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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-北京
教學設計、課堂實錄及教案：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-北京市海淀區教師進修學校附屬實驗學校
再談數學中的優化問題——最短路徑
年級
初二
學科
數學
教學背景分析
（一）對課標的理解與把握
《數學課程標準》指出，“無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視學生會的知識技能，而且要激發學生的學習興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數學的基本思想，引導學生在參與數學活動的過程中積累基本經驗，幫助學生形成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等良好的學習習慣．”本節課設計考慮以已有知識為基礎，讓學生經歷數學知識應用過程提，高分析和解決問題的能力；鼓勵學生自主探索與合作交流，注重形成探索解決新問題思路的方法． （二） 教學內容分析
最短路徑在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等圖形變化進行研究.
本節課安排在學習軸對稱性質和等腰三角形之后，以數學史中的一個經典問題——將軍飲馬問題為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，是對軸對稱性質的理解和運用，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題，體現了數學化的過程和轉化思想，發展數學抽象能力. （三） 學生情況分析
學生已經學習了軸對稱和等腰三角形，最短路徑從本質上說是最值問題，最值問題有很多貼近學生的生活實際，作為初中生，已經涉及到的最值問題有“兩點之間”和“直線外一點與直線之間”，相對比較簡單.
剛上初二學生已經初步具備抽象能力，但還處于經驗水平階段，對于線段和最小問題，由于兩條線段長度都在發生變化，對情景的抽象比較容易，但對于問題的抽象存在一定困難.將問題與已有經驗建立聯系學生是有這個意識的，如何建立聯系將問題轉化，一些學生會存在理解和操作上的困難.
教學目標
1.能夠將實際生活中的最短路徑問題轉化成數學中抽象的幾何圖形，將路徑和最小問題用數學符號中的點、直線等表達；
2.經歷“數學抽象、獨立思考、畫圖嘗試、交流感悟、理性思考”的探索過程，能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想；
3.在探索過程中，培養學生的合作交流意識和探索精神；感悟解決問題的方法，提高探索和解決問題的能力.
教學重點和難點
教學重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為兩點之間線段最短問題 教學難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題 教學資源、教學手段和主要教學方法
多媒體課件（ppt和幾何畫板）、圓規、三角板、激光筆、小鏡片 多媒體、教具輔助教學
自主探究、合作交流、對話式教學法 教學設計思路
情景導入 問題再續
數學抽象 獨立探索 合作交流 追根溯源
遷移運用 感悟轉化
系列推廣 歸納總結
第2頁 共4頁
教學過程 教學環節 教師為主的活動
學生為主的活動
設計意圖
一、 情境 導入 ， 問題 再續． 二、 數學 抽象 ， 獨立 探索 三、 合作 交流， 追根 溯源
教師出示幻燈片：
情景1: 老虎到狐貍洞 情景2: 行人過人行橫道 提出問題：觀察這兩個情景，選擇哪條路最近？理由是什么？ 教師創設一個探究情景：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題： 從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？ 【問1】要解決這個問題首先需要做什么？（如圖1，演示幾何畫板） 【問2】用自己的語言說說問題是什么？ （如圖2）
【問3】怎么找到點C位置呢？
巡視，觀察學生所畫圖形，關注找點C的不同方式.讓學生展示自己的畫法
【問4】運用軸對稱后，為什么“兩點
之間線段最短”能說明“AC+BC”最短？
學生觀察，表達自己想法 學生說出理由分別是“兩點之間、線段最短”和“垂線段最短”
學生將實際問題抽象成數學問題，畫出圖形 lBA
圖1 lCB
A圖2 明確問題：在l上求作一點C，使AC+BC最小
學生獨立思考，畫圖嘗試；交流（為什么這樣找點C） 學生在黑板上畫圖
（預案3個或更多） 預案 lB
A
lBA
C'
l
C'
C
B'
BA
„„ 學生說明自己找點C的方式，說出“它使得路徑最短的依據” 有畫面感，更容
易吸引學生注意力，學生的參與度高，引出后續
問題
經歷將實際問題
數學化的過程，即將實際問題中的地點、河抽象成數學中的點、直線等圖形，將
問題表達成線段
和最小形式，從而將最短路徑問題抽象為“線段
和最小問題”.
鼓勵學生明確問
題并表達
發揮學生的主體作用；培養學生
在探索中尋找解決問題辦法的能
力．
通過對不同畫法的分析、對比，調動學生思維的積極性，為學生從感知階段過渡到理性思考提供問5】怎樣證明“AC+BC”最短？
【問6】怎么想到用軸對稱找點C的位置？
教師幾何畫板展示兩種特殊化、簡單化
的情況.
教師提供其他視角：光的反射 教師演示. 【階段梳理】探索“將軍飲馬”問題經歷了怎樣的過程？ 教師改變情境1創設新的探索情境：將軍的前方有一片草地，馬兒吃完草后去飲水，又回到原駐地，如圖所示，將軍怎么走路徑最短？
草地
河OABP
教師巡視，關注學生是否理解問題并運用所學解決問題.請學生展示找兩個點的畫法.
【問】我們研究了“點與點、點與線、能夠在l上任找一點D（與點C不重合），運用軸對稱性質將兩條路徑和轉移到三角形中，依據“兩邊之和大于第三邊”比較大小
lCB'BAlC
B'B
AD 觀察幾何畫板的演示，調整完善自己的認識和理解 lBA
lC
BA 反射角入射角
l法線
C
B'A
B入射光
反射光
學生觀察
學生表達出自己想法，如，數學抽象，用軸對稱“化折線為直線”等
學生獨立解決，畫出圖形
預設
DC
P''P'OAB
PP''O
ABP
學生思考，并交流想法
學生思考并提出問題 預設：增加一個點，將點移動到角的
機會．
引導學生從位置上和數量關系上觀察變化，充分感知
提倡學生跨學科認識問題
提供學生對自己
的想法進行反思的機會，感悟解決問題的著眼點
和思考方式 學生感受提出問題的方式
獲得解決問題的轉化方式，能與已知問題建立聯系
引導學生改變圖
形的相對位置或
第4頁 共4頁
五、 系列 推廣 ， 歸納 總結
兩點一線、兩線一點”，你能在它們的基礎上提出不同的最短路徑問題嗎？ 【小結】本節課探索中你有怎樣的想法和收獲？ 【作業】 A 基本要求：梳理問題1和2的畫法和方法； B 略高要求：解決課堂上同學或老師提出的其他最短路徑問題（選擇兩個）
外部等 O
ABPQOABP O
A
B
P
„„ 可以從“運用知識、方法、探究過程”和“如何提出問題、解決問題”方面總結
數量形成新的最短路徑問題.
加深對問題轉化的理解，如何轉化的認識，通過
小結為學生創造分享交流的空間 板書設計
13.4 再談優化——最短路徑 學生板書
小結 問題1 問題2
實際問題
抽象↓
數學問題（線段和最小） 轉化↓ 軸對稱↓折轉直 已知問題（兩點之間） 學習效果評價
預期看到學生將兩點在直線同側轉化為異側，在第二環節中的獨立思考階段，會巡視觀察有多少百分比的學生能夠用軸對稱將問題轉化，后面會設計3個觀察點，其一是學生交流后增加多少，其二是探索1結束后，其三是探索2結束后；
預期看到學生能否提出新的問題，提出問題是否有策略，觀察點會設計最后提升環節，后續會在作業及課堂中，看學生提出問題的方式有什么特點； 預期看到學生面對新問題時，能否在它與已知問題之間找到聯系和轉化方式，在后續課堂都會有相應的觀察.
教學設計特點及反思
本節課設計考慮以學生為主體，在此基礎上 1.重視培養思維能力，跨學科新視角
本節課教師拋出將軍飲馬問題后，讓學生經歷數學抽象的過程，將問題圖形化、符號化，給學生充分的時間畫圖嘗試，學生與已有的經驗、方法結合時會出現不同的畫法，教師運用學生這些資源追問學生想法或請其他同學提出問題，達到調整學生思考解決問題是否合理的目的，而通過幾何畫板的動畫特點，讓學生看到思考新問題時如何將其簡單化特殊化的過程，從中受到啟發，尋找合理的方式進行探索，讓學生經歷數學抽象和運用數學知識解決問題的過程，領悟探究過程中用到的數學思想方法；
從物理學科光的反射看路徑最短問題，形成新視角認識問題. 2. 注意問題系列化整合教學內容
本節課從學生已有的點與點、一點一線之間路徑最短問題，延續到兩點一線、兩線一點、兩點兩線„„，還可以延續到高中“體”的參與，形成問題系列，將最短路徑問題的研究延續下去，有利于學生思考解決問題的探索策略和思路，逐漸產生提出問題的意識、方法和能力.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
