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視頻標簽：基本不等式
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視頻課題：高中數學必修五中第三章第四節基本不等式-珠海
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高中數學必修五中第三章第四節的基本不等式-珠海市實驗中學
《基本不等式》教學設計
1. 教材內容分析與學情分析
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書數學》（人民教育出版社、課程教材研究所A版教材）必修5中第§3．4．1節．《高中數學新課程標準》對于“基本不等式”的教學要求是探索并了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最值問題。新課標相對于原來課程的最大變化是偏重于應用基本不等式求最值,這既符合不等式知識的認識規律,也對實際的應用有重要價值。
本節課通過創設情境，展開數學知識的發生，發展過程，使學生能經歷數學的發現和創造過程，通過兩個探究問題，層層遞進，使學生在問題中體會基本不等式的產生，體會從實際問題中抽象出數學問題的過程。通過三個例題使學生從理解到掌握與應用的轉化，培養他們的數學應用能力。
本節課的授課對象是高一年級智慧課堂創新班的學生，課前用ipad以導學案的形式,發送微課視頻給學生預習.讓學生能夠有目的，有針對性的預習。在前面的學習中，學生已經基本掌握了一些常見的不等式及不等式的證明方法，本節課一定程度上是前面學習的運用。通過對這一節內容的學習，讓學生深切地體會到數形結合思想，體會基本不等式求最值在生活及生產實際中的廣泛應用。也加強了數學聯系生活這一重要的數學觀。由于他們基礎扎實，思維活躍,有探索未知,追求知識的欲望,有時候缺乏勇于探究的實際行動.設置三個例題,層層深入,提升學生的數學思維能力。
2. 教學目標
依據《新標準》對《不等式》學段的目標要求和本班學生實際情況，確定如下目標： (1)知識與能力目標：通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得基本不等式，在不等式
的幾何背景中體會數形結合的思想。能運用基本不等式解決一些簡單問題，培養學生探究能力以及分析問題的能力。引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。
(2)過程與方法目標：在教師的引導下通過探究1，探究2來得到基本不等式，并能解決簡單
的最值問題。這是一個過程性目標。通過例1引導學生嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，體會和與積的相互轉化，進一步通過例2，并用幾何畫板展示函數圖形，進一步深化數形結合的思想。結合例3完善對基本不等式結構的理解，提升解決問題的能力。
（3）情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數
學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手
2
的良好品質。
3.教學重難點
（1）教學重點：①從不同角度探索基本不等式，應用數形結合的思想理解基本不等式。②利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。③基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）。
（2）教學難點：①基本不等式成立時的三個限制條件。②當不滿足限制條件時通過配湊，1的代換等技巧求不等式的最值問題。
4.教學方法
教法分析：
本節課采用啟發式的教學方法,以學生為主體，以基本不等式為主線，以現代信息技術多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。在教師的誘導和激勵下探索、分析和解決問題，總結規律，培養積極探索的科學精神。從而體現教師起到“導”的作用，達到學生“學”的目的。
學法分析：
合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題； 探究學習：引導學生發揮主觀能動性，主動探索新知。
5.教學資源
為了能很好地展示幾何圖形,體會基本不等式的幾何背景,教學中需要有具體的圖形來幫助學生理解基本不等式的生成，感受數形結合的數學思想，所以，借助于智慧課堂軟件ipad，借助于幾何畫板軟件來加強幾何直觀十分必要，這樣可以加深對基本不等式的理解，增強教學效果。[來源:Zxxk
6.教學設計流程圖
[來源:Z§xx§k.Co
[來源:學#科#網]
1．創設情境，幾何引入
2．函數思想,得出結論
3．幾何證明，相見益彰
4．應用舉例，鞏固提高
5．歸納小結，反思提高
6．布置作業，課后延拓
3
7. 教學環節與活動
教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程。
具體過程安排如下：
（1）創設情景，提出問題；
設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實．基于此,
向學生展示在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標。
問題1、比較大正方形的面積與4個直角三角形的面積，你能找到怎樣的不等關系？ 利用圖中相關面積間存在的數量關系，結合多媒體幾何畫板的演示，抽象出不等式abba222
問題2、上式能否取到等號？什么時候取等號？ 當且僅當a＝b時，等號成立 抽象歸納：
結論1、一般地，對于任意實數a,b，有abba222，當且僅當a＝b時，等號成立。 問題3、當a>0,b>0時，在不等式abba222中，以a、b分別代替a、b，得到什么？什么時候取等號？
設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎。 答案： ),(02
bab
aab 通過PPT課件，讓學生更直觀的抽象。
問題4、探究2 如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，aAC，bBC．過點C作垂直于AB的弦DE，連接BDAD,．
①能否用a,b表示OD? OD =
②能否用a,b表示CD? CD= ③OD與CD的大小關系？
用幾何畫板演示，幫助學生理解等號取得的條件。 得到結論當0,0ba時，2
b
aab
（當且僅當ba時，等號成立）。 （進一步加強數形結合的意識，提升思維的靈活性） （2）抽象歸納,得出結論
D
C A
B
E
O
4
結論2、若0,0ba，則有2baab
，當且僅當a=b時，2
b
aab。 我們稱此不等式為基本不等式。 其中2
b
a稱為a,b的算術平均數，ab稱為a,b的幾何平均數。
代數意義是幾何平均數小于等于算數平均數。 幾何意義是半弦長小于等于半徑長。
此處體現數形結合的思想方法，多角度理解基本不等式。
問題5、怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結） “當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：
當a=b時，取等號，即2
b
aabba
； 僅當a=b時，取等號，即bab
aab
2
。 設計依據：課本是學生了解世界的窗口和工具，心理學研究表明：任何學習都是學習者自主建構的過程.在這個過程中，離不開學習主體與文本之間的交互作用。有意義的接受學習是自主建構，有意義的發現學習也是自主建構。既沒有絕對的接受學習，也沒有絕對的發現學習，總是兩者相互交替、有機結合.所以，課本必須成為學生賴以學會學習的文本.在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考，真正學會讀“數學書”。
給出基本不等式的變形公式為求最值做準備
（3）知識應用
公式應用之一基礎訓練：（最優化問題）
設計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強學生的興趣，拓寬學生的
視野，更重要的是調動學生探究鉆研的興趣，引導學生加強對生活的關注，讓學生體會：數學就在我們身邊的生活中
例1. ①用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？②用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
ab
baRba2,,2)
2
(,,baabRba
5
學生分組討論、糾正、爭辯，合作交流。引導學生體會基本不等式的正用和逆用。
（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）[來源: 結論：
基本不等式的限制條件簡記為：“一正、二定、三相等”。 對于Ryx,，[來源:Zxxk.Com]
①若pxy（定值），則當且僅當ba時，yx有最小值p2；
②若syx（定值），則當且僅當ba時，xy有最大值4
2s．
（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養了勇于探索的精神。）
結論：
若兩正數的乘積為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值； 若兩正數的和為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的乘積有最大值。 公式應用之二鞏固訓練：
例2.求
)0(1
xx
xy的值域． 在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示)0(1xx
xy的函數圖象，使學生再次感受數形結合的數學思想．
公式應用之三 能力提升：
例3.①x>3,求
x
xxf
34)(的最小值；
② 核心思想：湊積為定值。 （4）反思總結，整合新知
通過本節課的學習你有什么收獲？取得了哪些經驗教訓?還有哪些問題需要請教？
設計意圖：通過反思、歸納，培養概括能力；幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平。
老師根據情況完善如下：
基本不等式：若0,0ba，則有2baab
，當且僅當a=b時，2
b
aab。 .
1
1,12,的最小值求滿足已知正數y
xyxyx
6
兩種思想：數形結合思想、歸納類比思想。
三個注意：基本不等式求函數的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”。 （5）課外拓展
如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學生的水平視線上方a米和b米，問學生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？ （6）布置作業 基本作業
拓展作業
請同學們課外在網上查找基本不等式的其他幾何解釋嗎，整理并互相交流。
8.教學評價
通過這節課，引領學生多角度、多方位地認識基本不等式，在學生原有的認知基本上，充分展示基本不等式這一知識的發生、發展及再創造的過程。啟發思維，調動學生學習數學的積極性。讓學生真正參與其中同時，以智慧課堂教學課件、幾何畫板作為教學輔助手段，賦予學生直觀感受。在教學過程中始終圍繞教學目標進行評價，師生互動，在教學過程的不同環節中及時獲取教學反饋信息，以學生為主體，及時調節教學措施，完成教學目標，從而達到較為理想的教學效果。 本節課的亮點在于學生對知識的自主構建，重點放在基本不等式在求最值方面的應用.應用幾何畫板的軟件,幫助學生更好的理解基本不等式,層層遞進的設置兩個探究問題，多角度，透徹認識基本不等式，以利用基本不等式求最值問題為核心內容，符合新課標的精神。讓學生體會數學在實際生活中的應用，因授課班級學生基礎較好，設置三個難度層層遞進的例題，讓學生自己總結規律，得出結論，巧妙設計“陷阱”,讓學生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，自己總結出基本不等式的三個重要的限制條件。
但是在本節課中還是暴漏出一些的問題：
對于最后的例3一些學生理解起來相對困難，當基本不等式的限制條件不滿足時,如何配湊定值使得滿足條件是本節課的難點,難點的突破,效果有待提高.需要在后續教學中多次反思，不斷運用。在放手給學生自己去探索知識的過程中,如何能既引導學生,發揮學生的主動性又能控制好課堂的時間,提高課堂效率,在這方面有待提高。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
