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視頻標簽：基本不等式,求最值
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修4-5第一講基本不等式求最值-四川省優課
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基本不等式求最值的教學設計
一、教材分析
（一）本節教材所處的地位和作用
“算術平均數與幾何平均數”是全日制普通高級中學教科書數學人教版·必修5，選修4-5“不等式”一章的內容，是在學完不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究．本節內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節內容是培養學生應用數學知識，靈活解決實際問題，學數學用數學的好素材；同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，所以有利于培養學生良好的思維品質． （二）教材處理
依據新大綱和新教材，本節分為三個課時進行教學．第一課時講解不等式（兩個實數的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理（均值不等式）及它的幾何解釋．掌握應用定理解決某些數學問題．第二課時講解應用平均值定理解決某些最值問題，第三節講基本不等式解決實際應用問題．本節課為第二課時。為了講好這節內容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當的調整，適當增加例題． （三）教學目標 1.知識目標：
（1）會利用“均值不等式”解決某些最值問題； （2）掌握獲得“均值不等式”條件的常用方法。 2.能力目標：
（1）學生對問題的探索、研究、歸納，能總結出一般性的解題方法和解題規律，提高學生的抽象概括能力。
（2）通過學生的口頭表述和書面表達提高學生的數學表達和數學交流的能力。 （3）通過例題、變式練習的解決樹立學生的化歸思想；
3.德育目標：通過具體問題的解決，增強科學嚴謹的治學態度，體會“探究學習”在學習過程中的作用，使學生體驗成功，增強學習數學的自信心。 （四）教學重點、難點、關鍵
重點：用均值不等式求解最值問題的思路和基本方法。 難點：均值不等式的使用條件，合理地應用均值不等式。
關鍵：理解均值不等式的約束條件，掌握化歸的數學思想是突破重點和難點的關鍵。
二、學情分析
我所教的兩個班都是理科重點班，學生的理解能力，運算能力，思維能力等方面相對好點；學生有學好數學的自信心，有一定的學習積極性。 三、教法分析 （一）教學方法
為了激發學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養學生的數學能力與創新能力，使學生能獨立實現學習目標，采用啟發探究式學習。其中，在探索結論時，采用發現法；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結合法進行。 （二）教學手段
根據本節知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機和投影輔導教學。
四、教學過程設計
（一）課前知識 全通關（學生默寫以下內容）
1．基本不等式ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b. 2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋a
b≥2(a，b同號)；
(3)ab≤
a＋b22(a，b∈R)；(4)
a＋b22≤a2＋b
2
2(a，b∈R)； (5)2ab
a＋b
≤ab≤a＋b2≤ a2＋b2
2(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值問題 已知x＞0，y＞0，則
(1)如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2p(簡記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值是q2
4(簡記：和定積最大)． 注：此結論應用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指等號成立.
連續使用基本不等式時，牢記等號要同時成立.
（設計意圖：通過對上節課所學知識的回顧，讓學生加深對基本不等式的理解，為下面的求最值做鋪墊。） （二）課堂題型 全突破
►考法1 配湊法求最值——“和定”，“積定”
【例1】 (1)設0＜x＜2，則函數y＝x（4－2x）的最大值為( )
A．2 B.2
2 C.3 D.2
（設計意圖：讓學生明白定值是“湊”出來的，這個題在老師的引導下教會學生怎么樣把和湊出一個定值。）
(2)若x＜54，則f(x)＝4x－2＋1
4x－5
的最大值為________．
（設計意圖：讓學生在嘗試的過程中間發現，求最值的條件一正不滿足了。然后老師引導學生創造條件讓一正滿足，且引導學生怎樣把乘積湊成定值。） 規律方法：
（1）利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式. （2）配湊法的實質是代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵． ►考法2 倒數和的結構—“1”的代換法求最值
【例2】(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則1a＋1
b的最小值為________．
變式1：(變條件)將條件“a＋b＝1”改為“a＋2b＝3”，則1a＋1
b的最小值為________． 變式2：(變設問)保持本例條件不變，則
1＋1a
1＋1b的最小值為_______．
（設計意圖：讓學生體會常數1的代換依據，目的是為了產生b
a
yabx類型的最值問題，
使其積為定值）
（2）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值 （設計意圖：讓學生體會如何才能湊出常數1，進而再進行代換） ►考法3 和積共存—整體消元法
例3、已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
（設計意圖：與例2加以對比，以便與加深兩種題型的印象，在解題時方可選折恰當的方法）
►考法4 兩次使用基本不等式求最值
例4、已知a＞b＞0，那么
baba
1
2的最小值為____．
（設計意圖：用兩條途徑引導學生分析，一是體會添項技巧，一是體會消元法的應用，目的升華對和定，積定的理解） ►考法5 統一變量——值域法
例5、若正數x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是______．
（設計意圖：讓學生理解新舊方法各自的優越性，以便于在需要時好靈活選折相應方法） （三）課堂鞏固 全落實
（設計意圖：一是讓學生自我檢驗本節課對新知識的掌握情況，二是課后強化）
2
2
22
210,1,122,,221,41
3,,231,3124,522,(1),2
60,0,3,2741,80a
byxxxyabRabababcabcabbc
ababab
y
xyxyxxababababxyxyxyab
求的最大值 則的最大值為
均為正實數，求的最小值
均為正實數，，求ab的最小值
則的最小值為求的最小值
求2的最大值
2
11
()
aabaab
，則的最小值為
（四）課堂小結
1、利用基本不等式求最值的常見方法 （1）配湊法 （2）常數代換 （3）整體消元
（4）代入消元——值域法 （5）多次使用基本不等式 2、數學思想方法 （1）轉化與化歸的思想 （2）函數思想 （五）課后作業
校本教材P141
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