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視頻標簽：最短路徑問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊13.4課題學習-最短路徑問題-廣東省 - 珠海
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初中數學人教版八年級上冊13.4課題學習-最短路徑問題-廣東省 - 珠海
教學時間 2016.04.25 授課班級 初二（2）班
課題
13.4 課題學習
最短路徑問題 課時
第一課時
課型
新課
教 學 內容解析
內容
利用軸對稱研究某些最短路徑問題
內容 解析
最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為基礎知識，有時候還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.
本節課以數學史中的一個經典問題－“將軍飲馬問題”為載體展開對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）的問題.
基于以上分析，確定本節課的重點為：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題.
教學目標解析
目標
知識與技能：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用.
過程與方法：在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中,提高分析問題、解
決問題的能力及滲透感悟轉化思想.
情感與價值觀：通過有趣的問題提高學習數學的興趣.在解決實際問題的過程中,體驗數學學習的實用性.
目標 解析
目標的具體要求是：學生能將實際問題中的“地點”“河”抽象成數學中的“點”“線”，把實際問題中的最短路徑抽象成數學中的線段和最小問題；
能利用軸對稱將直線上的點與同側兩點所連線段和最小問題轉化成直線上的點與異側兩點所連線段和最小問題，即“兩點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理說明所求距離最短；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想.
學生學情分析
最短路徑問題本質上就是最值問題，作為初中學生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚不足，特別是面對具有實際問題背景的最值問題，更會感到陌生.
解答“當點A,B在直線l的同側時，如何在l上找C,使得AC與CB的和最小”需要將其轉化為“直線l異側兩點，與l上的點的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉化，怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解上和操作上的困難.
在說明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），說明所連線段和大于所求線段和，這里可以利用“三角形任意兩邊和大于第三邊”來說明，也可以直觀展示給學生.這種思路和方法，一些學生想不到.
教學過程中，首先讓學生思考“直線l異側兩點，與l上的點的線段和最小”為學生搭建“腳手架”.在說明“最短”時，適當點撥學生，學生要體會到“任意”的作用.
因此，本節課的教學難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題，如何說明“最短”． 教學準備
多媒體課件
教學方法
自主學習，合作探究
課 堂 教 學 程 序 設 計
設計意圖
一、創設情景 引入課題
前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱它們為最短路徑問題.現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題,本節將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”.
出示問題情境
學生思考,并觀察圖片,獲得感性認識. 二、自主探究 合作交流 建構新知
1、將實際問題抽象為數學問題
問題1、你能將這個問題抽象為數學問題嗎？
活動1:思考畫圖，將A,B 兩地抽象為兩個點,將河l抽象為一條直線.
引入課題，問題情境，激發學生學習興趣和探究欲望.
問題2、 你能用自己的語言說明這個問題的意思, 并把它抽象為
數學問題嗎?
師生活動:學生嘗試回答, 并互相補充,最后達成共識:(1)從A 地出發,到河邊l 飲馬,然后到B 地; (2)在河邊飲馬的地點有無窮多處,把這些地點與A,B 連接起來的兩條線段的長度之和,就是從A 地到飲馬地點,再回到B 地的路程之和;(3)現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設C 為直線上的一個動點,上面的問題就轉化為:當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小(如圖).
強調:將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題” 2、嘗試解決數學問題
問題1 : 如圖,點A,B 在直線l 的同側,點C 是直線上的一個動點,當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小?
追問1：當點A、B分別在直線l 的兩側，如何在直線l上找點一個點，使得這個點分別到點A與點B的距離和最小？
.A
.B
追問2、對于問題1，如何將點B“移”到l 的另一側B′處，滿足 直線l上的任意一點C，都保持CB 與CB′的長度相等？ 師生活動:學生獨立思考,畫圖分析,小組交流,互相補充
作法:(1)作點B 關于直線l的對稱點B';
(2)連接AB',與直線 l相交于點C,則點C 即為所求.
.B .A
C
B
讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”
通過搭建臺階，為學生探究問題提供“腳手架”，將“同側”難于解決的問題轉化為“異側”容易解決的問題，滲透轉化思想. 思考：還有別的作法嗎？
3、說明“最短” 提問1：你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎?
證明:如圖,在直線 l上任取一點C'(與點C 不重合), 連接AC',BC',B'C'.
由軸對稱的性質知, BC =B'C,BC'=B'C'. ∴AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'. 在△AC'B'中,AC'+B'C'>AB', ∴當只有在C點位置時,AC+BC最短.
活動：學生思考，教師動畫演示，學生觀察.師生共同分析由三角 形任意兩邊之和大于第三邊說明.同時體會“任取一點”的作用.
4、方法提煉
提問1：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什 么解決問題的？
1、將實際問題抽象為數學問題
將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.
2、利用軸對稱的性質將點在直線同側轉化為點在直線兩側 3、應用“兩點之間線段最短”這個事實解決問題 活動：教師引導，學生回答并互相補充
三、例題講解
如圖（見課件）：點A(-2，0),B(-2，2).在Y軸上找一點C, 使得AC+BC最短
思考：在Y軸上找一點M,使得三角形ABM周長最小
學生進一步體會到作法的正確性，提
高邏輯思維.
學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗.
四、課堂練習 如圖，牧馬人從A地出發，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲
馬，然后回到B處，請畫出最短路徑．
活動:學生思考先獨立解決，再互相交流，教師指導.
思考：牧馬人從A地出發，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到A處，請畫出最短路徑．
通過例題和練
習讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.
課堂 小 結 1、知識點：
1）兩點之間，線段最短
2）垂直平分線上的點到兩端的的距離相等
2、思想方法：轉化思想
1）將實際問題抽象為數學問題，
將路程最短問題抽象為線段和最小問題
2）應用軸對稱性質將直線同側兩點轉化為異側兩點問題
引導學生把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想的重要價值
作業 設計 A是 ∠O 內的一點，試在∠O的兩邊上分別找一點B,C,使得三角形ABC的周長最小
板書設 計 13.4 課題學習 最短路徑問題（第一課時）
一、知識點： 三、例題講解 1、兩點之間，線段最短 四、課堂練習
2、垂直平分線上的點到線段兩端距離相等 二、作圖 五、課堂小結
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
