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視頻標簽：開放性代數,綜合問題探究
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊第十四章《開放性代數綜合問題探究》北京
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《開放性代數綜合問題探究》
與代數式的運算有關的一些問題，如整式的加法、減法、乘法運算，乘法公式和因式分解，分式及二次根式的運算，其本質是恒等變形，從式的一種形態變為另一種形態的恒等變形是研究數學的有力杠桿之一，對于數感與符號意識的形成具有重要的作用，也是提高運算能力的重要載體和必經之路. “開放性代數綜合問題探究”課，就培養學生的代數式結構特征意識，提高學生的運算變形能力進行了有益的嘗試.
一、內容分析
對于一個數學問題，不管它的形態多么復雜，它都是由一些基本結構組成.解決問題的思路常常就蘊含在題目的結構特征之中，識別這些結構特征是解決問題的關鍵所在.在一類代數問題中，發現數學式子的結構特點及它所隱含的數學信息，往往成為解決問題的突破點.
本設計以一道開放性代數綜合問題為例，對題目所給的四個多項式從它們的次數、項數、項的系數、因式分解等方面進行分析，使學生通過觀察、比較、猜想、驗證等方式，探尋多項式之間的聯系，進一步理解數學式子的形狀結構，提高對式子的變形能力，獲得解決一類問題的方法，培養學生的自主探索精神.
附題目：已知A、B、C、D四個多項式： 2Ax，1Bx，2
2Cxx，
322Dxxx.請從“+、、、、乘方”中選取適當的運算把上面的多項式的部分
（至少三個）或全部連接起來，使這些連接構成等式，并寫出相應等式成立的條件.
提示：當A、B、C、D為任意的多項式時恒成立的等式不符合要求．．．．．，例如
()ABCABAC.
請你認真閱讀題目及題目后面的提示，然后開始吧，寫出的等式越多越好呦！
二、學情分析
我所授課班級為中關村中學知春分校的學生，他們有一定的學習積極性，部分學生思維比較活躍，具備一定的自主探究意識.
學生之前學習了整式的加減、整式的乘法和因式分解，能根據法則、公式進行運算及變形，但在數、式的運算和變形中，存在一定的盲目性，一方面，不能從“等式”（本題所指實際上是恒等式）所具有的代數特征出發，對可能的連接方式做出初步的猜想和判斷；另一方面，雖然能做出一些猜想，但是不知道如何借助所給代數式去進行調整消除差異.
三、目標設計
2
（1）能從多項式的次數、項數、項的系數、因式分解等方面進行分析，通過觀察、比較、猜想、驗證等方式，探尋多項式之間內在的聯系，恰當對式子結構進行變形；
（2）通過對本題的探究，培養學生的代數式結構特征意識，強化觀察運算方向的自覺性； （3）通過引導學生根據式子特點及探求目標構造符合題目要求的等式，培養學生的創新能力，自主探索精神.
四、教學過程設計
1.理解題意
問題1： 2分鐘時間審題（PPT上展示“開放性代數綜合問題”）.
師生活動：教師巡視，并提醒部分同學先審題，不要著急計算.請一個同學說說通過剛才的審題，得到了題目的哪些重要的信息？并請其他學生補充.
學生：用“+、、、、乘方”把A、B、C、D，選至少三個連接起來寫成等式，并寫出等式成立的條件，還有不能象()ABCABAC那樣. 學生補充：還有A、B、C、D那4個多項式具體是什么.
教師：引導學生關注題目給了什么，要完成什么任務，有怎樣的要求.
題目給了四個多項式： 2Ax，1Bx，2
2Cxx，3
2
2Dxxx；求的是：等式及等式成立的條件； 要求有三條：第一，等式中至少出現四個中的三個，第二，用“+、、、、乘方”運算，第三，不能恒成立.
問題2：“當A、B、C、D為任意的多項式時恒成立的等式不符合要求．．．．．”是什么意思？ 師生活動：先讓學生充分發表自己的見解，然后教師引導學生從題目給出的不符合要求的例子：()ABCABAC入手進行分析，并請學生舉出更多“不符合要求”的例子，從而加深對題目的理解.
設計意圖：設計時，原本是想節約時間，一上來就帶著學生分析題意，但是經過反復琢磨，覺得審題部分不能壓縮，不能因為學生做不好就不讓學生做.恰恰相反，正因為審題是學生的“軟肋”，才應該在教學中留出足夠的時間，使學生在獨立思考的基礎上通過交流、反思，形成對題目的初步認識，然后教師在學生認識的基礎上加以引導，不斷提高學生的審題能力. 2 初步探究
題目要求寫出等式，使多項式A、B、C、D建立聯系，必須知道A、B、C、D是怎樣的多項式，它們都有什么特征.
問題3：從哪些角度觀察多項式的特征？
3
師生活動：先讓學生充分發表自己的見解，然后教師引導學生對相關內容進行回顧，得到觀察多項式的特征的幾個不同的角度：多項式的項，項的系數，多項式的次數，符號，因式分解……
問題4：請從 “多項式的次數、項及項的系數、因式分解”等角度，來思考這四個多項式它們有什么特征，它們之間有什么聯系？
師生活動：學生先獨立思考3分鐘（實際用時3分半），再小組交流2分鐘，小組交流之后請學生上黑板展示小組交流結果，其他小組修正補充，最后教師組織全班同學討論、交流、反思、質疑、去偽存真，得到ABC及由其派生出來的等式(0)C
ABB
，(0)C
BAA
，DABDC四個等式，還有BCDC. 設計意圖：使學生初步體會解決這類問題的關鍵在于關注已知多項式的結構特征，包括它們所含字母、次數、項數等，并通過獨立思考、合作交流、質疑反思，得到一些相對比較容易發現的，符合題目要求的等式（ABC及由其派生出來的等式(0)C
ABB
，(0)C
BAA
，DABDC）. 3 深入探究 （1）猜想、驗證
問題5：剛才我們得到了ABC及由其派生出來的等式(0)CABB
，(0)C
BAA
，DABDC，這里得到ABC這個等式非常關鍵，誰能說說你是怎么想到的？
師生活動：讓學生充分發表見解.學生可能從多項式的次數或因式分解的角度考慮，然后通過計算進行驗證.
設計意圖：引導學生從多項式的次數、項及項數、因式分解等多個角度得到猜想，并通過計算進行驗證，為后面的“調整、修正”做必要的準備. （2）調整、修正
問題6：BCDC這個等式誰寫的，能說說你是怎么想到的嗎？
師生活動：學生先從多項式的次數的角度得到猜想BCD，ACD……，然后通過計算發現上述等式不成立，這個時候教師引導學生思考還可以怎么去想？能不能把BCD，ACD改進一下，從而得到我們需要的等式呢？這時我們有什么樣的方法，
可以做怎么樣的嘗試呢？啟發學生通過計算對上面的等式進行調整、修正，進而得到
BCDC，2ACDC.
問題7：在我們找到ABC的同時，還找到了由它派生出來的的3個等式，那么有沒有由BCDC，2ACDC派生出來的等式呢？這個留給大家做為課后思考. 問題8：除了剛才我們找到的等式，還有沒有其它的呢？
師生活動：觀察題目所給的四個多項式不難發現：xCD，教師引導學生自主發現
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AB
x
，x=B+1，2xA，進而得到符合題目要求的等式. 設計意圖：在得到ABC及由其派生出來的等式(0)CABB
，(0)C
BAA
，DABDC之后，引導學生進行總結概括，從多項式的次數、項數、項的系數、因式
分解等方面進行分析，得到更多的猜想，然后啟發引導學生通過觀察、比較等方式對猜想進行“調整、修正”，進而得到符合題目要求的等式.通過這樣的探究過程，培養學生的代數式結構特征意識，強化觀察運算方向的自覺性，提高學生的運算能力. 4 總結反思
問題9：我們可以從哪些角度來探尋多項式的特征以及多項式之間的聯系呢？
預設：從它們的次數，項數，項的系數，還可以對多項式進行因式分解，看看它們的因式. 5思考作業
繼續探尋符合題目要求的等式，并整理在作業本上.
附：學生作業中出現的四個多項式A、B、C、D之間的關系等式：
板書設計：
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