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視頻標簽：向量概念,推廣與應(yīng)用

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1閱讀與思考《向量概念的推廣與應(yīng)用》山西省 - 陽泉

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課題：人教A版選修2-1第99頁閱讀與思考《向量概念的推廣與應(yīng)用》 
一、教學(xué)內(nèi)容解析 
    本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)（選修2-1）》（人教A版）第3章《空間向量與立體幾何》章后閱讀與思考《向量概念的推廣與應(yīng)用》。 
向量是既有大小又有方向的量，既能像數(shù)一樣進行運算本身又是一個“圖形”所以它可以作為溝通代數(shù)和幾何的橋梁，它是一種重要的數(shù)學(xué)工具，不僅在解決數(shù)學(xué)問題的有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)，工程科學(xué)等方面有著廣泛的應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)平面向量，我們知道，平面上的點，直線可以通過向量及其運算表示出來，它們之間的關(guān)系，如平行，垂直，夾角，距離等可以通過向量運算而得到，從而有關(guān)平面圖形的問題可以利用平面向量解決。本課在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后展開，通過合情推理，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，既復(fù)習(xí)鞏固了平面向量的有關(guān)內(nèi)容，又為后面用向量解決立體幾何問題做好鋪墊，起到承前啟后的作用。充分讓學(xué)生類比猜想、自主探索，得出相應(yīng)的法則和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)類比、歸納、推廣、化歸等思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 
我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)來源于生活，同時又要能服務(wù)于生活，將生活中的問題進行數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化成具體數(shù)學(xué)問題來解決。向量相關(guān)知識在生活中的實踐與應(yīng)用也比較廣泛，運用聯(lián)系的觀點、審美的觀點、進行縱橫聯(lián)系和廣泛的聯(lián)想，不僅能很好體現(xiàn)其工具性，更充分體現(xiàn)向量在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面的教學(xué)價值。 二、學(xué)情分析 
1.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念及其相關(guān)運算，為本節(jié)空間向量相關(guān)知識的學(xué)習(xí)打下了堅實的知識基礎(chǔ)。 
2.本節(jié)是高二選修2-1的內(nèi)容，并且是學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量之后的拓展，學(xué)生具備了必修2立體幾何的知識儲備；而本班學(xué)生是高一的學(xué)生，立體幾何，空間向量等知識都還沒有學(xué)習(xí)，或許空間想象能力不夠，從平面向空間過渡有些困難。 
3.學(xué)生在探究問題以及合作交流的意識等方面，發(fā)展不夠均衡，尚有待加強，必須在教師一定的指導(dǎo)下才能進行。 三、教學(xué)目標 
1.知識與技能：理解空間向量的概念，并掌握一些空間向量中的運算； 
了解向量概念在生活中的應(yīng)用。 
2.過程與方法：經(jīng)歷向量由平面向空間的推廣過程,讓學(xué)生感受一個數(shù)學(xué)概念的推廣可能
帶來很多更好的性質(zhì)及可能存在的問題； 
                 運用合情推理進行類比和猜想，增強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。 
3.情感態(tài)度價值觀：經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過程,體驗數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)上的和諧性,激
發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新的個性品質(zhì)。 
 四、教學(xué)策略分析 
1.教學(xué)重點：空間向量的一些結(jié)論及向量在生活中的應(yīng)用。 
2.教學(xué)難點：從平面向空間過渡時，一整章的內(nèi)容在沒有書的情況下讓學(xué)生自己猜，有
些涉及到共面和空間直角坐標系的內(nèi)容，學(xué)生可能類比不過來，或者即使結(jié)構(gòu)形式猜對了，各中原理還是比較模糊。 
3.難點突破策略分析：難點（1）不可能一節(jié)課把空間向量所有知識都講透。（2）本節(jié)
課的主題有兩個關(guān)鍵詞：推廣，應(yīng)用。所以學(xué)生還必須要經(jīng)歷推廣和應(yīng)用的過程。（3）合情推理是根據(jù)已有的數(shù)學(xué)事實和正確的數(shù)學(xué)結(jié)論，或以個人數(shù)學(xué)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)直觀進行推測，而思維的非常規(guī)性，結(jié)論的或然性是其特色。（4）科學(xué)思維具有兩重性：邏
 
                    
             
                    
                            輯思維是“抓到真理”后進行完善和“補行證明”的思維，而合情推理則是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維。量子力學(xué)方程是猜出來的，現(xiàn)代仿生學(xué)是類比推理在科技中應(yīng)用的杰出成果，加強合情推理教育是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造素質(zhì)的需要。 難點突破策略：（1）學(xué)生課前進行填表類比，只猜結(jié)論，可以思考一下“為什么”，但是想不通不需要深究，記下自己困惑的地方，等高二講的時候?qū)ふ掖鸢福唬?）通過微課，把學(xué)生可能遇到的問題和需要鋪墊的知識進行簡單講解，比如共面定理，空間向量基本定理，空間直角坐標系，使類比過程更順暢一些；（3）課上展示，重在結(jié)論的比對；（4）推廣部分需要獨立思考所以課下做，應(yīng)用部分需要合作探究所以課上做。 
五、教學(xué)過程 
   1.類比猜想，展示學(xué)案 
    問題一：基本概念的類比  
平面向量 
空間向量 
定義 既有大小又有方向的量  平移 自由向量，平移后不發(fā)生改變  表示法 
幾何表示： 字母表示：a，AB 
 
向量的模 向量的大小：，aAB  相等向量 方向相同且長度相等  相反向量 方向相反且長度相等  單位向量 長度為1的向量  零向量 長度為0的向量  夾角 
0≤<a,b>≤π 
   設(shè)計意圖：學(xué)生對平面向量的知識結(jié)構(gòu)已經(jīng)比較了解，空間向量的知識結(jié)構(gòu)和它有很多的
相似性，與其再次由教師喋喋不休地重復(fù)，不如讓學(xué)生自己去閱讀、比較、辨別、思悟。     問題二：線性運算法則及運算律的類比  
平面向量 
空間向量 
加法運算 三角形法則或平行四邊形法則  減法運算 三角形法則 
 數(shù)乘運算 ka（k為正數(shù)，負數(shù)，零） 
 加法交換律 abba 
 
加法結(jié)合律 


abcabc 
 
 
                    
             
                    
                            設(shè)計意圖：結(jié)合律在空間中是否仍然成立？如果學(xué)生有疑問，可以進行圖形驗證。    問題三：一些定理與數(shù)量積 
數(shù)乘分配律和結(jié)合律 
abab 
aa
 
 
共線向量定
理 
對任意兩個向量a、b(0b)，a∥
b的充要條件是存在實數(shù)使
ba.      
 
共面向量定
理 
 不填 
如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量
a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使byaxp. 
向量基本定
理 
如果1e、2e
是同一平面內(nèi)的兩上不
共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1、
2，使2211eea. 
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組
zyx,,，使czbyaxp. 
基        底 上表中，不共線的向量1e、2e叫做
表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基
底. 
如果三個向量a、b、c不共面，我們把
c
ba,,叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量. 
 
兩個向量的數(shù)量積 
若
0
a，
0
b，則
cos||||baba，其中為兩個向
量的夾角 
若0a，0b，則bababa,cos||||，其中abba,,表示兩個向量的夾角. 
向量數(shù)量積 
的運算律 （1）)()(baba；   
（2）
abba（交換律）（3）cabacba)(（分配律） 
 
 
                    
             
                    
                              設(shè)計意圖：共面定理和空間向量基本定理是難點 ，所以這部分知識在微課中給學(xué)生簡單
講解了一下，不影響猜其他結(jié)論。  問題四：向量的坐標運算   
設(shè)計意圖：重在一些結(jié)構(gòu)形式的類比。 2.閱讀材料，解決問題

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