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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-遼寧省
教學設計、課堂實錄及教案：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-遼寧省
13.4 課題學習 最短路徑問題(第1課時)
一、教材分析
最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究．
本節課以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短” (或“三角形兩邊之和大于第三邊”)問題．
二、學情分析
最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中學生，在此前很少在幾何中涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手．
解答“當點A，B在直線l的同側時，如何在l找到點C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉化為“直線l異側的兩點，與l上的點的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉化、怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解上和操作上的困難．
在證明“最短”時，需要在直線上任取一點(與所求作的點不重合)，證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學生想不到．
教學時，教師可以讓學生首先思考“直線l異側的兩點，與l上的點的線段和最小值問題”，為學生搭建“腳手架”．在證明“最短”時，教師要適時點撥學生，讓學生體會“任意”的作用．
三、教學目標分析 1．教學目標
教學目標：通過本節課的學習，學生能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，能將實際問題中的“地點”“河”抽象為數學中的“點”“線”，把實際問題抽象為數學的線段和最小問題；能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短” 問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；
在探索最短路徑的過程中，體會將實際問題轉化為數學問題來解決的思想，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想．
教學重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．
2
教學難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題． 四、教學過程設計
前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將利用所學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”．
（一）搭腳手架，分散難點，初步滲透將實際問題抽象為數學問題的思想
鋪墊一：生活中的實際問題——將軍騎馬從城堡A出發， 到一條筆直的小河邊l飲馬 ，怎樣走路徑最短？為什么？
引導學生分析可轉化成怎樣的數學問題來解決？ 數學問題：點A到直線l最短路徑是什么？
鋪墊二：生活中的實際問題——將軍騎馬從城堡A出發，到軍營B，怎樣走路徑最短？為什么？
引導學生分析可以轉化為怎樣的數學問題來解決？ 數學問題：點A到點B的最短路徑是什么？
鋪墊三：生活中的實際問題——將軍騎馬從城堡A出發，到一條筆直的小河邊l飲馬，然后到軍營B。將軍問：到河邊的什么地方飲馬可使他所走的路徑最短？（城堡A和軍營B分別在小河l的兩側）為什么？
引導學生分析可以轉化為怎樣的數學問題來解決？
在前面兩個鋪墊問題的基礎上，學生可得出——“數學問題：在直線l兩側各有一個點A和點B，在直線l上找一點P，使得PA+PB最小。
（二）探究將軍飲馬問題
將軍飲馬問題： 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：
從圖1 中的A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?
精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．
你能將這個問題抽象為數學問題嗎？(1)這是一個實際問題，你打算首先做什么？
師生活動：學生回答——將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線(圖2)． (2)你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？
師生活動：學生嘗試回答，并相互補充，最后達成共識：(1)從A地出發，到河邊l飲馬，然后到B地；(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；(3)現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線l上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小(圖3)．
圖3
設計意圖：讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”．
2．嘗試解決數學問題
如圖3，點A，B在直線l的同側，點C是直線l上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？
師生活動：學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，相互補充．
在前面的鋪墊訓練中，對于點A和點B分別在直線l兩側時，學生已經知道如何在直線l上找一點P，使得PA+PB最小，因此，教師設計小組活動，提出問題如何將這個問題點A和點B在直線同側向異側轉化？
（問題1），如何將點B“移”到l的另一側B′處，
滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相
B ·
·
A l
B
A
l
C
B
A
l
B ·
圖4
l
A
·
4
等？
(問題2)你能利用軸對稱的有關知識，找到符合條件的點B′嗎？
學生獨立思考，嘗試畫圖，尋找符合條件的點，然后小組交流，學生代表匯報交流結果，教師適時使用幾何畫板進行演示說明，師生共同補充．得出：只要作出點B關于l的對稱點B′，就可以滿足CB′＝CB(圖5)．再利用(1)的方法，連接AB′，則AB′與直線l的交點即為所求．
學生敘述，教師板書，并畫圖(圖5)，同時學生在自己的練習本上畫圖．
作法：(1)作點B關于直線l的對稱點B′； (2)連接AB′，與直線l相交于點C． 則點C即為所求．
設計意圖：通過搭建臺階，為學生探究問題提供“腳手架”，將“同側”難于解決的問題轉化為“異側”容易解決的問題，滲透轉化思想．
3．證明“最短”
問題3：你能用所學的知識證明AC＋BC最短嗎？
師生活動：師生共同分析，然后學生說明證明過程，教師幾何畫板演示： 證明：如圖6，在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．
由軸對稱的性質知，BC＝B′C，BC′＝B′C′． ∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC＋BC＜AC′＋BC′． 即AC＋BC最短．
追問1：證明AC＋BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，證明AC＋BC＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？
師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直線l上任意一點(與點C不重合)與A，B兩點的距離和都大于AC＋BC，就說明AC＋BC最小．
設計意圖：讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力．
追問2: 回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？
A
B
l B' C
圖5
A
l B'
C
C' B 圖6
5
師生活動：學生回答，并相互補充．
設計意圖：讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗．
鞏固訓練：已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R， 使△PQR的周長最短嗎？
師生活動：學生分析解題思路，并相互補充，然后獨立完成，小組內進行交流。小組派代表學生到展臺前展示。
設計意圖：讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法． 4．小結
請學生談談本節課的收獲。
在學生總結的基礎上，教師與學生共同梳理本節課收獲。
設計意圖：引導學生把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想的重要價值．
5．布置作業
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
