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視頻標簽：任意角的正弦函數,余弦函數的定義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數、余弦函數的定義_安徽省 - 阜陽
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北師大版必修四高二4.1任意角的正弦函數、余弦函數的定義_安徽省 - 阜陽
教學目標
1.知識與技能:
借助單位圓認識和理解任意角正弦函數、余弦函數的定義。
2.過程與方法:
在借助單位圓認識任意角三角函數的定義的過程中,體會數形結合的思想,并利用這一思想解決有關定義應用的問題.
3.情感態度與價值觀
通過本節的學習,使學生認識到事物之間是有聯系的,體會轉化思想。
2學情分析
在初中,學生已學過銳角三角函數,知道直角三角形中銳角的三角函數等于相應邊長的比值.在此基礎上,隨著本章將角的概念推廣,以及引入弧度制后,這里相應地也要將銳角三角函數推廣為任意角的三角函數.任意角的三角函數是研究一個實數集(角的弧度數構成的集合)到另一個實數集(角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合)的對應關系,認識它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助,這中間體現了數形結合的思想.三角函數是又一種基本初等函數,它作為描述周期變化現象的最常見、最基本的數學模型,不僅在高中數學中有廣泛的應用,而且在其他領域中也具有廣泛的應用.而任意角三角函數的概念又是整個三角函數內容的基礎,所以它不僅是三角函數內容的核心概念,同時在高中數學中還占有重要的地位.本節課將圍繞任意角三角函數的概念展開,任意角三角函數的定義是這節課的重點,能夠利用單位圓認識該定義是解決教學重點的關鍵.
3重點難點
重點: 任意角的正弦、余弦定義(包括這兩種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);
難點: 任意角的正弦、余弦定義的正確理解.
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學目標
1.知識與技能:
借助單位圓認識和理解任意角正弦函數、余弦函數的定義。
2.過程與方法:
在借助單位圓認識任意角三角函數的定義的過程中,體會數形結合的思想,并利用這一思想解決有關定義應用的問題.
3.情感態度與價值觀
通過本節的學習,使學生認識到事物之間是有聯系的,體會轉化思想。
4.1.2學時重點
重點: 任意角的正弦、余弦定義(包括這兩種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);
4.1.3學時難點
難點: 任意角的正弦、余弦定義的正確理解.
4.1.4教學活動
活動1【活動】1、創設情境，提出問題
1、創設情境,提出問題
我們知道,在日常生活中,到處都有圓周運動的現象,如鐘表的旋轉、車輪的轉動等.而函數是研究現實生活中變量之間具有依存關系的一種手段和方法,那么,針對具有周而復始現象的圓周運動,我們該選用什么樣的函數模型刻畫它呢?
活動2【導入】2、思考交流，認識本質
(幾何畫板動畫演示)設質點P繞坐標原點O做圓周運動,連接OP形成射線,點P在轉動的過程中,射線OP隨之旋轉形成了角,那么刻畫圓周運動的函數模型就一定會與角有密切的聯系.在大家已有的知識儲備中,哪一個函數模型與角有關系?
問題1:初中的銳角三角函數是如何定義的?
【設計意圖:溫故知新,為新定義尋找知識的生成點】
通過上節課的學習,角的范圍已拓展到任意角,很顯然,再借助直角三角形定義任意角的三角函數已不可能,那么,該如何定義任意角的三角函數呢?(書寫課題:單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數的定義(第一課時))
前面的學習中,我們都是借助直角坐標系認識角的,請思考下面的
問題2:怎樣把直角三角形ABC放入直角坐標系符合我們研究角的習慣?
師:很好!請接著思考
問題3:把 放入如圖所示的坐標系,此時,直角邊長a,b,斜邊c有新的寓意嗎?
【設計意圖:換個角度認識銳角三角函數,為用角 終邊上點的坐標定義三角函數埋下了伏筆】
師:非常好!創新思維和發散思維的體現!也就是:
師:讓我們繼續下面的思考,
問題4:使用銳角 終邊上點B的坐標來定義銳角 的三角函數,點B的位置選擇在哪兒呢?點B的位置選擇的差異,會改變給定的銳角 的三角函數值嗎?
問題5:既然點B位置選擇的差異,不會影響銳角 的三角函數值,為了簡潔地表述定義,能簡化上述表示嗎?
師:銳角 的正弦、余弦和正切可以進一步表示為:
【設計意圖:培養學生的數學求簡意識,從“終邊定義法”自然過渡到 “單位圓定義法”】
師:請大家繼續思考
問題6:你能從函數的觀點,說明上述表示是函數嗎?
【設計意圖:既彌補了初中銳角三角函數對“函數性”解釋的缺失,又為“任意角的三角函數定義”的函數性解釋做了必要的鋪墊.】
活動3【活動】3、合作探究，升華認識
師:上述表示可以稱之為銳角三角函數.現在我們對角的認識已經擴大到了任意角范圍,
請大家思考下面的
問題7:用銳角 的終邊與單位圓的交點坐標定義的銳角三角函數,能從銳角推廣到任意角嗎?說說你的理由.
(幾何畫板演示)
4.抽象概括,得出定義
師:既然大家都同意這種推廣,你能用自己的語言定義任意角的三角函數嗎?
【設計意圖:用文字語言、圖形語言、符號語言分別描述數學概念,深入理解數學概念的內涵與外延,掌握概念的本質,在師生交流、反饋中去偽存真,完善定義.】
既然任意角的三角函數可以用坐標來表示,而坐標本身是有正負的,那么來思考一個問題,
問題8:如圖,當角 的終邊分別落在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限時,角 的正弦函數值、余弦函數值是正還是負?
歸納:由于角 的正弦函數、余弦函數是用角 的終邊與單位圓的交點P的坐標 來定義的,因此,任一角 的正弦函數值、余弦函數值的符號,分別和該角與單位圓交點的縱坐標、橫坐標符號一致。
5、例題練習:
例1.在直角坐標系的單位圓中, ,
(1)畫出角
(2)求角 的終邊與單位圓的交點坐標。
(3)求角 的正弦函數值、余弦函數值。
(學生)歸納: 定義法解題步驟
第一步:根據條件畫出圖形
第二步:找到所求角的終邊
第三步:求出角終邊與單位圓的交點坐標
變式:已知角a的終邊在直線 上,求
【設計意圖:考察學生是否知道找角終邊與單位圓的交點,深入理解任意角的概念,掌握概念的本質.】
思考:已知角a終邊上任一點P (x, y),如何求它的三角函數值呢?
活動4【講授】【課堂小結】
①通過本節課的學習,談談你有哪些收獲
②初中學習的銳角三角函數與今天定義的任意角的三角函數的區別是什么?
③為什么可以用今天學習的“任意角的三角函數”來刻畫圓周運動?
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
