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視頻標簽：數學建模,一次函數的應用
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級下冊第19章《初中數學建模一次函數的應用》 福建
教學設計、課堂實錄及教案：初中數學人教版八年級下冊第19章《初中數學建模一次函數的應用》 福建省廈門集美中學
課題：《初中數學建模：一次函數的應用》
班級：初二（7）班 時間：2017年5月4日
一、教學目標
1.知識技能：理解一次函數本質，會構造一次函數模型；探究數學建模的基本規律，體會一次函數建模的方法；結合對一次函數關系的分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測，能解決簡單的實際問題.
2.數學能力：經歷一次函數“數-形-數-式”函數建模的過程，發展學生數學學習核心素養；利用待定系數法、圖象法，發展學生的數學分析能力，在實際問題中培養學生的應用意識和讀圖能力，發展學生的創新能力.
3.數學思想：在探究一次函數建模的過程中，感悟數學模型思想、數形結合等思想，體會數學知識、各學科、生活三者的聯系，運用數學的思維方式進行思考，了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣.
二、教學重難點
重點：會構造一次函數模型，并利用函數模型解決實際問題. 難點：從實際問題中抽象出一次函數模型.
三、學情分析
八年級下學期學生的認知水平還處在具體運算和形式運算的過渡發展階段，學習一次函數，意味著學生由常量數學的學習進入變量數學的學習，學生的思維方式要隨之改變，這是對學生思維能力的考驗，也是其數學認識的一次重要飛躍.利用一次函數解決簡單實際問題對于學生而言并不太難，難點在于對一次函數知識理解深度不夠，對解析式與圖象的內在聯系運用較薄弱.通過實際問題抽象出函數模型是學生第一次接觸到的內容，對于他們而言既新鮮又陌生.為此，本節課從學生感興趣的問題情境入手，帶領學生感知一次函數，從數和形的角度引導學生自主探究，并在合作交流的基礎上創造性學習．
四、教學過程
（一）新知學習
情景1.已知兩個變量x和y，它們之間的對應值如下表所示.
從中你發現了什么： （1）m的值是 .
（2）y 與x之間的函數關系式可能是 .
A．y＝x B．y＝x＋2
C．y＝x2＋x＋1
D．y＝3
x
（3）嘗試在直角坐標系中畫出y 與x的函數圖象，并說說這個函數圖象有什么特征？
【師生活動】（1）回憶函數的三種表示方法：解析式法，列表法和圖象法，引導學生說出畫函數圖象的方法——描點法和基本步驟——列表，描點，連線.（2）觀察圖象，發現
x
... -2 -1 0 1 2 ... y
...
0
1
2
3
m
...
2
此函數的圖象為直線，辨析、深化一次函數“形”到“數”的聯系.(3)回憶利用“待定系數法”確定一次函數圖象的解析式的步驟.
【設計意圖】引導學生回顧畫函數圖象的一般方法和各個步驟，進一步從“運動變化和聯系對應”的角度認識函數，發現變量之間存在對應關系，初步體會一次函數模型的建立過程,滲透函數模型建立的方法.
（二）自主探究 活動1 世界人口統計
1960年至2010年世界人口數近似地由下表給出：
【師生活動】教師分析題意，學生自主探究.
問題1 根據表中的數據，你能預測2020年世界人口數嗎？
追問1: 這個問題中有幾個變量？自變量和因變量是什么？它們之間是函數關系嗎？ 追問2：觀察描出的點的分布情況，猜測兩個變量x,y之間是何種函數關系？ 問題2選擇一個近似于人口增長曲線的 函數，并寫出它的解析式. 追問1：回憶一次函數的圖象及其性質，說說一次函數圖象的特點嗎？ 追問2：如何建立一次函數模型，應該選取幾個點？
追問3：既然建立一次函數模型只需要選取兩個點，如何選點？
（教師借助幾何畫板展示，生動地再現學生選點的過程，讓學生體會建立函數模型的意義.進一步引發學生思考，如何選點可以使得所建立的函數模型更貼近生活實際.）
x
y
1950
2010
2000
1990
1980
1970
1960
10
20
30
40
50
60
70
隱藏直線MN隱藏直線AE
顯示直線BE顯示直線AD顯示直線BD
顯示直線CE顯示直線DE顯示直線CD顯示直線BC
顯示直線AB顯示直線ACO
A(1960,30)
B(1974,40)
C(1987,50)
D(1999,60)
E(2010,69)
N(1993,52)
M(1950,25)
問題3按照這樣的增長趨勢，請你利用所建立的函數模型估計2020年的世界人口數. 【設計意圖】獨立思考，初步形成一次函數建模的步驟，將新舊知識相聯系，更新知識結構.著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，為后續合作探究預熱.
（三）合作提升
活動2 為提醒人們節約用水，及時修好漏水的水龍頭．兩組同學分別做了水龍頭漏水實驗.
【師生活動】學生代表展示實驗成功，分組合作探究，學生為主體，教師為引導者. 實驗一：A組同學在做水龍頭漏水實驗時，每隔10秒觀察量筒中水的體積，記錄的數據填寫下表（漏出的水量精確到1毫升）：
問題1 在圖1坐標系中描出上表中數據對應的點.
問題2 如果A組同學繼續實驗，請探求多少秒后量筒中的水會滿面溢出（精確到1秒）？ 問題3 按此漏水速度，一小時會漏水_________（精確到0.1千克）
實驗二：B組同學根據自己的實驗數據畫出的圖象，你能得到哪些有用信息，為什么圖象中會出現與橫軸“平行”的部分？
【師生活動】學生展示實驗成功，分組合作探究. （1）學生分組合作，結合活動1的探究思路，嘗試給出研究水龍頭滴水問題的研究方法：“獲取數據” “列表” “描點” “作圖” “建模”.
（2）教師設置問題串，引導學生探究方案應從測量工具（有帶刻度的量杯，量筒），時間（秒、分鐘或是小時作為測量的單位時間），存在問題（量杯有固定的容量，測量的漏水量受容器影響）等角度考慮.
（3）學生整理實驗數據，作圖，觀察圖象性質，建立數學模型，為水龍頭漏水問題提供數據支持，引發節約用水，從點點滴滴做起的思考.深化數學模型來源于生活，又服務于生活，讓學生意識到學好數學的重要性.
【設計意圖】通過合作探究，學生置身于生活情境中，發揮主人翁的意識，積極探索，合作交流，在實踐中，經歷思維火花的碰撞，自然而然地收獲函數建模的方法，體會一次函數建模的重要性.既調動學生學習的積極性，在愉快的氛圍中，又經歷獲取實驗數據“數”，描繪圖象“形”，到構造一次函數解析式“式”，再到一次函數圖象“形”的過程.在合作交流中，培養學生的應用意識和創新能力，發展學生的數學核心素養.
（四）引導發展
問題1 利用一次函數模型解決實際問題的一般步驟？ （1）將實驗得到的數據在直角坐標系中描出；
（2）觀察這些點的特征，確定選用的函數形式，并求出具體的函數表達式； （3）進行檢驗；
（4）應用函數模型解決問題.
問題2 如何確定實際問題應該選擇哪種函數模型，以一次函數模型為例？
1.作圖：觀察圖象，若圖象的特征是直線型：如直線、射線、線段，則可判定函數的類型為一次函數.
時間t （秒）
10
20 30 40 50 60 70 漏出的水量V（毫升） 2
5
8
11
14
17
20
4
2.分析數據：若因變量是隨自變量均勻變化的，函數的類型也是一次函數. 3.取點：選取最靠近直線的整點，利用待定系數法bkxy，求出k，b.
追問：如果僅提供兩組有序數對，能否確定函數模型？（建立函數模型基本上都要借助圖象，如果只有兩組數據，很難確定圖象的趨勢.有代表性的有序數對越多，建立起來的函數模型越貼近實際問題.）
【設計意圖】 回顧一次函數數學建模的過程，通過追問引導學生思考建模的常用步驟，形成認識，加深理解.為今后借助一次函數解決實際問題提供可行的方法指導，也會后期抽象數學模型解決實際問題提供一種思路.
（五）成效評價
1.如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距.某研究表明，一般情況下人的身高h是指距d的函數.下表是測得的指距與身高的一組數據：
指距d/cm 20 21 22 23 身高h/cm
160
169
178
187
（1）求出h與d之間的函數關系式 （2）某人身高為196cm，一般情況下，他的指距是多少？
2.為了學生的身體健康，學校課桌、凳的高度都是按一定的關系科學設計的.小明對學校所添置的一批課桌、凳進行觀察研究，發現它們可以根據人的身長調節高度.于是，他測量了一套課桌、凳子相應的四檔高度，得到如下數據：
高 度
檔次
第一檔 第二檔 第三檔 第四檔 凳高x/cm 37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y/cm
70.0
74.8
78.0
82.8
（1）求出桌高y是凳高x的函數關系式.
（2）小明回家后，測量了家里的寫字臺和凳子，寫字臺的高度為77.0cm,凳子的高度為43.5cm，請你判斷它們是否配套？說明理由.
【設計意圖】通過觀察表格發現規律，觀察圖象發現特征，強化觀察能力，形成數學建模意識，培養創新意識.
3.問題:本節課我們研究了什么？是怎樣研究的？得到了哪些成果？在研究過程中，你覺得收獲最大的是什么？
【設計意圖】不僅從數學知識技能方面，還要從數學方法和數學思想上總結收獲，教師再概括引導提升對一次函數建模的認識，了解研究一種函數模型的一般方法.
（六）課后反饋
課后思考：請你選擇一個可以應用函數模型解決的問題（如:①乒乓球反彈高度實驗、②溫度計的攝氏溫度與華氏溫度等），并建立合適的函數模型.
【設計意圖】課后反饋，對本節課所學知識，方法進行鞏固與提升．讓學生認識數學的應用價值，形成積極的應用意識，進而形成對社會發展的關注意識和參與意識.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
