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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教課標版八年級上冊13.4課題學習最短路徑問題-河南省
教學設計、課堂實錄及教案：人教課標版八年級上冊13.4 課題學習最短路徑問題-河南省信陽市第七中學
13、4 課題學習 最短路徑問題
一、 教學目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，
體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想。
重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間線段最
短”問題。
難點：讓學生經歷將實際問題抽象為數學問題的過程，求線
段和最小問題，利用軸對稱或平移將線段和最小問題轉化為“兩點之間線段最短”問題解決。
二、 教學過程
課前互動：今天很高興與同學們一起來學習這個課題！ 早就聽說我們 * * 的孩子能力強，綜合素質高，今天我想來見識一下，通過這節課，大家展現一下我們 * * 的風采，好不好！這節課可是有點難度的哦！敢不敢挑戰一下！
情景導入：寒假期間的《詩詞大會》同學們看了嗎，知道武亦姝是誰嗎？ 記得她曾說過唐朝詩人李頎《古從軍行》中一句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，它讓我立刻想到了這不就是“將軍飲馬”嗎？ （一） 探索新知：
探索一：將軍飲馬
相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：
從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？
A
●
精通數學的海倫稍加思索后，利用軸對稱的知識，很快回答了這個問題，這個問題就是我們數學史上著名的“將軍飲馬”問題。
而它，實際就是一個最短距離問題。
問：在我們數學上學過的有哪些最短距離的問題？ 學生答：兩點之間線段最短；垂線段最短。
問題1. 對于這樣的實際問題，我們應該先怎么做？（引導
學生把實際問題轉化成數學模型問題）
A、B兩地可以看成兩點，河是一條直線L，且A、B兩點在直線同側。
我們要找的直線上的一個點需滿足AC+BC怎樣？ （和最�。ㄕ故净脽羝�，先出圖和題條件，后出問題。）
要解決這個問題，我們先來看當兩點在直線異側時，從A到B的最短路徑是什么？（黑板上畫圖，線段AB，連接即可）
當兩點在直線同側時，無論點C在直線什么位置得到的AC+BC都是折線，那么，我們可以利用什么知識把折線變直線？（學生：利用軸結稱，找對稱點。） 展示幻燈片步驟，學生說一步點出一步。
當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小？
B
·
l
A
·
作法：
（1）作點A 關于直線l 的對稱
點A′；
A′
C
（2）連接A′C ，與直線l的交點即為所求點C．連接AC；
則AC +BC = A′ C + BC = A′B 最短
問題1:如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直
線上的一個動點，
●●●
●
問題2. 我們能再證明一下AC+BC和最小嗎？
引導：既然C是動點，這樣的點直線上有多少個？（無數個） 我們可以怎么辦？（任取一點C`）注意不能與點C重合。
問題2你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？
B
·
l
A
·
B′
C
C′●●
證明：如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不
重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知:∴AC +BC =AC +B′C =AB′，AC′+BC′ =AC′+B′C′
在△AB′C′中AC′ +B′C′ > AB′∴AC′+BC′ > AC +BC即AC +BC最短。
BC =B′C，BC′=B′ C′
問題3：在證明AC+BC最短時，為什么要強調點C`與點C不
重合，它的作用是什么？
（1） 重合沒了證明的意義；（2）取的任意點到A、B兩點
的距離之和都大于AC+BC，那么AC+BC一定是最小的，體現了我們證明的一般性、任意性。
現在，我們來總結一下“將軍飲馬”問題的解決思路： （1） 首先，利用軸對稱性質，作出對稱圖形：
（2） 其次，將直線同側兩點轉為異側兩點，化折線為直線； （3） 最后，利用“兩點之間線段最短”解決問題。
有了這個結論，很多問題都可以迎刃而解了，下面我們就來看一個與我們生活有關的問題。走進生活：
如圖，要在燃氣管道上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使其到A、B兩地的路程最短？
（學生在練習本上作圖，找到符合要求的點。一名上臺作圖。） 我們學習這類實際問題，最終目的是要解決數學中的最值問題，下面我們就先來小露一手怎樣？
分析：動點P在AC上，那么點D、E相對AC，是它同側的點，抽象出基礎圖形。一般我們是取一點作其對稱點或找一點的對稱點，這個題我們選哪個方法？圖中有現成的一組對稱點嗎？（提醒學生找一找） 答：B、D兩點關于AC對稱。
那么這個問題就立刻轉化為求D對稱點D`于E之間的最短距離，即BE。
表揚：做的不錯！繼續出擊，挑戰一下自己！
繼續出擊！
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊在△ABC外側作等邊△ACD，過點D作DE⊥AC于點F，交AB于E，AB=10cm，BC=6cm，P為線段DE上一動點，連接PC，PB，則△PBC周長的最小值為( )A.16cm B.C.24cm
D.26cm
cm
A
●
●
( C′)
讓學生仿造上一題的分析思路來講題，對做對的同學給以鼓勵，獎品。（江南無所有，聊贈一支春） （適時小結：挑出圖中藏有的對稱點）
剛才我們解決的都是兩點一線的最短距離問題，如果是一點兩線我們該如何解決？
分析：三角形三條邊的長、位置都沒確定，周長什么情況下會最��？（折線還是共線時） 利用軸對稱使其共線。 學生口述作法：（1）分別作定點A關于OM、ON的對稱點 A`，A``；
（2）連接A`A``分別交OM、ON于點B、C；
則點B、C即為所求。
三角形周長＝AB+BC+AC=A`B+BC+A``C=A`A``
小結： 求三角形周長最小值時，可以利用軸對稱令三邊共線。過渡語：生活中除了利用軸對稱，還有其他方法求最短路徑的嗎？前一段中央一臺播出了“超級工程”中的建橋工程，連通云貴的北盤江大橋是目前世界第一高橋。這是我國的驕傲，它是我們今天要來研究的第二個問題“造橋選址”。
探索二：造橋選址
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上
建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？
（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）
分析：（1）這個實際問題中可以抽象出幾點幾線？
路徑AMNB，由哪些線段組成？
AM+MN+NB，其中，“MN”為河寬，定值；
（2） 要使AMNB最短，只需使哪兩段和最��？（AM+NB） （3） 什么時候和會最小？（折線還是直線的時候） 這個問題我們還能用軸對稱解決嗎？多了個什么條件？（定長） 該如何利用這個定長？
我們學過的圖形變換除了軸對稱，還有什么？
學生：平移
引導：既然橋長是個定值，我們可不可以考慮先把MN平移至某一點處？（相當于從A或B先走一段橋長的距離）
與旁邊的同學討論一下。5分鐘后反饋討論結果。 白版上展示答案。
M
N
E如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）
A
·
B
·
此題學生有選平移至A點處的，鼓勵說完，再展示答案，選擇將定長平移至A或B點處都正確，都肯定、獎勵。
總結“造橋選址”問題的解決思路：（讓學生總結）
求三段折線和最小，當其中有一段長為定值，可以考慮用圖形變換中的平移，也轉為“兩點之間線段最短”問題解決。
同學們今天表現的非常棒，果然名不虛傳！能說一下今天你的收獲嗎？
在解決最短路徑問題時，我們通常利用圖形變換中的軸對稱、平移等變化，使問題都轉化為可以利用“兩點之間線段最短”來解決的問題。軸對稱、平移，是我們解決最值問題的常見方法。
非常感謝各位同學們的配合！有一段話想送給同學們，請一起大聲讀出來：
（教師寄語：）親愛的同學們，不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海；騏驥一躍，不能十步；駑馬十駕，功在不舍。。。。。。愿我們都能從小題做起，堅持如初，為實現我們的夢想而努力！
三、 析書設計：
13、4 最短路徑問題
1、兩點在直線異側時：兩點之間線段最短（直接連接即可） 2、兩點在直線同側時：（學生上臺的作圖保留住） “將軍飲馬”
3、一點兩線：軸對稱 共線
4、兩點、兩平行線： “造橋選址” 路徑AMNB＝AM+MN+NB = AC+BC 最短 使AM、NB共線
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
