視頻簡介：
視頻標簽：函數的零點與方程的解
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教版A版（2019年版）高一必修1《函數的零點與方程的解》莘縣
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人教版A版（2019年版）高一必修1《函數的零點與方程的解》莘縣第一中學設計
《4.5.1 函數的零點與方程的解》教學設計
本課內容選自高中數學必修第一冊第四章第五節新授課第一課時《函數的零點與方程的解》。
一、教學目標
（一）三維目標
-
知識與技能目標：理解函數零點的概念，體會函數的零點與方程的解及函數圖象與 x 軸交點的關系；會求函數的零點；理解并掌握函數零點存在定理。
-
過程與方法目標：從已知的二次函數零點出發，得出一般函數零點的概念，并從數與形
的角度理解函數的零點、方程的解、函數圖象與 x 軸交點間的等價關系；以探究的方法認識和歸納函數零點存在定理，并通過具體的實例理解定理的充分不必要性。
-
情感態度價值觀：從函數與方程的聯系中體驗數學結合思想、從特殊到一般的歸納思想，
培養學生的思維能力以及分析問題解決問題的能力。
（二）重、難點重點：函數零點的概念；函數的零點與方程的解的關系；函數零點存在定理難點：函數零點存在定理的理解與應用
二、教學過程
（一）課題引入
歷史典故：在神圣的羅馬帝國時期，人們經常在公共場所舉辦解方程比賽，其盛大景況可與明星演唱會相媲美。當時的羅馬帝國皇帝腓特烈二世也是個數學迷。有一次他舉辦了一
場宮廷數學競賽，其中一道競賽題目是求三次方程
x32
x10
x200
的根。來自比薩的大數學家斐波那契成功地獲得了它的近似解，并精確到了小數點后 6 位。
最終斐波那契贏得了比賽，深受皇帝的贊賞。
師：由于當時的歷史原因，斐波那契的方法并沒有被記錄下來，這也是數學史上的未解之謎。那么生活在高科技時代的我們，不借助計算工具能否也能像斐波那契那樣求出這個三次方程的近似解嗎？答案是：你可以！
設計意圖：讓學生了解數學史上的歷史故事，引出本節課的課題，提高學生的學習興趣，激發學生的學習欲望。
從學生已學的二次函數的零點概念入手，給出三個函數
y2
x6、
yln
x1、
yln
x2
x6，引出一般函數的零點的概念，讓學生體會從特
殊到一般的數學歸納思想。
設計意圖：讓學生從已知到未知，從特殊到一般，提出問題，大膽創新。
（二）歸納新知
-
函數的零點的概念：對于一般函數 y f(x)，我們把使 f(x)0的實數 叫做函x
數
y
f(
x)的零點。
-
函數的零點的意義：函數 y f(x)的零點就是方程 f(x)0的實數解，也就是函數y f(x)的圖象與 軸交點的橫坐標。x
即方程
f(
x)0有實數解 函數
y
f(
x)有零點 函數
y
f(
x)的圖象與 軸有
x 公共點。
-
對函數零點的理解：
從“數”的角度（方程
f(
x)0的實數解）和“形”的角度（函數
y
f(
x)的圖象與
x軸交點的橫坐標）兩方面讓學生體會數形結合和函數與方程兩個重要思想。然后回歸到本節起點快速求函數
y2
x6、
yln
x1的零點。
學生口答：練一練：1、求下列函數的零點
（ 1 ）
y2
x4 （ 2 ）
ylog
2x （3）
2、函數
f(
x)2
x23
x1的零點是（ ）
A.
,1 B.
,1 C.(
,1) D.(
,0),(1,0)
3、已知 是函數2
y
x2
ax2的零點，則
a .
設計意圖：讓學生快速應用函數的零點與方程的解的關系，題目不難，但具有代表性，既有數又有形，及時鞏固新知。
（三）定理探究
問：函數
yln
x2
x6有沒有零點？如果有，如何研究？
探究 1（學生口答）：觀察函數
f(
x)
x22
x3的圖象：
（1）在[2,0]上，
f(2)
f(0) 0（ 或 ） 函數 在
f(
x) (2,0)上 （有或無）零點；
（2）在 上，[2,4] f(2)f(4) 0（ 或 ）
函數 在 上
f(
x) (2,4) （有或無）零點. 設計意圖：從學生熟知的二次函數進行探究，借助圖象，初步體會函數值的取值規律與函數零點是否存在之間的關系。
探究 2（學生口答）:觀察函數
y
f(
x)的圖象：
-
在 上，[a,b] f(a)f(b) 0（ 或 ） 函數 在 上f(x) (a,b) （有或無）零點；
-
在 上，[b,c] f(b)f(c) 0（ 或 ） 函數 在 上f(x) (b,c) （有或無）零點；
-
在 上，[a,d] f(a)f(d) 0（ 或 ）
函數 在 上
f(
x) (
a,
d) （有或無）零點.
設計意圖：讓學生利用一般函數的圖象再次體會函數值的取值規律與函數零點是否存在之間的關系，進一步加深學生已有的猜測。
問 1：根據以上兩個探究，你能得到什么結論？設計意圖：讓學生大膽創新，說出自己的結論。
問 2：函數 在區間 上滿足
f(
x) [
a,
b]
f(
a)
f(
b)0，則函數 在區間 上一定有
f(
x) (
a,
b)
零點嗎？設計意圖：讓學生舉出反例，重點引出函數零點存在定理的兩個關鍵條件。
1、零點存在定理：如果函數
y
f(
x)在區間 上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有[
a,
b]
f(
a)
f(
b)0，那么函數
y
f(
x)在區間 內至少有一個零點，即存在(
a,
b)
c (
a,
b)。
使
f(
c)0,這個 就是方程
c f(
x)0的解.
（學生板演）練一練：判斷函數
f(
x)
x33
x1在下列區間上是否有零點？
（1）(2,2) （2）(1,2)
設計意圖：及時應用反饋，加深對定理的記憶和理解。
2、定理理解（小組討論，合作交流）問：（1）若函數滿足連續且
f(
a)
f(
b)0，則函數在區間 上存在零點，有幾個？(
a,
b)
-
若函數滿足連續且 f(a)f(b)0，且在區間 上單調，則函數在區間(a,b) (a,b) 上有幾個零點？
-
若函數滿足連續且 f(a)f(b)0，則函數在 上一定沒有零點嗎？(a,b)
-
若函數y f(x)是連續不斷的函數，則“ f(a)f(b)0”是“函數y f(x)在
區間 上有零點”的(
a,
b) 條件？
設計意圖：一連串的問題，層層遞進，拓展學生的思維，小組合作，探索總結出函數零點唯一的條件，理解函數零點存在定理的充分不必要性。
例 1：求函數
f(
x)ln
x2
x6在區間 上的零點個數(1,3) .
變式：求函數
f(
x)ln
x2
x6的零點個數.
設計意圖：例 1 是零點存在定理的再次應用。變式回扣本節課導入環節提出的問題，通過
本節課的學習讓問題迎刃而解，學生有獲得感和成就感。
想一想：能否用其他方法研究本題？
設計意圖：拓展學生的思維，鍛煉學生的邏輯能力，讓學生體會數形結合思想和轉化與化歸思想的應用。
（四）課堂檢測
1、函數
y4
x2的零點是（ ）
A.2
B.(2,0)
C.(
,0)
D.
2x4,x0 f(x)
-
函數 lgx,x0 的零點是 .
6
-
已知函數 f(x)
log2x,在下列區間中，包含函數 的零點的是（f(x) ） x
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,)
4、已知函數
y
f(
x)是連續不斷地，且有如下對應值表，則函數至少存在幾個零點？
（五）課堂小結：本節課你都學到了什么？
-
函數零點的概念，函數零點與方程的解的關系；
-
會求函數的零點；
-
用函數零點存在定理判斷零點所在區間.
-
數形結合思想和函數與方程思想
問：歷史典故中的方程
x32
x10
x200在區間 上有解嗎？(1,2)
答：有。
問：那我們能否求出這個解的近似解？我們下一節課繼續研究！
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