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視頻標簽：圓與圓,位置關系
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修二4.2.2圓與圓的位置關系-部級優課
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修二4.2.2 圓與圓的位置關系-部級優課
圓與圓的位置關系
兵團二中何小靈
一、教學內容分析
本節課研究圓與圓的位置關系，重點是研究兩圓位置關系的判斷方法，并應用這些方法解決有關的實際問題。教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關系的初步分析的基礎上結合前面學習的點與圓、直線與圓的位置關系，得到圓與圓的位置關系的判斷方法。用坐標法解決幾何問題是解析幾何的精髓，是平面幾何問題的深化，它將是以后處理圓錐曲線的常用方法。因此，增加了用代數方法來分析位置關系，這樣有利于培養學生數形結合、經歷幾何問題代數化等解析幾何思想方法及辯證思維能力，其基本思維方法和解決問題的方法對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義。
因此，本節課的教學重點是：用坐標法判斷圓與圓的位置關系。
二、教學目標
1、理解并掌握圓與圓的位置關系及其判定方法；
2、學生能夠通過用坐標法法分析圓與圓的位置關系，提高分析問題、解決問題的能力，進一步體會數形結合的思想。
三、學生學情分析
學生在初中已經對圓與圓的位置關系有了初步的認識，同時本節課從內容結構與思維方法上與直線與圓的位置關系相似，從而本節課從學生學習的角度來看不會存在太多的障礙，這對本節課的學習是有利的。但是由于圓與圓的位置關系比直線與圓的位置關系較為復雜，不易掌握，這對于他們的學習是不利的。
因此，本節課的教學難點是：用坐標法判斷兩圓的位置關系。
四、教學策略分析
為了使學生成為一個優秀的“問題解決者”，在本節課中我采用了如下的教學方法：
1、 引導發現：引導學生用坐標法來判斷兩個圓的位置關系。
2、 探索討論：讓學生合作探索出兩圓相交時公共弦所在的直線的方程與兩個圓的方程的關系。 3、 讓學生說：通過讓學生說“為什么在初中已經學習了圓與圓的位置關系，現在還要學習圓與圓的位置關系？”以及“你對圓與圓的位置關系有新的認識嗎？”來讓學生感受用坐標法解決幾何問題的思想。
五、教學過程分析
（一）、創設情境、引入課題
問題1：平面中點與圓的位置關系有幾種？如何判斷？
問題2：平面中直線與圓的位置關系有幾種？如何判斷？
問題3：我們在初中已經學習了圓與圓的位置關系，你還記得平面中兩個圓的位置關系有幾種嗎？還記得是怎么判斷的嗎？
教師：好，那咱們今天一起再來探討一下圓與圓的位置關系。
設計意圖：結合初中學習過的圓與圓的位置關系以及點與圓、直線與圓的位置關系來初步認識圓與圓的位置關系。心理學家奧蘇泊爾說：影響學習的唯一最重要的因素就是學習者已經知道了什么，以此問題來喚醒學生腦海深處的記憶。 （二）研究合作、解決問題
問題4：那你能類比直線與圓的位置關系的判斷方法，說一說圓與圓的位置關系的判斷方法嗎？
外離 外切 相交 內切 內含
rrd rrd rrdrr|| ||rrd ||rrd
無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
設計意圖：結合直線與圓的位置關系的判定，通過解兩個圓的方程組成的方程組來體會判斷圓與圓位置關系這一數形結合思想，以激發學生的學習欲望。
下面請大家來判斷一下這兩個圓的位置關系：
例1、設圓yxyxC:，圓yxyxC:，試判斷圓1C和圓2C的位置關系。
教師：同桌兩人交流一下你們判斷的結果一致嗎？并相互比較一下你們判斷兩個圓的位置關系時所采用的方法有何不同？
方法1：圓1C和圓2C的方程聯立，得到方程組
.......................................
....................................
..yxyxyxyx -得：yx...................................................................... 由得
x
y，將該式帶入，整理得：xx………………….. 該方程的判別式)()(
因此，方程有兩個不同的實數根xx,，把xx,分別帶入方程，得到yy,，
因此圓C和圓C有兩個不同的公共點),(),,(yxByxA。 方法2：把圓1C的方程化為標準形式，得)()(yx 圓1C的圓心是點),(，半徑為r
把圓2C的方程化為標準形式，得)()(yx 圓2C的圓心是點),(，半徑為r
圓1C和圓2C的連心線的長為)()(
圓1C和圓2C的兩半徑之和rr，兩半徑之差rr 而，所以圓1C和圓2C相交。
設計意圖：領會判斷圓與圓的位置關系的方法。
教師：既然兩個圓相交，即它們有兩個不同的公共點，那你們能求出經過這兩個公共點的直線的方程嗎？
問題5：你們所得到的方程和方程有什么關系？你能解釋一下為什么經過兩個公共點的直線的方程恰好就是方程嗎？
問題6：這個是偶然現象還是可以推廣到任意兩圓相交時，經過兩個公共點的直線都可以這樣得到？為什么？
問題7：如果兩個圓沒有公共點或者只有一個公共點，那么兩圓方程相減還能得到一條直線的方程嗎？
教師：如果兩圓相減得到一條直線的方程，我們把這條直線叫做兩個圓的根軸，那這條直線一定有一些和這兩個圓有關系的屬性。大家如果有興趣，可以在課下研究一下這個問題。
設計意圖：讓學生主動探究兩圓相交時如何求出經過它們公共點的直線的方程，經過一系列的問題，學生明白兩圓相減所得到的方程所表示的直線恰好就是經過兩圓公共點的直線的方程，學生體會到自己獲得知識的樂趣。
（三）、設疑辨析，鞏固經驗
練習1：判斷下列兩圓的位置關系，如果兩圓相交，請求出公共弦長。 （1）)()(:yxC圓與)()(:yxC圓 （2）yxyxC:圓與yxyxC:圓
的方程。
求圓兩點，且交于與圓若圓的方程；
外切，求圓和圓若圓的圓心為圓的方程為：：已知圓練習OABBAOOOOOOyxO,||,)()()
,(,)(
設計意圖：進一步鞏固判斷圓與圓位置關系的方法的掌握。 （四）總結知識，優化結構
課堂總結：我們在初中已經學習了圓與圓的位置關系，為什么我們還要再次學習這個內容呢？說說通過本節課的學習，你對這個內容的新的認識。
設計意圖：通過讓學生思考為什么還要再次學習這個內容來讓學生感受用坐標法解決幾何問題的思想。 六、教學反思
本節課是建立在初中已經對圓與圓的位置關系有個粗略了解的基礎上，對這個位置關系的了解進一步深化，而且前一節課學習過直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系的研究和直線與圓的位置關系的研究方法是類似的，所以可以用類比的思想來引導學生自主地探究圓與圓的位置關系。作為解析幾何的一堂課，判斷圓與圓的位置關系，體現的正是解析幾何的思想：用代數方法處理幾何問題，用幾何方法處理代數問題。所以，在教材處理上，對判斷圓與圓位置關系用了代數和幾何兩種方法，兩種方法貫穿始終，使學生對解析幾何的本質有所了解。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
