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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-黑龍江
教學設計、課堂實錄及教案：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-黑龍江
13.4 課題學習 最短路徑問題
【教學目標】 教學知識點
能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用;感悟轉化思想. 能力訓練要求
在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中,提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想. 情感與價值觀要求
通過有趣的問題提高學習數學的興趣.在解決實際問題的過程中,體驗數學學習的實用性,體現人人都學有所用的數學. 【教學重難點】
重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題. 難點:如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.
突破難點的方法:利用軸對稱性質,作任意已知點的對稱點,連接對稱點和已知點,得到一條線段,利用兩點之間線段最短來解決. 【教學過程】
一、創設情景 引入課題
師:前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱它們為最短路徑問題.現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題,本節將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”.
(板書)課題
學生思考教師展示問題,并觀察圖片,獲得感性認識. 二、自主探究 合作交流 建構新知
追問1:觀察思考,抽象為數學問題 這是一個實際問題,你打算首先做什么? 活動1:思考畫圖、得出數學問題
將A,B 兩地抽象為兩個點,將河l 抽象為一條直線.
追問2 你能用自己的語言說明這個問題的意思, 并把它抽象為數學問題嗎?
師生活動:學生嘗試回答, 并互相補充,最后達成共識:(1)從A 地出發,到河邊l 飲馬,然后到B 地; (2)在河邊飲馬的地點有無窮多處,把這些地點與A,B 連接起來的兩條線段的長度之和,就是從A 地到飲馬地點,再回到B 地的路程之和;(3)現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設C 為直線上的一個動點,上面的問題就轉化為:當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小(如圖).
強調:將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題” 活動2:嘗試解決數學問題
問題1 : 如圖,點A,B 在直線l 的同側,點C 是直線上的一個動點,當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小?
追問1 你能利用軸對稱的有關知識,找到上問中符合條件的點B'嗎?
問題2 如圖,點A,B 在直線l 的同側,點C 是直線上的一個動點,當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB的和最小?
師生活動:學生獨立思考,畫圖分析,并嘗試回答,互相補充 如果學生有困難,教師可作如下提示 作法:
(1)作點B 關于直線l 的對稱點B';
(2)連接AB',與直線l 相交于點C,則點C 即為所求. 如圖所示:
問題3 你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎?
教師展示:證明:如圖,在直線l 上任取一點C'(與點C 不重合),連接AC',BC',B'C'. 由軸對稱的性質知, BC =B'C,BC'=B'C'. ∴AC +BC= AC +B'C = AB', AC'+BC'= AC'+B'C'. 在△AC'B'中, AC'+B'C'>AB',
∴當只有在C點位置時, AC+BC最短.
方法提煉:
將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.
問題4
練習 如圖,一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客,然后將游客送往河岸BC 上,再返回P 處,請畫出旅游船的最短路徑.
基本思路:由于兩點之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉化為“點P,Q 在直線BC 的同側,如何在BC上找到一點R,使PR與QR 的和最小”. 三、鞏固訓練
(一)基礎訓練 1.最短路徑問題
(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點,與直線的交點即為所求.
如圖所示,點A,B分別是直線l異側的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時點C是直線l與AB的交點.
(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點,連接對稱點與另一個點,則與該直線的交點即為所求.
如圖所示,點A,B分別是直線l同側的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時先作點B關于直線l的對稱點B',則點C是直線l與AB'的交點.
(二)變式訓練
如圖,小河邊有兩個村莊A,B,要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水.
(1)若要使廠部到A,B村的距離相等,則應選擇在哪建廠?
(2)若要使廠部到A,B兩村的水管最短,應建在什么地方?
(三)綜合訓練
茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會,桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請你幫助他設計一條行走路線,使其所走的總路程最短?
圖a
圖b
四、反思小結
(1)本節課研究問題的基本過程是什么? (2)軸對稱在所研究問題中起什么作用? 解決問題中,我們應用了哪些數學思想方法? 你還有哪些收獲? 五、作業布置
課本93頁第15題.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
