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視頻標簽：向量概念,推廣與應用
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修2-1“向量概念的推廣與應用”甘肅省 - 白銀
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“向量概念的推廣與應用”教學設計
一、教學內容解析
向量是現代數學中最基本、最重要的概念之一，具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”。作為一種數學工具，向量具有豐富的實際背景和廣泛的應用功能，是聯系多種學科內容知識的重要媒介。“向量與向量之間的各種線性關系是理解和掌握線性方程組、線性變換和線性空間的關鍵，也是進一步求解線性模型的基礎理論”[2]
對高中階段學生認知來講，“向量是一種重要的數學工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應用，而且在物理學、工程科學等方面也有著廣泛的應用。向量是近代數學的基本概念之一，他的初步知識及其應用，早已列入近代數學的基礎部分。”
[1]
n維向量的基本概念是連接高中幾何向量和大學高等代數n維向量的橋梁，對于幫助學生對所學知識做出合理類比推廣，體會所學知識在數學宏觀框架中的作用和位置，具有重要意義。
據此，本節課教學內容內涵應為幾何向量概念推廣到n維向量后的模型化及應用，教學內容反映了類比思想、模型思想、數形結合思想。本節教學內容中，n維向量的定義屬于概念型知識、n維向量的運算屬于程序性知識、引導認識到自己的認知需要不斷發展并激勵自己不斷求知屬于元認知知識。為此本節課設定的教學重點是“n維向量運算的模型構建及應用”。
n維向量的學習是一個不斷反復、循序漸進的過程，本節課教學內容的上位知識為幾何向量的
概念及運算；下位知識則是構建n維向量運算的模型。
本節課教學中，需要從幾何向量和生活實例出發，引導學生類比認識n維向量的定義，然后推廣n維向量的運算形式，繼而將具體問題模型化，借助n維向量運算實現解決。這一過程體現了數學研究“類比推廣——建模應用”之路徑及數學知識應用之價值。
二、學生學情分析
在之前的學習中，學生已經初步具備了n維向量概念及應用，能夠運用幾何向量解決二維和三維的問題，對幾何向量的運算形式和功能比較熟練。以上知識為n維向量學習提供了認知基礎。同時，這一年齡段的學生普遍思維活躍、求知欲較強、自我表現欲望較強。以上因素為本節課教學提供了非認知基礎。
n維向量屬于大學高等代數的重要概念，理解n維向量的概念和應用，需要突破向量概念和認知中“向”的束縛，達到理解“維度”的實質，需要學生具有更一般化的數學思維能力，更高的數學抽象能力和敏銳的數學建模能力，也需要學生具備積極的探索意識、穩定的情緒和堅持不懈的意志力。
上述需求與學生既有學習條件相比，高二學生在運算能力、類比和建模能力方面還有欠缺，意志力和情緒穩定性維度也顯不足。這些欠缺和不足中，運算能力可以通過課前預習和Excel函數計算功能幫助學生化解、意志力和情緒穩定性維度的欠缺可以通過課堂鼓勵和分解教學難度得到初步化解，建模能力不足可以通過類比幾何向量熟識的模型加深理解。這其中突破向量概念和認知中“向”的束縛，達到理解“維度”的實質，是最難化解的難題。據此本節課設定的教學難點為“n維向量概念和運算的推廣”。
三、教學目標設計
1．在幾何向量的基礎上，類比得到n維向量的概念。 2．在幾何向量運算的基礎上，類比得到n維向量的運算。 3. 能夠利用n維向量的運算構建模型初步解決實際問題。
2
四、教學過程設計
為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，計劃將教學過程設計為七個階段：
（一）復習幾何向量的定義
問題1.我們已經學習過向量的哪些知識？ 師：啟發學生回憶學習過的二維和三維向量知識。 生：回憶并思考上述問題。 【設計意圖】
復習二維和三維向量，引發認知沖突。
問題2.期末考試成績，中考成績能不能形成有序實數組
師：中考成績按照一定順序（語文、數學、英語、理綜、文綜、體育）排布，形成一個有序實數組。 生：觀察后發現的確可以組成一個有序實數組。 【設計意圖】
從向量的坐標表示出發，揭示有序實數組的形式特點。 再舉幾個例子，體會有序實數組的特征。
問題3：以上三個例子我們都是用有序實數組表示了一組信息，在這三個例子中，表示方法有什么共同之處？
師：巡查指導學生小組討論。
生：分組討論三個實例的共同特點和不同點，并在全班交流。 【設計意圖】
通過回答不同實例中的有序實數組，進一步清晰向量的每一個維度表示一個信息的特點。 （二）類比得到n維向量的定義
問題4.我們能否模仿幾何向量的情形，也把這些有序實數組叫做向量？ 生：運用幾何向量的形式嘗試理解。 師：歸納總結。 【設計意圖】
→ → → → 類比得到n維向量的運算
建構模型，解決實際問題
復習幾何向量的定義
類比得到n維向量的定義
復習幾何向量的運算
課堂小結
→
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在形式認知的基礎上，直接拋出問題，制造認知沖突。 隨后教師給出n維向量的定義并簡要解析。 （三）復習幾何向量的運算
問題5.二維向量和三維向量有哪些運算？
生：復習并寫出二維向量和三維向量運算的坐標形式。 師：提問并展示。
【設計意圖】
復習平面向量的運算，為n維向量的運算推廣做好鋪墊。 （四）類比得到n維向量的運算
問題6.大家可否類比得到n維向量的運算？ 生：類比得到n維向量的運算形式。 師：提問并展示。
【設計意圖】
推廣n維向量運算形式。 隨后展示成績表資料。
（五）建構模型，解決實際問題
問題7.大家可否在成績表中利用向量加減和數乘運算解決問題？ 生：利用加減和數乘運算解決學生成績的對比、求和以及求平均值。 師：提問并展示。
【設計意圖】
建模使用n維向量運算解決問題。 建模使用向量是本節課重點知識。 【設計意圖】
構建模型，利用向量運算解決實際問題，是本節課的重點知識，需要濃墨重彩地突出體現。不僅需要引導學生解決本節課的問題，還需要以本節課為依托，引導學生體會建模思想，掌握建模步驟，樹立數學問題解決的信心。
尤其對于向量兩點間的距離，是本節課的又一個難點問題，要引導學生理解教學例題中距離是和各維度的數據都“離得近”——距離的和最小，這和線性回歸的道理相似，進而揭示n維向量數量積的應用，回應本節課開端拋出的問題，淘寶等網站的推薦算法的大致原理就是兩組數據形成向量的夾角小。 （六）課堂小結
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
