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視頻標(biāo)簽：整數(shù)指數(shù)冪
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版八年級(jí)上冊(cè)15.2.3《整數(shù)指數(shù)冪》云南省 - 昆明
本視頻配套資料的教學(xué)設(shè)計(jì)、課件 /課堂實(shí)錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
15．2．3整數(shù)指數(shù)冪教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材內(nèi)容和內(nèi)容解析 （－）教學(xué)內(nèi)容
本節(jié)課是義務(wù)教育教科書(shū)人教版八年級(jí)上冊(cè)15.2.3的內(nèi)容，《整數(shù)指數(shù)冪》 （二）教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課學(xué)生需要通過(guò)類(lèi)比掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，從而感受指數(shù)域從正整數(shù)擴(kuò)充到全體整數(shù)這種數(shù)學(xué)的遷移美．并且通過(guò)自主探究，發(fā)現(xiàn)所有冪的運(yùn)算法則都可以推廣到全體整數(shù)指數(shù)域，并會(huì)用運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算． 二、目標(biāo)及目標(biāo)解析 （一）教學(xué)目標(biāo)
1、理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義；熟練運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算
2、通過(guò)觀(guān)察、推理、總結(jié)得出負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義；體驗(yàn)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行乘除法轉(zhuǎn)化 3、啟發(fā)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、同伴交流、自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題，從而提高學(xué)生的自學(xué)能力和質(zhì)疑能力 （二）教學(xué)目標(biāo)解析
本節(jié)課以“翻轉(zhuǎn)課堂”“小組合作”形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，要求學(xué)生交流合作完成預(yù)習(xí)案以及老師布置的問(wèn)題從而理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，并且能熟練運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，同時(shí)培學(xué)生的自學(xué)能力．在課堂上，以小組為單位，對(duì)預(yù)習(xí)案上錯(cuò)誤較多，疑惑較多的問(wèn)題進(jìn)行討論和講解，鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)講解，老師輔助學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生進(jìn)一步理解冪的運(yùn)算法則如何推廣到全體整數(shù)指數(shù)域，能熟練利用整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行乘除法的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和合作精神最終使學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自主合作解決問(wèn)題 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
本節(jié)課可能出現(xiàn)的問(wèn)題是大部分的學(xué)生不會(huì)自主學(xué)習(xí)，由于慣性，他們習(xí)慣等著老師來(lái)講，等著老師來(lái)引導(dǎo)，自己不會(huì)質(zhì)疑，這也是灌輸式教學(xué)模式的弊端．所以針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我提前做了不少的鋪整，在前面比較簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容中也經(jīng)常采用這種“翻轉(zhuǎn)課堂”和“小組合作”的模式.
由于本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容還是有一定的難度，對(duì)思維也有一定的要求，所以好多學(xué)生在完成預(yù)習(xí)案之后，可能無(wú)法感受設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的目的，學(xué)的比較死．所以在平時(shí)的教學(xué)中我也比較注重類(lèi)比學(xué)習(xí)，時(shí)刻強(qiáng)調(diào)知識(shí)的遷移以及知識(shí)體系內(nèi)在的規(guī)律，希望能為學(xué)生的思維過(guò)程做好準(zhǔn)備． 【教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)】
1．教學(xué)重點(diǎn)：理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握運(yùn)算性質(zhì) 2．教學(xué)難點(diǎn)：理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的產(chǎn)生過(guò)程和意義 四、教學(xué)支持條件分析 （一）知識(shí)儲(chǔ)備
本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了第十四章《整式的乘法與因式分解》以及第十五章《分式》的基本內(nèi)容后進(jìn)行設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)的．學(xué)生對(duì)于所有的預(yù)備知識(shí)都己經(jīng)能夠熟練掌握，所以以“翻轉(zhuǎn)課堂+小組合作”的形式進(jìn)行設(shè)計(jì)，學(xué)生是可以完成的
（二）教法
本節(jié)課是在“翻轉(zhuǎn)課堂”“小組合作”理念的影響下進(jìn)行設(shè)計(jì)的，旨在培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)、質(zhì)疑能力和合作能力，需要學(xué)生認(rèn)真完成預(yù)習(xí)案，用已經(jīng)學(xué)過(guò)的舊知推出新知，然后發(fā)現(xiàn)自己還沒(méi)有弄懂的地方，在課堂上互相討論，尋求解決。 （三）學(xué)法
突出自主學(xué)習(xí)和小組合作學(xué)習(xí) （四）教學(xué)媒體
預(yù)習(xí)案、投影儀、課堂檢測(cè)案、統(tǒng)計(jì)表等 五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
教學(xué)過(guò)程
Ⅰ課前準(zhǔn)備：
在講授新課的前一天給學(xué)生布置了預(yù)習(xí)案（附錄1），讓學(xué)生通過(guò)自主預(yù)習(xí)完成三個(gè)目標(biāo)要求： 1、理解對(duì)于0指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪們課本規(guī)定的過(guò)程，理解對(duì)于同一個(gè)運(yùn)算用兩個(gè)思路進(jìn)行推導(dǎo)的思想，學(xué)會(huì)用舊知推出新知. 2、會(huì)根據(jù)老師給出的數(shù)據(jù)，自己選取其他數(shù)字驗(yàn)證正整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)可以推廣到全體整數(shù).
3、會(huì)計(jì)算0指數(shù)冪和簡(jiǎn)單的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；會(huì)將負(fù)整數(shù)指數(shù)冪寫(xiě)成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式；會(huì)運(yùn)用冪的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算 Ⅱ授課過(guò)程：
（一）復(fù)習(xí)回顧、找出問(wèn)題 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】
通過(guò)預(yù)習(xí)案上第一部分復(fù)習(xí)回顧的問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)自己的預(yù)習(xí)案進(jìn)行修正，并對(duì)冪的運(yùn)算性質(zhì)中指數(shù)的規(guī)定進(jìn)一步理解。
1、對(duì)于正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： （1）m
nmna
aa( m、n是正整數(shù))
（2）()mn
mn
aa
（m、n是正整數(shù)）
（3）()n
nn
abab（n是正整數(shù)）
（4）mnmn
aaa（a≠0，mn為正整數(shù)日m＞n）
(5) ()n
nnaabb
（n是正整數(shù)）
2.我們規(guī)定了0指數(shù)冪，首先復(fù)習(xí)0指數(shù)冪的規(guī)定過(guò)程：
思路1：運(yùn)用同底數(shù)冪的除法:)
(
)
(
aa
aamm：
思路2：運(yùn)用分式的約分：
mm
aa
.
【學(xué)生活動(dòng)】
學(xué)生口答，復(fù)習(xí)舊知 【設(shè)計(jì)意圖】
大部分學(xué)生會(huì)忘記附上對(duì)指數(shù)取值范圍的規(guī)定，說(shuō)明學(xué)生對(duì)冪的指數(shù)的理解并不透徹，所以可以以此為契機(jī)，由此引發(fā)學(xué)生對(duì)冪的指數(shù)進(jìn)行思考
（二）合作探究、解決問(wèn)題
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】與【學(xué)生活動(dòng)】 探究一：冪的指數(shù)是否可為負(fù)數(shù) 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】與【學(xué)生活動(dòng)】
問(wèn)：復(fù)習(xí)可知冪的指數(shù)可以是正整數(shù)和0，那冪的指數(shù)可以是負(fù)整數(shù)嗎？
在對(duì)預(yù)習(xí)案的分析下，各小組分配到不同的探究任務(wù)，各小組得到各自的探究結(jié)果，再把各組的探究結(jié)果合并在一起，就可以得到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定（即1
n
n
a
a
），從而解決了探究一的疑問(wèn) 問(wèn)：預(yù)習(xí)案上的探究一，幫助我們得到一個(gè)規(guī)定，是哪個(gè)規(guī)定呢？ 答：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定。
問(wèn)：很好，那大家對(duì)這個(gè)探究的過(guò)程還有什么疑問(wèn)嗎？
如果有學(xué)生有疑問(wèn)，可以先請(qǐng)其他同學(xué)幫忙解答，如果都答不出來(lái)，老師再來(lái)解答。等孩子們疑問(wèn)都解答完了，老師繼續(xù)發(fā)問(wèn)：既然大家沒(méi)有問(wèn)題了，那接下來(lái)老師就要問(wèn)大家了。 第1個(gè)問(wèn)題：在這個(gè)規(guī)定的演算過(guò)程中，我們運(yùn)用了兩種思路，是哪兩種思路呢？ 答：一種思路是同底數(shù)冪的除法性質(zhì)：另一種思路是分式的約分。 思路1：a3÷a3＝a3-5＝a-2（a≠0）
思路2：33
5
321
(0)aaaabb
【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)問(wèn)題，是讓學(xué)生進(jìn)一步理解，我們之所以可以作如上的規(guī)定，是因?yàn)檫@是同
一個(gè)運(yùn)算在兩種不同思路下得到的結(jié)果，而這兩種思路都是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的內(nèi)容，從而讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由舊知推出新知的過(guò)程
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】與【學(xué)生活動(dòng)】
第2個(gè)問(wèn)題：負(fù)整數(shù)指數(shù)幕要如何規(guī)定才合理呢？指數(shù)為負(fù)數(shù)是取相反數(shù)嗎？
22
1
(0)aaa
規(guī)定：
00aa
規(guī)定（）
答：按照探究2的過(guò)程，我們規(guī)定1
n
na
a
，即na（a≠0）表示na的倒數(shù)，指數(shù)為負(fù)數(shù)是取倒數(shù)。 第3個(gè)問(wèn)題：在這個(gè)規(guī)定中，還有其他的限定條件嗎？為什么？ 答：限定a≠0，因?yàn)閍作為除數(shù)不能為0
這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，是強(qiáng)調(diào)a≠0這個(gè)條件。
【設(shè)計(jì)意圖】這兩個(gè)問(wèn)題是幫學(xué)生進(jìn)一步理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，幫助學(xué)生突破本節(jié)課的第
一個(gè)重點(diǎn)：指數(shù)為負(fù)整數(shù)是取正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，它仍然是一個(gè)冪的形式，a整體是它的底數(shù)，在計(jì)算時(shí)要避免犯錯(cuò)
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】與【學(xué)生活動(dòng)】
接下來(lái)對(duì)預(yù)習(xí)案中新知例1請(qǐng)學(xué)生講解，老師在黑板上板書(shū). 例題講解1：
(1)-3-2 (2) 2
1()2
解：（1）2
2113
39
(2) 22
111
()4112
()24
然后給學(xué)生1分鐘的時(shí)間，自己改正預(yù)習(xí)案新知自測(cè)練習(xí)1、2題的錯(cuò)誤，請(qǐng)一個(gè)同學(xué)上來(lái)講講昨天
犯錯(cuò)的原因和改正方法。
歸納：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的引入，將指數(shù)的取值范圍擴(kuò)大到了全體整數(shù)
0
1 (0,) 1mmmm
aaaamaa
取正整數(shù) 【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)環(huán)節(jié)一方面對(duì)學(xué)生預(yù)習(xí)案中的問(wèn)題進(jìn)行講解，一方面對(duì)計(jì)算格式進(jìn)行規(guī)
范．同時(shí)也讓學(xué)生自行改正預(yù)習(xí)案中的錯(cuò)誤，進(jìn)一步掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義.
（三）合作再探、深入理解 【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】
探究二：引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，正整數(shù)指數(shù)冪的5條運(yùn)算性質(zhì)能否推廣到全體整數(shù)指數(shù)的情形？ 問(wèn)：引入負(fù)整數(shù)指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)能否推廣到全體整數(shù)指數(shù)的情形？接下來(lái)請(qǐng)4人一
個(gè)小組，在預(yù)習(xí)案上驗(yàn)證，并討論你們驗(yàn)證是否正確，看看還有哪些疑問(wèn)。
我們舉例驗(yàn)證一下： 你選取的指數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證
（1）驗(yàn)證同底數(shù)冪的乘法
由33
5
3
23(5)
55211aaaaaaaaa
.
得到353(5)
aaa
；
歸納：mnmnaaa這條性質(zhì)，對(duì)于m、n是任意整數(shù)的情形任然適用
問(wèn)：對(duì)于其它正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于m、n是任意整數(shù)的情形是否適用呢？請(qǐng)用類(lèi)似的方法驗(yàn)證。
（2） 驗(yàn)證冪的乘方
由2)3(66232
31
)1(
)(aaa
aa 得到32(3)2()aa .
歸納：
mn
mnaa（）這條性質(zhì)，對(duì)于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
（3）驗(yàn)證積的乘方
由3333
33
1
1)(1)
(
babaabab 得到
3
()ab33ab .
歸納：()nnnabab這條性質(zhì)，對(duì)于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
（4）驗(yàn)證同底數(shù)冪的除法
由53
5
52(3)(5)
331aaaaaaaa
可得35(3)(5)
aaa .
歸納：mnmnaaa這條性質(zhì)，對(duì)于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
（5）驗(yàn)證分式的乘方
由222222222211)()(bababaababba 可得22
2)(baba
.
歸納：()n
nnaabb
這條性質(zhì)，對(duì)于m、n是任意整數(shù)的情形任 （填“適用”或“不適用”）
【學(xué)生活動(dòng)】
每個(gè)小組的同學(xué)自己討論完成這個(gè)環(huán)節(jié)，小組同學(xué)在交流的過(guò)程中，可以看到其他同學(xué)選取的是什么
數(shù)進(jìn)行的驗(yàn)證，進(jìn)一步體會(huì)驗(yàn)證法從特殊到一般的過(guò)程，還能發(fā)現(xiàn)自己在驗(yàn)證的過(guò)程中存在的問(wèn)題
【設(shè)計(jì)意圖】
在這個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生可能存在三個(gè)問(wèn)題，老師需要引導(dǎo)解決：
1、有些學(xué)生可能會(huì)選取2個(gè)正整數(shù)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，當(dāng)數(shù)域進(jìn)行推廣之后，只要驗(yàn)證新推廣的數(shù)對(duì)于性質(zhì)是成立的就可以了。
2、在驗(yàn)證冪的乘方這條性質(zhì)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)列舉出（a-2）3和（a2）-3這兩種形式，要幫助學(xué)生理解符號(hào)和指數(shù)在這里的含義。
3、在驗(yàn)證分式的乘方這條性質(zhì)時(shí)，要用到1
nn
aa
這個(gè)公式，需要給學(xué)生進(jìn)行講解。
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】與【學(xué)生活動(dòng)】
由特殊到一般，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一致性，于是通過(guò)驗(yàn)證我們得到結(jié)論，正整數(shù)指數(shù)冪的所有性質(zhì)都可以擴(kuò)充到整個(gè)整數(shù)指數(shù)冪的情形。那么接下來(lái)的運(yùn)算，學(xué)生可以選擇運(yùn)用定義把負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化成正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，再用分式約分，也可以直接運(yùn)用性質(zhì)來(lái)計(jì)算，我們更推薦用性質(zhì)來(lái)算，因?yàn)楦雍?jiǎn)便。
接下來(lái)讓學(xué)生對(duì)預(yù)習(xí)案中的新知自測(cè)3進(jìn)行改錯(cuò)，請(qǐng)同學(xué)上來(lái)講解，老師板書(shū)。 例題講解2： （1）3
2m
m (2) 32(
)xy （3）13(3)ab （4）2313()xyxy 解：（1）3232
551mmm
mm
(2) 36336
263()xxyxyyyx
(3) 3
13
3
33
33
327(3)(3)27aabababb
(4) 2313233310
1()xyxyxyxyxyx
【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)算性質(zhì)帶來(lái)的好處和便利，并對(duì)昨天沒(méi)有解決的問(wèn)題進(jìn)行理解和改錯(cuò)，加深對(duì)整數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)意義的理解
（四）當(dāng)堂檢測(cè)、鞏固提高
【教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)】與【學(xué)生活動(dòng)】 1、填空
(1) 0
(2)= ， (-3)-3= .
（2）2(4)= ，2
4= ，
(3) 11()2= ，2
3()4
= ，
2、計(jì)算
(1) 7
2
aa (2) 22
1()xy
(3) 123()ab (4) 22223()abab
當(dāng)堂檢測(cè)卷在課上就發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)完成，先做完的同學(xué)老師當(dāng)場(chǎng)批改，之后投影一個(gè)學(xué)生的答案邊講解邊批改，最后統(tǒng)計(jì)完成情況，記錄在統(tǒng)計(jì)表中，以作對(duì)比。 【設(shè)計(jì)意圖】
該環(huán)節(jié)主要是檢測(cè)學(xué)生在完成預(yù)習(xí)案又經(jīng)過(guò)課堂的講解后解題的情況，通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比來(lái)對(duì)課堂內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整和完善
（五）運(yùn)用新知、整合舊知
思考：下列等式是否正確？為什么？
(1) m
n
m
n
mnmnmnmnmnmnaaaaaaaaaa
aaaa (2) ()(), ()nnn
nnnnn
nnnmna
abb
aaaabbbbaabb
同底數(shù)冪的除法轉(zhuǎn)化為乘法 分式的乘方轉(zhuǎn)化為積的乘方
由此我們可以將整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為3條： （1）aman＝am+n（m、n是整數(shù)） （2）（am）n＝amn（m、n是整數(shù)） （3）（ab）n＝anbn（n是整數(shù)） 【設(shè)計(jì)意圖】
該環(huán)節(jié)是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性以及數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美
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