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視頻標簽：學習最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊第十三章13.4課題學習最短路徑問題-福建省 - 南平
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初中數學人教版八年級上冊第十三章13.4課題學習最短路徑問題-福建省 - 南平
課題：§13·4 課題學習 最短路徑問題（第2課時）
【人教版八年級上學期】
___南平_市____市屬____縣（市、區） 學校 南平四中 姓名 周麗娟 內容分析 1.課標要求 “課題學習”，著重在于考查學生綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。本節課是“最短路徑問題（第2課時）”，讓學生經歷用“平移變換”和“兩點之間，線段最短”來尋求分析問題和解決問題的方法的過程，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，體會圖形變化在解決問題中的作用，感悟轉化的思想。 2.教材分析
知識層面：本節課的教學內容是研究一道有趣的“造橋選址”問題，充分體現了利用平移變換實現問題轉化，從而有效求解。學生是在已經學習了三角形及平移、軸對稱知識的基礎上進行的有關最短路徑問題的研究。最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段主要以“兩點之間，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究。
本節課以“造橋選址”為背景，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用平移將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。對它的學習和研究，有助于對最短路徑問題的分析、解決。為今后在求立體圖形、圓、平面直角坐標系中求最值問題提供了方法。
能力層面：學生在七年級和上節課的學習過程中，已經掌握了用與最值有關的公理、定理解決問題的推理能力。“造橋選址”是實際生活中的極值問題，在這個問題中，平移起了一個橋梁作用，學習過程的本質是推理與化歸的過程。有助于提高學生的推理能力、應用意識；分析問題、解決問題的能力。
思想層面：本節課在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中滲透數學建模的思想。在如何將三條線段的和轉化為兩條線段的和的探索過程中體現了轉化的思想。在最值問題的證明中，“任取”一點'C(除了點C外)，由于點'C的任意性，所以結論對于直線上的每一點（除了點C外）都成立，這在數學中常采用的方法，體現了化歸的思想。 3.學情分析
最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中學生，在此之前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有具體背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手 。
與上節課相比，本節課的問題更為復雜，出現了三段線段的和最小問題，解答“當點N在直線2l的什么位置時，NBMNAM最小?”需要將其轉化為“當點N在直線2l的什么位置時，NBAM最小?”。能否這樣轉化，如何實現這樣
的轉化？有的學生會存在理解上和操作上的困難，還有的學生可能會受思維慣性的影響（上節課學習了“利用軸對稱解決最短路徑問題”）。在教學中要巧妙引導，其本質還是在于對“兩點之間，線段最短”的深刻理解。
在證明“在直線2l上任取一點'
N（與所求做的點不重合），B
NNMAM''''大于NBMNAM”，這種思路和方法，學生有了上節課的經驗，容易想到。教師要適時點撥，讓學生體會“任意”，并在小組合作中展開討論，讓學生自己證明。 教學目標
對教學內容的研究是為了制定精準的教學目標，本節課的總體教學目標是：能利用平移解決最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中作用，感悟轉化的思想。 具體體現如下：
（1)知識與技能：初步學會利用三角形、平移性質等知識，求線段和的最小值，會解決簡單的最短路徑問題；
（2）數學思考：經歷問題探究的過程，感受圖形變換、轉化等數學思想方法，體驗數學思考的嚴謹性；
（3）問題解決：經歷與同學合作討論交流解決問題的過程，嘗試解釋自己解決問題的方法；
（4）情感與態度：在學習過程中，體會數學與生活的關系；激發學生學習數學的興趣；培養學生的合作精神。
重點：利用平移將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。 難點：如何利用平移將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。 關鍵：利用平移將橋的長度巧妙地化解開去。
設計意圖：學生能將實際問題中的“地點”“河岸”“橋”抽象為數學中的“點”“線”“線段”，把實際問題抽象為數學的線段和最小問題；能利用河的寬度固定，利用平移巧妙地將兩河岸巧妙“二合一”為一條直線，從而將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題；會用與上節課類似的方法證明問題，體現了化歸的思想，提高學生的應用意識。
策略分析
教學目標的達成需要有效的教學策略，依據教學內容和學生情況，為解決教學問題，本節課采取“問題串”的方式組織教學活動。在教學中我以小故事的方式推動教學，設計了一系列的問題，由易到難，層層深入，引導學生在逐步解決
問題的過程中理解找到符合條件的點的方法和原理；這樣使問題簡單化，學生易于理解和掌握。從而達到突出重點、突破難點，化難為易的目的。
教學過程 一、復習引入
師：“最短路徑問題”是大家很熟悉的一個話題，生活中的應用非常廣泛： （圖片1）在城市建設時經常將彎曲的河道改直，這樣做的數學依據是什么？
生：兩點之間，線段最短
（圖片2）測量學生跳遠成績的數學依據是什么？ 生：垂線段最短
（圖片3）在兩岸平行的河面上如何建橋最經濟最科學，它的數學依據是什么？
生：垂線段最短
師：我們要學會運用數學知識來美化我們的生活。上節課我們一起討論了兩個非常有趣的話題“將軍飲馬”問題。
如圖1：將軍從A地出發到一條筆直的小溪邊l 飲馬，然后到B 地．到溪邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？
問1：你能用數學語言描述這個問題嗎？
生：A,B兩點在直線l兩側，在直線l上找點C使CA+CB最小 問2：你是如何找到點C的，依據是什么？
生：連接AB交直線l于C點，C點就是要找的點，依據是“兩點之間，線段最短”
如圖2：將軍從圖中的A 地出發,到一條筆直的河邊l 飲馬,然后到B 地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?
問1：你能用數學語言描述這個問題嗎？
生：A,B兩點在直線l同側，在直線l上找點C使CA+CB最小 問2：你是如何找到點C的，依據是什么？
生：作B點關于直線l的對稱點B′點，連接AB′交直線l于C點，C點就是要找的點，依據是“兩點之間，線段最短” 師：剛才兩位同學的回答都非常準確，這兩個問題實際上就是求“兩點一線”型的線段和最小值問題
（1）兩點在直線l的異側 （2）兩點在直線l的同側
兩點在直線l的異側時，利用“兩點之間，線段最短”找點C，兩點在直線l的同側時，利用軸對稱將直線同側兩點轉化為異側兩點，再利用“兩點之間，線段最短”找點C。
轉化思想是解決數學問題的一種重要思想方法 1、實際生活問題轉化為數學問題
2、兩點在直線同側問題轉化為兩點在直線異側問題。 設計意圖：通過復習，滲透轉化思想。
我們繼續研究“將軍飲馬”問題，將軍又搬家了，搬到哪呢？我們一起來看題：
A、B兩地在一條大河的兩岸，將軍現要在河上造一座橋MN，才能從A到B地。（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）使得從A到B的距離最短，橋應該造在何處？這又出現了一個“最短路徑問題”。
在本節課中會運用怎樣的圖形變換來解決這個問題呢？ 二、自主探究 活動一、 分析問題：
問題1：對于這個實際問題，我們首先要做什么？
C
B
A
C
B
A
N
M
河流
圖1
P
圖2
河岸
B
A
B
A
生：首先把實際問題轉化為數學問題。 追問1：能在實際問題中抽象出幾何圖形嗎?
生：具體地可以將A、B兩地抽象為兩個點，將河的兩岸抽象為兩條互相平行的直線，將橋抽象為一條與直線垂直的線段MN。
我們要解決的問題就是找到滿足條件的線段MN的具體位置。 追問2：對于橋的確定需要幾個點？
生：兩個（點NM,） 追問3：如果已知一個點可以確定另一個點嗎？ 生思考并回答：可以。
師：這樣把找“一條線段MN”的問題就轉化為“找一個點”的問題了。 追問4：綜合以上分析，請結合圖形用數學語言來描述這個問題？
學生思考討論，并相互補充，最后達成共識：如圖3，直線1l∥2l，點N為直線2l上的一個動點，2MNl，交直線1l于點M，當點N位于什么位置時，NBMNAM最小？
也可說成：如圖3，直線1l∥2l，點M為直線1l上的一個動點，1MNl，交直線2l于點N，當點M位于什么位置時，NBMNAM最小？
設計意圖：讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。
三、合作提升 活動二、解決問題
追問3：問題中要求的N點位于何處NBMNAM最小，在這三條線段中，有哪些線段的長度會隨著點N位置變化而變化？
生：由于河岸是互相平行的且橋要與河岸垂直，決定了橋的長度MN就是河寬，無論橋造在何處，MN是必經路線，所以我認為NBMNAM最小本質上
MMN
N
N
MB
河流
A
b3
圖
就是NBAM最小。
追問4：這位同學的分析很準確，這是一個很大的突破，那么怎樣保證
NBAM最小呢？
學生思考。
追問5：如圖4，假設點A、B中間不是隔著一條河（平行線），而是一條直線，你會解決這個問題嗎？ 生：直接連接A、B即可。
圖4 圖5
追問6：我們現在將一條直線轉化成了一條河，這兩個問題之間有什么聯系？你能把今天的問題轉化為前面的問題來解決嗎？
學生小組討論，動手操作，老師觀察 生1：將直線a向直線b平移，與b重合，連接AB交b于點N,N點就是所要找的點。
生2：將直線a向直線b平移，平移的方向為“與河岸垂直”，平移的距離為“河寬”，
使兩直線重合，但點A也需要同樣的平移，否則點A與河岸的距離會發生變化。這樣就轉化為假設的問題了，從而找到建橋點N。
師動畫演示。
師：如何清楚地表達這種方法？并畫出圖形。 學生小組合作交流，相互補充
生：過點A作射線ACa,在AC上截取'AA河寬，連接BA'，交直線b于點N，點N即為所求。
設計意圖：通過搭建平臺，將“三條線段和”的問題，轉化為“兩條線段和” 的問題；將“兩平行線”轉化為“一條直線”問題。通過這兩個臺階，降低問題的難度，滲透轉化思想，提高學生分析問題、解決問題的能力。
四、引導發展 活動三、證明問題
通過幾何畫板演示MN位置變化時路徑大小的變化
師：你能證明這樣找到的點N為符合條件的點嗎？通過上節課的學習，要證明“最大”或“最小”這類問題，通常怎么處理？
生：常常要另任選一個量，通過與需求證的那個“最大”或“最小”的量進行比較來證明。
生：不妨在直線2l上另外取一點'N，作為建橋點，過'N作'NMa，垂足為'M，連接BNAM'',,求證：NBMNAMBNNMAM''''. 學生在學習提綱上進行嘗試證明。 證明：在BNA''中，
,''''BNNABA BNANNBNA'''即
BNAMNBAM''
'
BNNMAMNBMNAM''''
' 即BNMNAM最小。
師：你能解釋小組中出現的各種作法，它們是否符合題意嗎？ 設計意圖：讓學生進一步驗證作法的正確性，提高邏輯思維能力。 五、成效評價
活動四：鞏固練習
如圖，如果A、B兩地有兩條平行的河，要在兩條河上各造一座橋（橋與河岸垂直），如何找到最短距離？
設計意圖：讓學生進一步鞏固利用所學知識解
M'
N'
A'
b
a
C
河流
圖7
B
AM
N
圖8
河流2河流1
B
A
決問題的方法和策略。在小組合作中學習，發展學生的合作意識，培養學生的應用意識、轉化思想。
活動五：課堂小結
教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題： 1.本節課研究實際問題的基本過程是什么？
將實際問題抽象成數學問題，根據題意畫出圖形，體會其中的“變與不變”，運用所學知識解決新問題。
2.平移在所研究的問題中起什么作用？
設計意圖：引導學生把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法，體會平移在解決最短路徑問題中的作用，體會轉化思想的價值。
六、課后反饋 活動六：布置作業 對問題進行拓展
拓展2：如圖10，如果A、B兩地有三條平行的河呢？
拓展3：如圖11，如果在拓展1的條件下，兩條河流不平行呢？
設計意
圖：提高學生利用“最短路徑問題”解決實際問題的能力，體現了學思想重在“悟”。
課題學習 最短路徑問題（第2課時）課堂練習
“造橋選址”問題：A、B兩地在一條大河的兩岸，將軍現要在河上造一座橋MN，才能從A到B地。（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）使得從A到B的距離最短，橋應該造在何處？
1．數學問題：
2．作圖，找出滿足上述條件的點N，并說說作圖步驟。
3．證明：沿垂直于河岸方向平移A到A′，使A A′等于河寬，連接ＢA′交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
4. 如圖，如果
、
兩地有兩條平行的河，要在兩條河上各造一座橋（橋與河岸垂直），如何找到最短距離？
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
