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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊第十三章13.4課題學習最短路徑問題-廣西 - 南寧
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教學目標
1.目標
( 1 ) 前置微視頻學習目標:①了解如何將實際問題抽象為數學的線段和最小問題②會解決“將軍飲馬問題”,理解通過軸對稱實現轉化將線段和最小值問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題,感悟轉化思想.③理解如何通過邏輯推理證明所求距離最短,體會“任意”的作用.
( 2 ) 課堂基礎目標:分析較復雜最短路徑問題.
( 3 ) 課堂拓展目標:在分析較復雜最短路徑問題的基礎上,總結解決這一類最短路徑問題的基本方法與思路,學會舉一反三.
2.目標解析
達成目標的標志是:學生能將實際問題中的“地點”“河邊”抽象為數學中的“點”“線”,把實際問題抽象為數學的線段和最小問題;能利用軸對稱將線段和最小值問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題;能通過邏輯推理證明所求距離最短;在探索最短路徑的過程中,體會到軸對稱的“橋梁”作用,感悟轉化思想..
2學情分析
最短路徑問題從本質上說是最值問題,作為初中學生,在此前很少涉及最值問題,解決這方面問題數學經驗尚顯不足,特別是面對具有實際背景的最值問題,更會感到陌生,無從下手.
解答“當點A,B在直線l的同側時,如何在l上找到點C,使AC與CB的和最小”,需要將其轉化為“直線l異側的兩點,與l上的點的線段和最小”問題,為什么需要轉化、怎樣通過軸對稱實現轉化,一些學生會存在理解上和操作上的困難.
在證明“最短”時,需要在直線上任取一點(與所求做的點不重合),證明所連線段和大于所求作的線段和,這種思路和方法,一些學生想不到.
基于以上分析,教學前,教師先將學生的難點問題制作成微視屏,學生根據自己的學習情況,通過“微視屏”學習,理解怎樣把實際問題抽象為數學的線段和最小問題;怎樣通過軸對稱實現轉化將線段和最小值問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題;怎樣通過邏輯推理證明所求距離最短.
在學生學習了視屏內容以后,課堂教學的重心就放在對于此類最短路徑問題的理解和再應用.教學中先讓學生復習視頻學習的內容,并通過解決前測理解單的問題,總結視屏學習的內容。接著,通過小組學習解決同類變式,拓展提升的問題加強學生對解決最短路徑問題的應用.
3重點難點
最短路徑問題在現實生活中經常遇到,初中階段,主要以“兩點之間,線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”為知識基礎,有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.
本節課以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究,讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題,再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間,線段最短”(或“三角形兩邊之和大于第三邊”)問題.
基于以上分析,確定本節課的教學重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題. 本節課的教學難點是:如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】教學設計
(一)前置微視頻學習
1. 通過微視頻學習學生了解如何將實際問題抽象為數學的線段和最小問題
2. 會解決“將軍飲馬問題”,理解通過軸對稱實現轉化將線段和最小值問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題,感悟轉化思想.
3. 理解如何通過邏輯推理證明所求距離最短,體會“任意”的作用.
設計意圖:學生可通過反復觀看微視頻,充分有效的學習,實現個性化自主學習。
(二)預習檢測
1.閱讀以下問題和解答過程:
如圖1,在公路m旁有兩個工廠A、B,現要在公路上建一下倉庫Q到A、B兩工廠的距離之和最短。倉庫應建在何處?
某同學正確地畫出了圖形,并寫出了畫圖過程.
解:如圖2,
點A關于公路m的對稱點A1;
直線A1B與公路m交于一點Q,倉庫應建在點Q的位置,此時倉庫到A、B兩工廠距離之和最短.
請你回答:這位同學斷定倉庫應建在“直線A1B與公路m的交點Q”的主要依據是( )答案:D
A.垂線段最短
B.兩點確定一條直線
C.兩點之間,直線最短
D.兩點之間,線段最短
2. 如圖,直線l是一條河,P,Q兩地在河的同側,欲在l上的某點M處修建一個水泵站,向P,Q兩地供水,現有如下四種鋪設方案,圖中實線表示鋪設的管道,則鋪設的管道最短的是( )答案:B
A B C D
3.如圖,在平面直角坐標系中,點A(-2,4),B(4,2),在x軸上取一點P,使點P到點A和點B的距離之和最小,則點P的坐標是( )答案:C
A.(-2,0)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,0)
設計意圖:該練習以基礎題為主,是對微視頻學習知識的直接應用,學生通過微視頻學習,能夠比較準確地完成前測理解練習,培養學生自己學習和解決問題的能力.教師也可以通過同學們在線答題的情況,了解每一個學生對微視頻學習知識的掌握情況,并有針對性的對個別錯誤率較低的題通過課堂小組交流解決,對于錯誤率較高的題則由教師評析.
活動2【講授】教學設計
(三)課堂教學
1.交流分享
總結前測理解單的完成情況,并對微視頻學習知識進行復習總結.
設計意圖: 課堂上對于學生的預習所得,給予充分展示,通過學生之間的交流,達到基本知識的認知建構,為課堂教學做準備.
變式訓練
A
如圖,若將軍從A地出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請畫出最短路徑.
設問1:如何將這個問題轉為數學問題?(全班完成)
設問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個人總結)
設計意圖:讓學生分小組討論,嘗試解決這個較復雜的最短路徑問題,學生將微視頻的學習知識加以應用,體會解決最短路徑問題的一般方法并總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上,依據“兩點之間,線段最短”.
(三)課堂教學
1.交流分享
總結前測理解單的完成情況,并對微視頻學習知識進行復習總結.
設計意圖: 課堂上對于學生的預習所得,給予充分展示,通過學生之間的交流,達到基本知識的認知建構,為課堂教學做準備.
變式訓練
A
如圖,若將軍從A地出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請畫出最短路徑.
設問1:如何將這個問題轉為數學問題?(全班完成)
設問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個人總結)
設計意圖:讓學生分小組討論,嘗試解決這個較復雜的最短路徑問題,學生將微視頻的學習知識加以應用,體會解決最短路徑問題的一般方法并總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上,依據“兩點之間,線段最短”.
(三)課堂教學
1.交流分享
總結前測理解單的完成情況,并對微視頻學習知識進行復習總結.
設計意圖: 課堂上對于學生的預習所得,給予充分展示,通過學生之間的交流,達到基本知識的認知建構,為課堂教學做準備.
變式訓練
A
如圖,若將軍從A地出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請畫出最短路徑.
設問1:如何將這個問題轉為數學問題?(全班完成)
設問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個人總結)
設計意圖:讓學生分小組討論,嘗試解決這個較復雜的最短路徑問題,學生將微視頻的學習知識加以應用,體會解決最短路徑問題的一般方法并總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上,依據“兩點之間,線段最短”.
(三)課堂教學
1.交流分享
總結前測理解單的完成情況,并對微視頻學習知識進行復習總結.
設計意圖: 課堂上對于學生的預習所得,給予充分展示,通過學生之間的交流,達到基本知識的認知建構,為課堂教學做準備.
變式訓練
A
如圖,若將軍從A地出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請畫出最短路徑.
設問1:如何將這個問題轉為數學問題?(全班完成)
設問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個人總結)
設計意圖:讓學生分小組討論,嘗試解決這個較復雜的最短路徑問題,學生將微視頻的學習知識加以應用,體會解決最短路徑問題的一般方法并總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上,依據“兩點之間,線段最短”.
(三)課堂教學
1.交流分享
總結前測理解單的完成情況,并對微視頻學習知識進行復習總結.
設計意圖: 課堂上對于學生的預習所得,給予充分展示,通過學生之間的交流,達到基本知識的認知建構,為課堂教學做準備.
變式訓練
A
如圖,若將軍從A地出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到A處,請畫出最短路徑.
設問1:如何將這個問題轉為數學問題?(全班完成)
設問2:如何確定最短路徑?(小組合作)
設問3:解決這一類最短路徑問題的一般步驟是什么?(個人總結)
設計意圖:讓學生分小組討論,嘗試解決這個較復雜的最短路徑問題,學生將微視頻的學習知識加以應用,體會解決最短路徑問題的一般方法并總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上,依據“兩點之間,線段最短”.
活動3【活動】教學設計
拓展突破
B
A A
如圖,若將軍從A地出發,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬.然后回到B處,請畫出最短路徑.
(小組合作解決)
設計意圖:在學生已經歸納、總結相關結論的基礎上進行再應用,體會軸對稱在解決最短路徑問題中的“橋梁“作用.
活動4【活動】教學設計
課堂小結
設問:通過解決最短路徑問題你有什么的收獲?
設計意圖:讓學生總結解決最短路徑問題的收獲,理解解決最短路徑問題的一般方法并總結解決最短路徑問題的關鍵是通過軸對稱變換將“折”路徑轉化在一條直線上,依據“兩點之間,線段最短”. 體會軸對稱在解決最短路徑問題中的“橋梁“作用.
活動5【練習】教學設計
反饋鞏固
1.某班舉行文藝晚會,桌子擺成兩條直線(如圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了桔子,BO桌面上擺滿了糖果,坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,請你幫助他設計一條行走路線,使其所走的總路程最短?
2.如圖,在平面直角坐標系中,點P的坐標是(2,3)點Q 的坐標是(3,2 ).在x
軸和y軸上分別確定點M和點N坐標,使四邊形PQMN的周長最小.
設計意圖:及時反饋課堂學習成果。通過學生在課堂上先獨立做作業,對于難題通過小組解決,組內不能解決的由全班、教師一起解決的形式,及時呈現并解決學生學習中的問題。
活動6【作業】教學設計
7.課后拓展
如圖,將軍要從A地去B地完成任務,兩地之間有一條寬為a的小河,在何處架
橋才能使A地到B地的路程和最短 ?
設計意圖:作為本節課的一個拓展,不需要學生課堂解決,為下節課的引入鋪設
懸念.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
