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視頻標(biāo)簽：單位圓與任意角,正弦函數(shù),余弦函數(shù)的定義
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：北師大版必修四高二4.1“單位圓與任意角的正弦函數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的定義”江西省優(yōu)課 
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北師大版必修四高二4.1“單位圓與任意角的正弦函數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的定義”江西省優(yōu)課
“單位圓與任意角的正弦函數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的定義”
第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1、本節(jié)課是北師大版《數(shù)學(xué)4》第一章“三角函數(shù)”中的“單位圓與任意角的正弦函數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的定義（第一課時(shí)）”，其重點(diǎn)內(nèi)容是任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu).通過引入直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)用銳角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角的三角函數(shù)值（坐標(biāo)化）；隨著單位圓的引入（形式優(yōu)化），進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生注意到在單位圓中，銳角和單位圓上的點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)銳角的弧度數(shù)和單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)之間形成函數(shù)關(guān)系（函數(shù)化）；最終形成任意角的三角函數(shù)的概念（一般化）.之后，通過例題闖關(guān)，應(yīng)用了概念，加強(qiáng)了對(duì)概念的理解（概念理解強(qiáng)化）.
2、任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的思維起點(diǎn)，是整個(gè)三角學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長點(diǎn).它的學(xué)習(xí)既是學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)部知識(shí)發(fā)展的需要，又是坐標(biāo)思想、數(shù)形結(jié)合思想的載體，更是對(duì)函數(shù)概念理解和認(rèn)識(shí)的一次升華.學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知沖突，容易激發(fā)學(xué)生思維的積極性，有助于探究、創(chuàng)新能力的培養(yǎng).由銳角三角函數(shù)的定義到任意角三角函數(shù)的定義是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的突破，也是體會(huì)特殊到一般思想的良好素材. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1、知識(shí)與技能：①借助單位圓讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解任意角的三角函數(shù)的定義②讓學(xué)生能根據(jù)定義判定三角函數(shù)的符號(hào)③讓學(xué)生知道公式一，并由此體會(huì)三角函數(shù)的周期性特點(diǎn).
2、過程與方法：①通過回憶初中的銳角三角函數(shù)定義，發(fā)現(xiàn)角概念推廣后其局限性，必須尋找其它方式定義；②在形成新的銳角三角函數(shù)定義的過程中領(lǐng)悟坐標(biāo)法的優(yōu)越性，加深對(duì)函數(shù)概念的理解；③由特殊到一般的思想推廣到任意角的三角函數(shù)定義；④通過探究任意角正弦函數(shù)定義，類比得到任意角的余弦函數(shù)和正切函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生類比分析的能力；⑤通過對(duì)三角函數(shù)值在各個(gè)象限符號(hào)的確定，培養(yǎng)學(xué)生利用規(guī)律解決問題的意識(shí)；⑥通過對(duì)公式一的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)的周期性.
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：①培養(yǎng)學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化的過程中認(rèn)識(shí)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟知識(shí)的整體性；②通過小組合作交流，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作的意識(shí)；③通過對(duì)新知識(shí)的探究，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力和理性思維的能力. 三、教學(xué)重點(diǎn)
1、對(duì)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的理解；2、正弦、余弦、正切函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)符號(hào)的確定；3、三角函數(shù)的周期性特點(diǎn)（公式一）. 四、教學(xué)難點(diǎn)
任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程. 五、學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以邊的比值為函數(shù)值的函數(shù)，以及高中學(xué)習(xí)過的函數(shù)的定義和任意角及弧度制，這些是學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)和依據(jù).本節(jié)課從研究銳角三角函數(shù)的概念出發(fā)，更容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，從而催生學(xué)生創(chuàng)造性思維.在概念建構(gòu)的過程中，學(xué)生必需經(jīng)歷由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程以及把新的概念納入到一般函數(shù)的結(jié)構(gòu)之中，這是認(rèn)知過程的一道坎，又是認(rèn)知的一次升華. 六、教學(xué)策略分析
本課采用“引”“探”相結(jié)合的方式，將問題以問題串的形式展現(xiàn)，讓學(xué)生在憤悱中形
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成認(rèn)知沖突，體會(huì)、感悟數(shù)學(xué)研究的一般思路和方法. 課堂中以學(xué)生為主體，將學(xué)生分成若干小組，使學(xué)生全員參與課堂，通過學(xué)生之間合作交流，教師間或參與學(xué)生的討論，對(duì)有困惑的小組或者個(gè)別學(xué)生進(jìn)行幫助和引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究新知識(shí)的能力.此外，為了提高教學(xué)效果，使課堂教學(xué)更生動(dòng)形象，利用多媒體課件進(jìn)行教學(xué). 七、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
（問題1到問題2是溫故知新化過程）
問題1 初中我們?cè)谥苯侨切沃袑W(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，你能回憶出初中銳角的正弦、余弦、正切函數(shù)是怎樣定義的嗎？你能說出它們的自變量是什么，又以什么為函數(shù)值呢？自變量的范圍是什么？
設(shè)計(jì)意圖：要讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開始，因此對(duì)銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)是必不可少的.將銳角三角函數(shù)融入學(xué)生已有的函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，容易為學(xué)生建立起任意角的三角函數(shù)獲取心理邏輯的自然.
問題2 在高中，隨著角的概念的推廣和弧度制的引入，角的范圍變成了全體實(shí)數(shù)R，那么對(duì)于任意角，比如當(dāng)為鈍角時(shí)，角 的“斜邊”這種說法還存在嗎？那么任意角的三角函數(shù)該如何定義呢？
設(shè)計(jì)意圖：利用角的變化作為思維的切入點(diǎn)，打破學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡，感受學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性，即角的范圍擴(kuò)大了，初中銳角三角函數(shù)的定義也應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，這有利于將探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生. （二）提出問題，探求新知
（問題3到問題5是定義坐標(biāo)化過程） 問題3 中國有句古話說的好，“工欲善其事，必先利其器”.隨著角的概念推廣和弧度制的引入，我們一般借助什么工具來研究角？
設(shè)計(jì)意圖：依托學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，觸發(fā)學(xué)生的靈感，為坐標(biāo)法的實(shí)施奠定研究的基礎(chǔ).
問題4 我們先研究哪種角呢？是直接研究任意角的情形還是先研究銳角的情形呢？ 設(shè)計(jì)意圖：以銳角三角函數(shù)的研究為本節(jié)課知識(shí)的“生長點(diǎn)”，這樣的研究符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生有思考的落腳點(diǎn)，更能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本節(jié)課任意角三角函數(shù)概念的建構(gòu)這一教學(xué)難點(diǎn).
問題5 對(duì)于任意角都有始邊和終邊.在直角坐標(biāo)系中，如何放置銳角可以方便研究？在銳角的終邊上任取一點(diǎn)(,)Pab，它與原點(diǎn)O的距離為r，你能用點(diǎn)P的坐標(biāo)及r來表示銳角的三角函數(shù)嗎？
設(shè)計(jì)意圖：把銳角放在直角坐標(biāo)系下對(duì)學(xué)生來說比較簡單，構(gòu)造直角三角形也是一目了然的，這樣可以把復(fù)習(xí)的初中的銳角三角函數(shù)的定義納入直角坐標(biāo)系，將邊長的比變成坐標(biāo)關(guān)系，為任意角的三角函數(shù)定義的給出做好鋪墊.提及“始邊”、“終邊”也是為了概念一般化做鋪墊.
（問題6到問題7是表達(dá)式形式優(yōu)化過程）
問題6 當(dāng)銳角確定，如果改變的終邊上的P點(diǎn)位置，角的正弦值會(huì)發(fā)生改變嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：問正弦值這一種情況，方便師生研究.余弦值和正切值可以類比得到，更方便學(xué)生理解（下面有類似問法也是同樣考慮）;由三角形相似，說明在終邊上任意取點(diǎn)不影響三角函數(shù)值. 這是為單位圓定義的提出做好鋪墊.
問題7 數(shù)學(xué)追求“簡潔美”，既然這三個(gè)比值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)，那么當(dāng)P點(diǎn)選在何處時(shí)，sincos和的形式最簡單？
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設(shè)計(jì)意圖：通過問題的形式過渡，自然得出單位圓的概念.由此便可順勢(shì)得出sincos和的簡化形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“簡潔美”.同時(shí)也明確在單位圓的背景下，銳角和單位圓上P點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系.
（問題8到問題10是函數(shù)化過程）
問題8 當(dāng)銳角發(fā)生變化時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變嗎？（追問）當(dāng)銳角確定了，P點(diǎn)的坐標(biāo)是否唯一確定？（配合動(dòng)畫演示）（教師板書：任意銳角（實(shí)數(shù)）→唯一實(shí)數(shù)b；任意銳角（實(shí)數(shù)）→唯一實(shí)數(shù)a.）
設(shè)計(jì)意圖：初中學(xué)生對(duì)函數(shù)理解還比較膚淺，這里提出的問題扣準(zhǔn)了函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出了變量之間的依賴關(guān)系及對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從一般函數(shù)知識(shí)演繹到三角函數(shù)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，是準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵.
問題9 你能給這個(gè)函數(shù)（任意銳角（實(shí)數(shù)）→唯一實(shí)數(shù)b）命名嗎？
設(shè)計(jì)意圖：只單問一個(gè)函數(shù)，可以方便學(xué)生思考，也方便師生共同總結(jié)，還可以讓學(xué)生在自行總結(jié)任意角的三角函數(shù)概念時(shí)有參照對(duì)象.
問題10 既然是函數(shù)，你能說出銳角正弦函數(shù)的自變量嗎？以什么為函數(shù)值呢？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能更好的理解銳角三角函數(shù)的定義，同時(shí)為總結(jié)任意角三角函數(shù)定義打好基礎(chǔ).
（問題11到問題12是特殊到一般化過程）
問題11 我們現(xiàn)在得到的銳角三角函數(shù)的定義和初中所學(xué)銳角三角函數(shù)定義有什么區(qū)別？ 設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新的定義方式的理解，讓學(xué)生意識(shí)到任意角沒有“斜邊”，但是有“始邊”、“終邊”，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意角，如果始邊放在x軸非負(fù)半軸上，其終邊定與單位圓有唯一交點(diǎn)，從而能形成函數(shù)關(guān)系.為歸納任意角三角函數(shù)概念掃清心理障礙.
問題12 由特殊到一般的思想，你能給任意角的三角函數(shù)下一個(gè)定義嗎？（教師在與學(xué)生交流中，板書定義）
設(shè)計(jì)意圖：利用類比、遷移的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生容易給出任意角的三角函數(shù)定義.學(xué)生可以意識(shí)到銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的特例，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的自然延伸. （三）分析思考，加深理解
（下列問題是概念理解強(qiáng)化過程）
問題13 既然它們是函數(shù)，就要注意其定義域，它是函數(shù)的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域分別是什么？ 設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，強(qiáng)調(diào)了其函數(shù)屬性.
問題14 當(dāng)為銳角時(shí)，sin,cos,tan的值都是正數(shù)，當(dāng)的終邊落在各個(gè)象限時(shí)，它們分別取什么符號(hào)？
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比銳角三角函數(shù)，讓學(xué)生再次回憶任意角三角函數(shù)的定義，培養(yǎng)學(xué)生利用規(guī)律解決問題的意識(shí).
設(shè)置一個(gè)閱讀環(huán)節(jié)，讓學(xué)生閱讀“三角函數(shù)名稱由來簡史”.
設(shè)計(jì)意圖：通過三角知識(shí)簡史的閱讀，讓學(xué)生有新奇感，同時(shí)提高課堂的數(shù)學(xué)文化感，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)是源于生活的.以此，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. （四）強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固雙基 第一關(guān) 求
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的正弦、余弦和正切的值. 設(shè)計(jì)意圖：將例題以闖關(guān)的形式呈現(xiàn)，和綜藝節(jié)目設(shè)置相似，寓教于樂，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；明確已知角的終邊，要求其三角函數(shù)值，可以先求終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，通過運(yùn)
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用概念，鞏固對(duì)概念的理解. 問題15 （追問）求
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的正弦、余弦和正切的值. 設(shè)計(jì)意圖：引起學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角的終邊是重合的，所以它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相同，由任意角三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等的.讓學(xué)生體驗(yàn)到公式一的作用和三角函數(shù)的周期性.
第二關(guān) 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1）cos260
； （2）sin()4
； （3）tan(700)； （4）tan3.
第三關(guān) 求下列三角函數(shù)值：
(1)sin(1050)； 9(2)cos4； 11(3)tan()6
. 設(shè)計(jì)意圖：判斷三角函數(shù)值的正負(fù)符號(hào)，是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一，引導(dǎo)學(xué)生抓住定義、數(shù)
形結(jié)合判斷三角函數(shù)值的正負(fù)符號(hào)，同時(shí)應(yīng)用終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等的這一結(jié)論.
第四關(guān) 已知角
的終邊經(jīng)過點(diǎn)0(3,4),P求角的正弦，余弦和正切值.
0(3,4)(0),Paaa情況又如何？
設(shè)計(jì)意圖：該點(diǎn)不在單位圓上，與例題1的解法對(duì)比；為課后探究“角終邊上任一點(diǎn)
(,)Qxy，求角的正弦、余弦和正切的值.”這一問題作鋪墊；增加了一個(gè)問題，加強(qiáng)了
學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解，同時(shí)滲透了分類討論的思想. （五）課堂小結(jié),升華提高
知識(shí)與技能：任意角三角函數(shù)的定義（單位圓）；能根據(jù)定義判定三角函數(shù)的符號(hào)；公式一（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等）即三角函數(shù)的周期性特點(diǎn). 思想與方法：坐標(biāo)法、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化、分類討論.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己總結(jié)，教師補(bǔ)充，并且提醒學(xué)生知識(shí)重要，探究的思想與方法更重要，體現(xiàn)了教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的新課標(biāo)理念.
（六）作業(yè)布置：1、課本15頁練習(xí)2、3、5.
2、假設(shè)角的頂點(diǎn)是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，
已知角終邊上任一點(diǎn)(,)Qxy，求角的正弦、余弦和正切函數(shù)值. 3、通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你對(duì)任意角三角函數(shù)有哪些新的認(rèn)識(shí)？利用定義你能解決哪些問題？你還有哪些不明白的地方？請(qǐng)把它寫下來.
設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)作業(yè)的多樣性，鼓勵(lì)學(xué)有余力的同學(xué)課后探究，因材施教，多元發(fā)展. 教師和學(xué)生同唱?jiǎng)?lì)志歌曲《奔跑》，課堂在歌聲中結(jié)束.
設(shè)計(jì)意圖：拉近師生關(guān)系，也鼓勵(lì)學(xué)生不畏艱難，在學(xué)習(xí)過程中保持奔跑的態(tài)度.在數(shù)
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學(xué)課堂也可以滲透品德教育.
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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