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視頻標簽：正態分布
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修2-3第二章2.4正態分布-海南省 - 瓊海
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§2.4正態分布教學設計
1. 教學要素分析
1.1教材分析
正態分布是人教B版《數學》（選修2-3）的內容，是僅有理科學生學習的。這一節在離散型隨機變量及其分布列之后，是高中學習的唯一一個連續性隨機變量分布列。
1.2 教學內容的地位和作用
正態分布在生產生活、數學或其他學科領域中被廣泛使用，這一節內容可以提升學生的數學素養，也可以給學生在大學繼續學習概率統計奠定基礎。學生對連續性的隨機變量的理解可以使得學生對概率統計知識系統化形成有促進作用。 1.3學生情況分析
在學習本節內容前，學生對離散型隨機變量及其分布列已經掌握了，但對于連續性隨機變量的概念并不好接受。學生會進行抽樣調查，采集數據，處理數據畫出直觀圖，但是對于復雜的概率計算問題掌握的比較一般，缺少嚴謹的思維習慣。 1.4教法分析
本節將創設合適的教學情境，提出有效的數學問題，來讓學生對連續性有所理解。通過課前布置任務讓學生采集各班學生身高數據，在課堂上創設應用性教學活動，讓學生親身體驗正態分布具有很強的應用性。課堂上通過安排學生小組合作學習來降低難度。 1.5教學目標 （1）知識與技能：
①理解正態分布的概念、密度曲線的特點和表示的意義； ②認知正態分布在現實生活中的應用；
③能夠利用對稱性和3σ原則計算正態分布的概率。
（2）過程與方法：
①通過高爾頓釘板試驗理解正態分布、密度曲線的概念；
2
②通過實際數據畫直方圖的試驗深刻理解正態分布； ③由密度曲線的對稱性和3σ原則計算正態分布的概率。
（3）情感、態度與價值觀：
通過高爾頓釘板試驗，激發學生對正態分布的求知欲，體會隨機變量向連續性
的轉變，提高了學生數學抽象的素養；通過對實際數據的畫直方圖試驗，讓學生參與活動，處理數據，直觀對比，增進了學生數學運算和數據分析的素養。課程設置提升了學生的嚴謹性數學思維習慣，活動的完成增進學生實際應用的能力和科學精神。 1.6教學重難點 （1）教學重點：
①正態分布曲線的特點及其所表示的意義； ②μ，σ對正態分布密度曲線的形狀的影響； ③利用密度曲線的對稱性計算正態分布的概率。
（2）教學難點：
①連續型隨機變量的理解，正態分布密度曲線的意義； ②正態分布在實際問題中的應用； ③利用3σ原則計算正態分布的概率。
2 教學過程
2.1 創設情境，引入課題 （1）播放視頻，初探新知
【設計意圖】視頻時長一分鐘，將高爾頓發明釘板的過程展現出來，讓學生通過數學史的再現，了解正態分布的研究過程，增進數學的興趣。 （2）利用信息技術做高爾頓釘板試驗
【設計意圖】學校里沒有高爾頓釘板教具，為了直觀讓學生了解正態分布的曲線，取出30個小球與200個小球做對比試驗，讓學生直觀感受當樣本容量足夠大時可以形成一種“中間高，兩邊低”的分布。 2.2 課堂活動，知識探究
（1）利用幾何畫板模擬小球的直方圖，隨著球槽數增多，曲線變得光滑起來，形成一條“鐘型”曲線，即為密度曲線。
3
【設計意圖】隨著組數n逐漸變大，直觀展示隨機變量從離散向連續的過渡，幫助學生理解連續性隨機變量和密度曲線的意義。
（2）歷史解讀：德國數學家高斯發現正態分布的密度函數，寫出它的解析式，由于正態分布在生產生活、物理學、天文學的廣泛使用，德國的10馬克鈔票的正面上畫上了正態分布。
在黑板上板書正態分布密度曲線的解析式：2
2
2,21
xexf，Rx
【設計意圖】講數學歷史，有助于增進學生的學習興趣，發揚數學家的科學精神。 （3）應用活動：畫三幅直方圖
之前布置了實踐作業，讓學生抽樣調查高二年級同學身高，每班10人，共200人的身高數據。請按要求繪制直方圖：
1. 用隨機抽樣的200名學生身高數據，以10為組距繪制直方圖；
2. 用表格中前100名學生身高數據，以5為組距繪制直方圖；
3. 用隨機抽樣200名學生身高數據，以5為組距繪制直方圖。
按學生座位布置任務，每小組數100個數據，
分組由教師統一規定，合作完成三幅直方圖的頻數累積。 由學生活動得到畫直方圖1需要的頻數表：
頻數表1
身高分段 區間分割點 頻數（200）
[150,160) 159 58 [160,170) 169 72 [170,180) 179 58 [180,190) 189 12
由學生活動的到畫直方圖2和3需要的頻數表：
頻數表2
身高分段 區間分割點 頻數1（100） 頻數2（200）
學生自己搜集數據的調查表
4
[150,155) 154 8 21 [155,160) 159 20 37 [160,165) 164 17 39 [165,170) 169 17 33 [170,175) 174 19 32 [175,180) 179 11 26 [180,185) 184 8 12 [185,190] 190 0 0
在EXCEL中登記數據，并用EXCEL插入柱狀圖的功能繪制3幅直方圖：
問題：通過上面三幅直方圖，兩兩對比，請問你能得到什么樣的結論？
由學生回答，隨樣本數據增多，樣本越發呈現出正態分布的樣子；隨分組變
5
多，樣本也越來越貼近正態分布。
【設計意圖】引導學生做這個活動，目的是讓學生從采集數據到處理數據全程參與，讓學生提高自己的處理數據的數學素養，用所學知識在“大數據時代”中成為學有所用。讓學生進行結論對比，可以讓學生增進自己的邏輯思維的素養，培養解決問題的能力。 2.3 逐步深入，思維升華 （1）正態函數密度曲線的特點
問題1：觀察正態函數密度曲線，請問概率如何表達？
按照圖形，類比于直方圖中的頻率對應長方形的面積，引導學生得出密度曲線與x軸之間的面積，由曲邊梯形的面積用定積分表示dxxfbXaPb
a，
但在高中還不能用定積分算出概率。
問題2：觀察正態函數密度曲線，請問有什么特征？ （1）曲線在x軸上方，與x軸不想交； （2）曲線是單峰的，它關于直線x對稱； （3）曲線在x處達到峰值
;1σ2π
（4）曲線與x軸之間的面積為1。 請填一下以下的空白：
（1）當x=______時，函數值最大； （2）xf的值域為______________; （3）xf的圖像關于_________對稱；
（4）當x_________時，xf為增函數；當x_________時，xf為減函數。 【設計意圖】這段讓學生自己通過圖像來發現正態函數密度曲線的特征，問題和填空的內容重復很多，如果學生可以說全特征，則后面就師生一起填空，若學生
6
說不清楚特征，由教師提示，就讓學生填空。這樣增進了學生的看圖能力和函數思想。
（2）信息技術應用：μ，σ對正態分布密度曲線的形狀的影響
用幾何畫板做出正態分布圖像，先固定的值，作出取不同值的圖像；再固定的值，作出作出取不同值的圖像。
【設計意圖】課本的信息技術應用專欄以上述兩種特殊取值進行對比得到μ，σ對正態分布密度曲線的形狀的影響的結論，用幾何畫板可以展示動圖，讓學生看到μ，σ漸變的過程，將更加直觀，更嚴謹。 （3）標準正態分布
隨機變量X服從正態分布，密度函數的解析式是2
2
2,21
xexf，記
為
2,~NX。若取10，，則稱其為標準正態分布，解析式是
2
2
21xexf
，記為1,0~NX。
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