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視頻標簽：直線與圓的,位置關系
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關系-河南省 - 洛陽
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教學目標
1. 掌握直線與圓的三種位置關系;熟練掌握判斷位置關系的兩種方法,能夠解決一些簡單的與直線與圓位置關系相關的問題。
2.(1)通過本節課的學習,讓學生經歷操作、觀察、探索、總結直線與圓位置關系的判斷方法的過程,從而培養學生觀察、比較、概括的邏輯思維能 力;
(2)通過本節課的學習,要讓學生經歷如下過程;將幾何問題代數化,分析代數結果的幾何含義,最終解決幾何問題,幫助學生不斷地體會“數形結合”、“轉化”和“由特殊到一般”的數學思想方法。
3. 激發學生的求知欲和學習興趣,培養學生積極探索、發現新知識、總結規律的能力,解題時養成歸納總結的良好習慣。
2教學內容解析
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書》必修2第四章《圓與方程》第二節。“直線、圓的位置關系”的第一課時,它是在學生已經掌握“直線的方程”和“圓的方程”的基礎上,進一步研究直線與圓的位置關系。
本節課的核心內容是如何借助直線的方程和圓的方程來判斷直線與圓的位置關系,通過學習讓學生掌握兩種判斷方法。一種方法,根據學生初中學習直線與圓相交、相切、相離的定義的基礎上,將直線的方程與圓的方程聯立方程組。通過討論方程組的解的不同情況來判斷。本方法主要突出坐標法的思想且具有一般性,可類比地推廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中。另一種方法,利用圓心到直線的距離與半徑比較。該方法涉及到把點與坐標、直線與方程聯系起來,實現空間形式與數量關系的結合。該方法屬圓的個性范疇,不能推廣。
3重點難點
用坐標法判斷直線與圓的位置關系。根據本節課的特點,在教學中借助幾何畫板可以幫助學生進行數學探究。
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】判斷直線與圓的位置關系
問題1:老師畫出一個圓,并任意畫出一條直線,學生判斷直線與圓的位置關系。
【設計意圖】:利用電腦的分辨率造成誤解,讓學生發現通過圖形判斷直線與圓的位置關系會存在一定的誤差。為后續引出用坐標法解決問題做鋪墊。
活動2【活動】探討通過定量運算判斷直線與圓位置關系的方法
思考1:既然觀察存在誤差,思考不通過圖形如何判斷直線與圓的位置關系?
【設計意圖】幫助學生引出定量運算。可以將直線方程與圓的方程聯立得到方程,判斷交點個數。也可以算出圓心到直線的距離d,再與半徑 r比較。
思考2:如何利用坐標法實現定量運算?
【設計意圖】用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應的幾何元素:點、直線、圓; 然后對坐標和方程進行代數運算,最后再把代數運算結果“翻譯”成相應的幾何結論。讓學生體驗坐標法的思想。借助幾何畫板平臺,讓學生真正理解“數”與“形”的對應關系。
師生活動:教師提問,學生思考、回答,教師根據學生回答情況及時進行補充。
【設計意圖】以問題為載體,幫助學生復習、整理已有的知識結構,培養學生養成良好的學習習慣。
活動3【活動】總結直線與圓位置關系的判定方法
方法一:將直線方程與圓的方程聯立,根據方程組解的情況來判斷。
(1) 當方程組有兩組實數解時,直線與圓相交;
(2) 當方程組有一組實數解時,直線與圓相切;
(3) 當方程組沒有實數解時,直線與圓相離。
方法二:設圓的半徑為d ,圓心到直線的距離為r ,
(1 )當d<r 時,直線與圓相交;
(2) 當d=r 時,直線與圓相切;
(3) 當d>r時,直線與圓相離。
活動4【講授】判斷直線與圓的位置關系
例::已知直線 l : 3x+y−6=0 和圓心為C的方程x2+y2−2y−4=0 ,判斷直線 l 與圓的位置關系;如果相交,求它們交點的坐標。
師生活動:學生練習鞏固,教師巡視指導,安排學生展示,并提出解題的規范要求。
思路1:通過方程的研究,研究公共點的個數,不借助幾何。
思路2:借助幾何方法,直線到圓心的距離(通過距離公式)與半徑的關系。
教師:;為什么方程組有兩組實數解就表明它們有兩個交點?(代數到幾何)
【設計意圖】:突出解析法的思想,幾何關系用代數方法解決,由代數結果得到相應的幾何結論。進一步對兩種方法進行對比。一種方法不能解決公共點的坐標;另一種方法具有一般性,可以解決公共點的坐標。
活動5【練習】兩人一組，互相出題
請你寫出一條請你寫出一條過點(3,3) 的直線和一個以點 (2,0) 為圓心的圓的方程,判斷它們之間的位置關系并說明理由。
【設計意圖】:這是從代數到幾何。讓學生自己命題,畫圖,并說明自己是怎樣來命題的。
活動6【講授】研究直線與圓相切時，求切線方程。
例2:已知圓C:x2+y2=25 ,
1.過A(3,4) 作圓的切線,求切線方程。
2.過B(1,−7) 作圓的切線,求切線方程。
例3:求過點(2,2) 且與圓相x2+y2−2x=0 相切的直線方程。
師生活動;學生思考,教師指導,并提出解題的規范要求。
【設計意圖】指導學生掌握經過圓上或圓外一點與圓相切的直線方程。
活動7【活動】本節課小節
教師:今天我們學習了什么內容?你有哪些收獲?
【設計意圖】讓學生自己小結,加深對本節課內容的認識,提高學生用數學語言歸納的能力,同時也培養了學生合作交流的能力。
活動8【作業】作業
已知直線 3x−4y−7=0 與圓心為N(1,3) 的圓C 相切,求圓C 的方程。
【設計意圖】通過直線與圓的位置關系,求圓的方程,幫助學生運用逆向思維來解決問題,同時達到掌握本節課知識的目的。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
