑垂直。）
教師追問：如果只滿足“垂直于半徑”這一個(gè)條件可以嗎？（學(xué)生回答：還要過半徑外端。）
教師追問：如果只有“過半徑外端”呢？（學(xué)生回答：還要垂直于半徑。）
師生活動(dòng)：如果只滿足“垂直于半徑”這個(gè)條件，演示圖1中的動(dòng)畫。如果只滿足“過半徑外端”，演示圖2中的動(dòng)畫。在這個(gè)過程中，可能有些同學(xué)畫的直線經(jīng)過半徑的外端但不一定與半徑垂直，或者雖然垂直半徑但不一定經(jīng)過半徑的外端。這些問題教師都需及時(shí)關(guān)注并給予指導(dǎo)糾正。
圖1 圖2
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過動(dòng)手畫圖，感受直線變成切線，兩個(gè)條件缺一不可。
問題3: 由前面學(xué)習(xí)的兩個(gè)條件，你能不能總結(jié)出切線的判定定理？
師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)兩個(gè)條件，即“經(jīng)過半徑的外端”且“垂直于半徑”總結(jié)出切線的判定定理，即經(jīng)過半徑的外端并且垂直半徑的直線是圓的切線。
教師追問：判定定理中的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？（學(xué)生回答：題設(shè)是一條直線經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑，結(jié)論是這條直線是圓的切線。）
教師追問：分清了題設(shè)和結(jié)論，能不能把判定定理用幾何語言表示出來？（學(xué)生回答：∵ OA是半徑，OA⊥
l于A
∴
l是⊙O的切線）
設(shè)計(jì)意圖：通過一系列的問題串，使學(xué)生自主說出切線的判定定理。分清定理的題設(shè)和結(jié)論，寫出定理的幾何表示也是應(yīng)用定理解決問題的關(guān)鍵。
問題4: 判斷直線與圓相切，你有多少種方法？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，三種方法。分別是（1）與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線.（2）與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
教師補(bǔ)充，需要和學(xué)生說明的是，判定定理是為了便于應(yīng)用直線和圓相切的定義而改寫的一種形式。
設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系新知與舊知，總結(jié)概括出判斷直線與圓相切的三種方法，為解決實(shí)際問題提供思路。
3. 運(yùn)用判定定理解決實(shí)際問題
例1:如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB.求證：AT是
⊙O的切線.
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)從求證出發(fā)，要想證明直線是圓的切線需要滿足兩個(gè)條件，題目已知過半徑外端，只需證明AT與半徑垂直即可。
設(shè)計(jì)意圖：通過例1，鞏固判定定理中的兩個(gè)重要條件。
例2:如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線。
變式: 如圖,OA=OB＝5，AB=8, ⊙O的直徑為6. 求證:直線AB是⊙O的切線.
師生活動(dòng)：通過教師引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立完成例2和變式，體會(huì)兩種證法的不同之處。幫助學(xué)生總結(jié)不同題目條件下所添加輔助線的不同方法。即“有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直”，“無公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證半徑”。
設(shè)計(jì)意圖：教師給出兩個(gè)相似的圖形，對(duì)比得出不同條件下添加輔助線的不同方法。再次強(qiáng)化判定定理中的兩個(gè)必要條件，缺一不可。
3. 探索切線的性質(zhì)定理
問題5: 能不能寫出判定定理的逆命題？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，如果一條直線是圓的切線，那么這條直線垂直于半徑。
教師追問：垂直于任何一條半徑嗎？（學(xué)生回答：垂直于過切點(diǎn)的半徑。）
教師幫助總結(jié)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。
教師追問：如何證明這個(gè)結(jié)論？
教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要證明的情況只是垂直一種，如果不能從已知出發(fā)得到結(jié)論，可以考慮用反證法。如果學(xué)生不能順利說出證明過程，教師可以進(jìn)行引導(dǎo)：假設(shè)OA與直線
l不垂直，過點(diǎn)O作OM⊥
l，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，又OM<OA，這說明圓心O到直線
l的距離小于半徑OA，于是直線
l就與圓相交，而這與直線
l是⊙O的切線矛盾。因此，OA與直線
l垂直。從而得到切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。
教師追問：定理的題設(shè)和結(jié)論是什么？（學(xué)生回答：題設(shè)是一條直線是圓的切線，結(jié)論是這條直線垂直于過切點(diǎn)的半徑）
設(shè)計(jì)意圖：利用反證法引導(dǎo)學(xué)生得出切線的性質(zhì)定理，并體會(huì)反證法的作用，但對(duì)于這個(gè)證明只需讓學(xué)生知道即可，部分學(xué)有余力的同學(xué)可以要求口頭表述。
4. 運(yùn)用定理解決實(shí)際問題
例3: 如圖，AB是⊙O的直徑，直線
l1，
l2是⊙O的切線，A、B是
切點(diǎn)，
l1，
l2有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論。
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，題目條件中有
l1，
l2是⊙O的切線，直接通過性質(zhì)定理得出
l1⊥AB，
l2⊥AB。
教師追問：如何得出
l1，
l2的位置關(guān)系？（學(xué)生回答：
l1//
l2。）
教師追問：你的根據(jù)是什么？（學(xué)生回答：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。）
設(shè)計(jì)意圖：通過例3，鞏固切線的性質(zhì)定理。
例4：已知：△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D. 求證： AC 是⊙O 的切線．
師生活動(dòng)：教師提問：
-
證明切線有幾種方法？最易于操作的是哪種？（切線的判定定理）
-
用切線的判定定理需要滿足幾個(gè)條件？（兩個(gè)）這兩個(gè)條件已知中有嗎？（沒有）
題目中既沒有半徑又沒有垂直，就需要由O點(diǎn)作AC的垂線段OE，證明OE是⊙O的半徑，這樣兩個(gè)條件均滿足，即可證明AC是⊙O的切線。
-
充分挖掘已知條件，尤其是已知中的AB與⊙O相切，你能得到什么結(jié)論？（連接OD，OD是半徑且OD⊥AB）
要想證明OE是半徑，只需證明OE=OD即可。老師點(diǎn)撥后，學(xué)生先分組討論，然后獨(dú)立完成解題過程，在解題時(shí)遇到的困難教師給予指導(dǎo)。最后通過展臺(tái)，由一位學(xué)生展示解題過程。學(xué)生講解后，教師進(jìn)行升華總結(jié)，得到兩條經(jīng)驗(yàn)：如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，需要過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑。這樣的添輔助線的方法叫做“作垂直，證半徑”。如果已知直線是圓的切線，只要連接半徑，得出直線垂直于半徑即可，即“連半徑，得垂直”。
設(shè)計(jì)意圖：這道題結(jié)合了切線的性質(zhì)定理和判定定理，是一道比較綜合的題目。并且通過運(yùn)用性質(zhì)定理解決問題，得到“連半徑，得垂直”的輔助線添加方法。
5. 小結(jié)
教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：
-
切線的判定定理和性質(zhì)定理是什么？它們有怎樣的聯(lián)系？
-
在應(yīng)用性質(zhì)定理解題時(shí)，需要反饋什么結(jié)論？在應(yīng)用判定定理解題時(shí)，需要如何添加輔助線？
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心——切線的判定定理和性質(zhì)定理，明確兩定理的題設(shè)和結(jié)論，并應(yīng)用定理解決簡(jiǎn)單問題。
6. 布置作業(yè)
教材102頁10、12題。
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1.如圖，AB是⊙O直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于D，∠C=20
。，求∠CDA的度數(shù)
設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)切線性質(zhì)定理的掌握。
2. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分線交BC于D,以D為圓心,DB長(zhǎng)為半徑作⊙D.試說明:AC是⊙D的切線.
設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)切線判定定理的掌握。
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