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視頻標(biāo)簽：線性相關(guān),回歸分析,數(shù)學(xué)建模
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3第三章線性相關(guān)與回歸分析數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課-云南省 - 昆明
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課題名稱：線性相關(guān)與回歸分析數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課
學(xué)科年級 高二年級
教材版本
人民教育出版社A版
一、教學(xué)內(nèi)容分析
基于線性相關(guān)與回歸分析的知識關(guān)聯(lián)性緊密，因此在人教社A版教材必修3第二章第三節(jié)《變量間的相關(guān)關(guān)系》之后，接著上人教社A版教材選修2-3第三章《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》，而本節(jié)課的設(shè)計(jì)，是在此之后設(shè)計(jì)的一節(jié)《線性相關(guān)與回歸分析數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課》，從學(xué)生一次考試的數(shù)學(xué)、語文、物理三科成績提供數(shù)據(jù)，利用已學(xué)習(xí)的散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、回歸直線方程等知識進(jìn)行回歸分析，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與探究實(shí)驗(yàn)的能力和素養(yǎng)。
二、教學(xué)目標(biāo)
1.通過實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生更好地理解制作散點(diǎn)圖，會計(jì)算相關(guān)系數(shù)、求回歸直線方程，合理進(jìn)行回歸分析。 2.在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生合作探究精神，培養(yǎng)學(xué)生建立線性回歸模型并能進(jìn)行回歸分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 3.在線性相關(guān)與回歸分析建模實(shí)驗(yàn)中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的能力。
三、學(xué)生特征分析
1.在必修3第2.3節(jié)《變量間的相關(guān)關(guān)系》和選修2-3第3.1.1節(jié)《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》教學(xué)之后，學(xué)生具備了上《線性相關(guān)與回歸分析數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課》的知識。
2.將48名學(xué)生分成8個(gè)6人一組的小組。在該建模實(shí)驗(yàn)課之前，利用課余時(shí)間，針對各小組技術(shù)人員培訓(xùn)學(xué)生了解實(shí)驗(yàn)所需的圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c使用功能和Excel“趨勢預(yù)測/回歸分析”相關(guān)功能，為學(xué)生鋪墊《線性相關(guān)與回歸分析數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課》的技術(shù)準(zhǔn)備。
3.在部分學(xué)生參加青少年科技創(chuàng)新賽的影響帶動下，通過談話了解、觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有積極尋找合伙人共同研究的興趣和情感態(tài)度。
四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)
1.本課題設(shè)計(jì)的基本理念是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）的數(shù)學(xué)建模思想并進(jìn)行實(shí)踐研究。對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建線性回歸模型解決問題。即培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。
2.主要采用的教學(xué)與活動策略：分組分工、合作探究、建模實(shí)驗(yàn)，完成下列步驟：
（1）用隨機(jī)抽樣得到樣本數(shù)據(jù)，用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c或Excel分別畫出數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文之間的散點(diǎn)圖，直觀判斷它們之間的相關(guān)性，得到兩個(gè)變量之間相關(guān)性的定性結(jié)論。 （2）求數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文的相關(guān)系數(shù)，并求它們的回歸直線方程，用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c檢驗(yàn)、畫回歸直線，得到兩個(gè)變量之間相關(guān)性的定量結(jié)論。
（3）借助數(shù)學(xué)、物理的回歸直線，用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c求殘差平方和，分析回歸直線合理性。 （4）會用Excel“趨勢預(yù)測/回歸分析”求出擬和優(yōu)度檢驗(yàn)判定系數(shù)2
R，合理進(jìn)行回歸分析。
五、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
重點(diǎn)：
（1）會繪制數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文之間的散點(diǎn)圖，直觀判斷它們之間的相關(guān)性； （2）會求數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文的相關(guān)系數(shù)，并求它們的回歸直線方程，用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c檢驗(yàn)、畫回歸直線。
（3）會用Excel“趨勢預(yù)測/回歸分析”求出擬和優(yōu)度檢驗(yàn)判定系數(shù)2
R，合理進(jìn)行回歸分析。 難點(diǎn)：借助數(shù)學(xué)、物理的回歸直線，用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c得到殘差平方和，并移動直線分析
回歸直線的合理性。
六、教學(xué)過程 教師活動
預(yù)設(shè)學(xué)生活動 設(shè)計(jì)意圖
復(fù)習(xí)線性相關(guān)與回歸分析知識。 創(chuàng)設(shè)情境：提供某班48名學(xué)生高二上學(xué)期期末考試的語文、數(shù)學(xué)、物理成績表。
在中學(xué)校園里有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題。”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個(gè)變量，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是什么關(guān)系？怎么進(jìn)行定性定量分析？數(shù)學(xué)成績和語文成績之間的關(guān)系又如何呢？
（板書學(xué)生的討論結(jié)果）
各小組討論如何構(gòu)建模型解決問題？如何進(jìn)行合理的相關(guān)分析和回歸分析？
具體分工和實(shí)驗(yàn)步驟是哪些？
從生活現(xiàn)象中抽
象，引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)和研究問題的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生隨時(shí)有數(shù)學(xué)建模的意識。
探究過程：
步驟一：用隨機(jī)抽樣得到樣本數(shù)據(jù)， （用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c或Excel）畫出散點(diǎn)圖，直觀分析數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文之間的相關(guān)性。
各小組分工完成：
1.在圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c“列表與電子表格”頁面輸入數(shù)據(jù)，并定義數(shù)組變量Maths , Chinese , Physics；（保存ctrl+S，鼠標(biāo)點(diǎn)擊文檔下拉鍵點(diǎn)“插入”、“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”） 2.添加“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”頁面，分別把
橫、縱坐標(biāo)修改為Maths和Chinese，
作出數(shù)學(xué)和語文的散點(diǎn)圖；
3.再把橫、縱坐標(biāo)修改為Maths和
Physics，作出數(shù)學(xué)和物理的散點(diǎn)圖。 4.從兩個(gè)圖可以看出，數(shù)學(xué)和物理之間是正相關(guān)關(guān)系，數(shù)學(xué)和語文之間的相關(guān)性不是很明顯。因此，直觀上看，數(shù)學(xué)與物理的相關(guān)性明顯比數(shù)學(xué)與語文之間的相關(guān)性要強(qiáng)。
通過引導(dǎo)學(xué)生繪制散點(diǎn)圖，直觀感受、分析變量間的相關(guān)性，
得到數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)
與語文相關(guān)性的定性
結(jié)論。
培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)。 步驟二：
分別求出數(shù)學(xué)與語文、數(shù)學(xué)與物理之間的相關(guān)系數(shù)，并分析哪組學(xué)科相關(guān)性強(qiáng)。
相關(guān)系數(shù)r是兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性的指標(biāo)。一般認(rèn)為，相關(guān)系數(shù)r的值介于–1與+1之間，即11r。其性質(zhì)如下：
1、當(dāng)0r時(shí)，表示兩變量正相關(guān)，0r時(shí)，兩變量為負(fù)相關(guān)。 2、當(dāng)1r時(shí)，表示兩變量為完全線
各小組分工完成：
根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)，并利用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c檢驗(yàn)。在圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c“列表與電子表格”頁面輸入數(shù)據(jù)，按菜單 4 1 3鍵，選擇變量，可求出相關(guān)系數(shù)。分別求出數(shù)學(xué)和語文、數(shù)學(xué)和物理的相關(guān)系數(shù)。
由此可見，數(shù)學(xué)、物理相關(guān)性一般，而數(shù)學(xué)、語文相關(guān)性較弱。
通過引導(dǎo)學(xué)生筆算與借助圖形計(jì)算器得到相關(guān)系數(shù)r，得到數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文相關(guān)性的定量結(jié)論，同時(shí)兩種方式彼此檢驗(yàn)正確與否。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的能力。
性相關(guān)，即為函數(shù)關(guān)系。
3、當(dāng)0r時(shí)，表示兩變量間無線性相關(guān)關(guān)系。
4、當(dāng)10r時(shí)，表示兩變量存在一定程度的線性相關(guān)。且r越接近1，兩變量間線性關(guān)系越密切；r越接近于0，表示兩變量的線性相關(guān)越弱。 5、一般可按三級劃分：3.0r為相關(guān)性較弱；75.03.0r為相關(guān)性一般；10.75r為相關(guān)性很強(qiáng)。
步驟三：
求數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文兩個(gè)變量的回歸直線方程，并用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c畫回歸直線。
根據(jù)公式求得回歸直線方程
axby
ˆˆˆ，并利用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c檢驗(yàn)。在上一結(jié)論的“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”頁面，按菜單 4 6 1鍵，選擇變量，可求出回歸直線方程并畫出回歸直線。
進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生筆算
與借助圖形計(jì)算器求
得axby
ˆˆˆ，得到數(shù)學(xué)與物理、數(shù)學(xué)與語文
的回歸直線方程和回歸直線，兩種方式彼此檢驗(yàn)結(jié)果的正確與否。 結(jié)論：無論相關(guān)性如何，任何兩個(gè)變量都可以求出回歸直線方程。進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析能力。
步驟四：
借助數(shù)學(xué)、物理的回歸直線，用圖形計(jì)算器TI-nspire cx-c得到回歸直線的
殘差平方和，分析回歸直線的合理性。 在上一結(jié)論的“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”頁面，按菜單 4 7 1鍵，可以得到回歸直線的殘差平方和。按菜單 4 2鍵，添加可移動直線，修改顏色為紅色（按住直線出現(xiàn)小爪，按“文檔”、
“編輯”、“顏色”、“線條顏色”選紅色），按菜單 4 7 1鍵，得到這條回歸直線的殘差平方和。移動紅色的可移動直線，殘差的平方和也在變化，
但是無論怎樣改變，這個(gè)值都大于等于回歸直線的殘差的平方和。
由此可見，回歸直線是離各樣本點(diǎn)“距離”最近的直線。
引導(dǎo)學(xué)生借助圖形計(jì)算器得到數(shù)學(xué)與物理的回歸直線的殘差平方和，并通過移動直線得到不同的殘差平方和，從而分析回歸直線的合理性。培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的素養(yǎng)和運(yùn)用信息技術(shù)的能力。
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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