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視頻標簽：直線與圓的,位置關系
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關系-洛陽理工附中
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高中數學人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關系-洛陽理工學院附屬中學
直線和圓的位置關系
【教學目標】
1.知識與技能：掌握根據給定直線、圓的方程，判斷它們的位置關系的方法；熟練運用直線和圓的位置關系解決相關問題；培養學生利用數形結合思想解題的能力、收集信息和語言表達的能力，以及觀察、分析、概括和知識遷移的能力；
2.過程與方法：通過觀察現實生活中的問題情境，將之化歸為判斷直線和圓的位置關系問題，學生獨立探究利用方程判斷直線和圓位置關系的方法，并運用方法解決相關問題，逐步體會用代數法處理幾何問題的思想；
3.情感、態度與價值觀：讓學生從運動的觀點來研究直線和圓相交、相切、相離的關系，樹立辯證唯物主義觀點；關注知識的生成過程，使學生養成問問題的習慣及勇于發現，主動探索的精神，讓學生感受學習的成功與快樂，不斷調動學生的學習積極性． 【教學重點與難點】
重點：利用方程判斷直線和圓的位置關系的方法 難點：直線和圓的位置關系判斷方法的運用 【學情分析】
學生在初中已經學習過直線和圓的位置關系的定義及判斷方法，本節課的重點是要利用直線和圓的方程來判斷它們的位置關系．不論是判斷公共點的個數，還是比較圓心到直線的距離與半徑的大小，都要與方程聯系起來，探究解決問題的方法，建立用代數方法解決幾何問題的思路． 【教學情景設計】
1.引入：
數學來源于生活，服務于生活．現實中的很多問題都可以用數學知識來解決．來看一個實際問題：一個小島的周圍有環形暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區域．已知小島中心位于輪船正西70km處，港口位于小島中心正北40km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？
顯然這需要判斷直線和圓有無公共點，它們的位置關系的問題． 2.復習：
由平面幾何知，直線和圓有三種位置關系，定義如下： ①直線和圓相交，有兩個公共點； ②直線和圓相切，只有一個公共點； ③直線和圓相離，沒有公共點.
思考：在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？通過比較圓心到直線的距離與半
O
港口
輪船
2
徑的大小得出直線和圓的位置關系：相交時，dr；相切時，dr；相離時，dr．
利用平面幾何的知識，能夠解決這個問題嗎？此處可提問 學生回答解題思路：連接A、B兩點，直線AB和圓O沒有公 共點，所以輪船沒有觸礁危險；或在RtAOB中，利用勾股定 理求出AB，再用“等面積法”求出圓心O到直線AB的距離， 并與半徑比較大小，可以判斷出直線AB和圓O的位置關系．
3.探究新知：
能不能利用直線的方程和圓的方程判斷它們之間的位置關系？
例1：已知直線:360lxy和圓心為C的圓2
2
240xyy，判斷直線l與圓的位置關系；如果相交，求它們的交點坐標．
怎樣將初中平面幾何的知識和方程的知識結合起來解決這個問題？學生思考討論，聯系前面求兩直線交點、點到直線的距離公式等知識，探索得出本題思路．
提問學生，可能有如下兩種解題思路：
思路一：可以將直線和圓的方程聯立成方程組，消元得到關于x的一元二次方程
2320xx，利用判別式判斷方程有兩個解，也就是方程組有兩組解，就可以判斷直線
和圓有兩個公共點，得出位置關系是相交．
思路二：可以把圓的方程化成標準式得到圓心坐標為0,1，半徑為5，再利用點到直線的距離公式，就可以求出5
10
d
，dr，可判斷直線和圓的位置關系是相交． 進一步，要求出交點坐標，需要求出方程組的解．由2
320xx，解得122,1xx，
把12x代入直線方程，得10y；把21x代入直線方程，得23y；所以，它們的交點坐標分別是2,0,1,3AB．
教師配合學生分析，在課件中演示本題的解答過程．強調解題過程中的關鍵點，引導學生總結方法步驟，完整的寫出解題過程．
方法一：
①聯立直線和圓的方程，組成二元方程組；
②消元得一元二次方程，利用判別式判斷該方程解的個數； ③依據解的個數判斷直線和圓的位置關系. 方法二：
①確定圓心的坐標及半徑，計算圓心到直線的距離； ②比較距離與半徑的大小； ③依據上述計算做出判斷.
上面的兩種方法雖然做法不同，但是本質都是利用方程來判斷它們的位置關系，通過代數方法解決幾何問題，體現了“以數輔形”．
運用上述方法，再次嘗試解決一開始提出的實際問題，建立直角坐標系，通過方程判斷
O
A
B
3
輪船是否有觸礁的危險．學生自己選擇一種方法解決．
解法一：以小島的中心為原點，東西方向為x軸，建立直角坐標系，選取10km為單位
長度．則點7,0,0,4AB，則直線AB的方程為47280xy， 圓心0,0O，半徑3r，則圓O的方程為2
2
9xy，
圓心到直線的距離22
2828
365
47d
所以直線AB和圓O相離，輪船沒有觸礁危險.
解法二：以小島的中心為原點，東西方向為x軸，建立直角坐標系，選取10km為單位長度．則點7,0,0,4AB，則直線AB的方程為47280xy， 圓心0,0O，半徑3r，則圓O的方程為229xy，
聯立方程得：22
47280
9
xyxy 消去y，整理得：2
652243430xx
2
2244653430
所以，此方程組無解，直線直線AB和圓O沒有公共點. 所以直線AB和圓O相離，輪船沒有觸礁危險.
對比發現，解方程組的方法在這個問題中計算較為復雜，沒有比較d和r大小的方法簡單，這也是練習過程中很少有學生選擇這個方法的原因．教師可將這種方法做一展示，引導學生作出選擇，只判斷直線和圓的位置關系，常選用比較d和r大小的方法，它的運算相對簡單．而在求交點坐標時，必須通過求解方程組才能解決．
4.鞏固練習：
①判斷直線3420xy與圓2220xyx的位置關系．
②已知直線:2lyx，圓22
:240Cxyy，試判斷直線l與圓C有無公共點，
有幾個公共點，并求出公共點坐標．
練習時注意選擇適當的方法，快速地解決．
5.新知運用：
例2：已知過點3,3M的直線l被圓22+4210xyy所截得的弦長為45，求直線l的方程．
剛才的例1是已知直線和圓的方程，判斷它們的位置關 系，與例1相比，例2是已知位置關系是相交，反過來求直 線方程的問題．已知直線l過定點，要求直線l的方程，還需 要求直線的斜率，可以將其設為k．將圓的方程化為標準式
2
2
225xy，圓心0,2C，半徑為5，不妨作出如
圖所示的直線即為滿足條件的直線l交圓于A、B兩點．如何 求出直線AB的方程呢？
O
A
B
x
y
A
B
D
M
C
x
y
O
4
學生討論，嘗試演算，通過提問得出方法：設直線的方程為3(3)ykx．過點C作
AB的垂線，垂足為D，連接AC，利用垂徑定理，知道25AD，再用勾股定理，求
出CD，用點到直線的距離公式，表示d，這個dCD，得到關于k的方程，解方程求出k的值，最后求出直線方程．
在課件中配合學生回答，給出關鍵的解題步驟，留出時間讓學生算出答案，并最終展示出完整的解題過程，讓學生自己對比，或個別指導，改進完善自己的解答．
6.探究討論：
在例2中，我們設出了直線的斜率k，求出了兩條滿足題目條件的直線，然而直線的斜率可能不存在，會不會過點M的斜率不存在的直線也是滿足題意的呢？可以驗證一下．
作出過點M的斜率不存在的直線3x，圓心到這條直線的距離為3，半徑長度為5，所以這條弦的長度的一半為4，則弦長為845．所以這條直線不滿足題意．
引發討論：若直線l過定點M（點M與圓心不重合）,且被圓所截得的弦長為定值c,問這樣的直線l有幾條？請前后左右四人為一個小組討論，派出代表分析如下：如果給出的弦長最長，是直徑的長度，那就只有一條，就是MO；如果給出的弦長最短，也只有一條，就是與直徑MO垂直的弦CD．由于圓是一個軸對稱圖形，介于最短與最長之間的弦，一定有兩條．
今后這種類型的題目，可以先考慮斜率存在的情況，若求出的直線有兩條，就不用再考慮斜率不存在的情況；若求出的直線只有一條，就需要考慮斜率不存在的情況．
例2通過畫圖分析了思路，圖形幫助我們得到了解決問題的方法，這就是“以形助數”， 例1體現了“以數輔形”，例2體現了“以形助數”．這兩方面就是數學中常說的“數形結合”的思想． 【總結提升】
①學會了利用方程判斷直線和圓的位置關系的兩種方法； ②探究了如何將實際問題化為數學問題并加以解決； ③體會了“數形結合”思想的優越性．
華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”． 【作業】
必做題：課本P132 習題4.2 A組第1,2,3題
選做題：已知圓2
2
:225Cxy的一條弦AB過點3,1，且長為4，求直線
AB的方程．
【教學評價與反思】
本節課重點是要熟練掌握利用方程判斷直線和圓的位置關系的基本知識和基本技能．通過一個實際問題引出判斷直線和圓位置關系的必要性，同時提出問題：怎樣利用方程來實現
5
這種位置關系的判斷．經過例1、引入中的實際問題、兩個練習，學生由探究到嘗試到鞏固，能夠總結出方法，并且運用方法解決已知直線和圓的方程，判斷它們位置關系的問題．例2是已知位置關系，利用題目中給出的條件，求直線的方程的問題．通過適當地利用圖形的幾何性質，簡化了計算，求得直線的斜率．學生先探究得出思路，并解決問題．教師后提出有關斜率存在與否和滿足條件的直線的條數的問題，引發討論，得到一般情況下對此類問題的處理．教學過程始終貫徹以學生為主體的探究式學習，學生思考、探究、討論，獨立得出解決問題的思路并完成落實，總結出解題的一般步驟，教師只起到提出問題，適時提升的作用．
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
